Theorem homval 31834

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem homval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hommval 31829	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵))
3		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐵))
4	3	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
5		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6		ovex 7393	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6939	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
8	2, 7	sylan9eq 2796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
9	8	3impa 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031   ℋchba 31012   ·_ℎ csm 31014   ·_op chot 31032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-hilex 31092

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-homul 31824

This theorem is referenced by:  homcl  31839  honegsubi  31889  homullid  31893  homco1  31894  homulass  31895  hoadddi  31896  hoadddir  31897  nmopnegi  32058  homco2  32070  lnopmi  32093  hmopm  32114  nmophmi  32124  adjmul  32185  leopmuli  32226  leopnmid  32231