Theorem homval 31723

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem homval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hommval 31718	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6830	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵))
3		fveq2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐵))
4	3	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6		ovex 7385	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
8	2, 7	sylan9eq 2788	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
9	8	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   ℋchba 30901   ·_ℎ csm 30903   ·_op chot 30921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-hilex 30981

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-map 8758  df-homul 31713

This theorem is referenced by:  homcl  31728  honegsubi  31778  homullid  31782  homco1  31783  homulass  31784  hoadddi  31785  hoadddir  31786  nmopnegi  31947  homco2  31959  lnopmi  31982  hmopm  32003  nmophmi  32013  adjmul  32074  leopmuli  32115  leopnmid  32120