Theorem homval 32325

Description: Value of the scalar product with a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem homval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hommval 32320	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6879	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵))
3		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐵))
4	3	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
6		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6985	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
8	2, 7	sylan9eq 2816	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
9	8	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   ℋchba 31503   ·_ℎ csm 31505   ·_op chot 31523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-hilex 31583

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833  df-homul 32315

This theorem is used by:  homcl  32330  honegsubi  32380  homullid  32384  homco1  32385  homulass  32386  hoadddi  32387  hoadddir  32388  nmopnegi  32549  homco2  32561  lnopmi  32584  hmopm  32605  nmophmi  32615  adjmul  32676  leopmuli  32717  leopnmid  32722