HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homval 31770
Description: Value of the scalar product with a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem homval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hommval 31765 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))))
21fveq1d 6909 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥)))‘𝐵))
3 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐵))
43oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 · (𝑇𝑥)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
5 eqid 2735 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥)))
6 ovex 7464 . . . 4 (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7016 . . 3 (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
82, 7sylan9eq 2795 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
983impa 1109 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  chba 30948   · csm 30950   ·op chot 30968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-hilex 31028
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-homul 31760
This theorem is referenced by:  homcl  31775  honegsubi  31825  homullid  31829  homco1  31830  homulass  31831  hoadddi  31832  hoadddir  31833  nmopnegi  31994  homco2  32006  lnopmi  32029  hmopm  32050  nmophmi  32060  adjmul  32121  leopmuli  32162  leopnmid  32167
  Copyright terms: Public domain W3C validator