Theorem homval 31816

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem homval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hommval 31811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵))
3		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐵))
4	3	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6941	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
8	2, 7	sylan9eq 2791	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
9	8	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   ℋchba 30994   ·_ℎ csm 30996   ·_op chot 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-hilex 31074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-homul 31806

This theorem is referenced by:  homcl  31821  honegsubi  31871  homullid  31875  homco1  31876  homulass  31877  hoadddi  31878  hoadddir  31879  nmopnegi  32040  homco2  32052  lnopmi  32075  hmopm  32096  nmophmi  32106  adjmul  32167  leopmuli  32208  leopnmid  32213