HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hodcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hodcl 29178
Description: Closure of the difference of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 15-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hodcl (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hodcl
StepHypRef Expression
1 hodval 29173 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)))
2 ffvelrn 6621 . . . . 5 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
323adant2 1122 . . . 4 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
4 ffvelrn 6621 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
543adant1 1121 . . . 4 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
6 hvsubcl 28446 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)) ∈ ℋ)
73, 5, 6syl2anc 579 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆𝐴) − (𝑇𝐴)) ∈ ℋ)
81, 7eqeltrd 2859 . 2 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
983expa 1108 1 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071  wcel 2107  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  chba 28348   cmv 28354  op chod 28369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hfvmul 28434
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-hvsub 28400  df-hodif 29163
This theorem is referenced by:  hodcli  29194
  Copyright terms: Public domain W3C validator