Theorem homval 32373

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem homval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hommval 32368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵))
3		fveq2 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐵))
4	3	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6		ovex 7476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
8	2, 7	sylan9eq 2818	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
9	8	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   ℋchba 31551   ·_ℎ csm 31553   ·_op chot 31571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-hilex 31631

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-map 8877  df-homul 32363

This theorem is used by:  homcl  32378  honegsubi  32428  homullid  32432  homco1  32433  homulass  32434  hoadddi  32435  hoadddir  32436  nmopnegi  32597  homco2  32609  lnopmi  32632  hmopm  32653  nmophmi  32663  adjmul  32724  leopmuli  32765  leopnmid  32770