Theorem hpgssplng 29032

Description: Any point 𝑋 on a half plane defined by a line 𝐴 and another point 𝑌 is on the plane defined by 𝐴 and 𝑌. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgssplng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgssplng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgssplng.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
hpgssplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hpgssplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
hpgssplng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
hpgssplng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgssplng.1	⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)

Assertion

Ref	Expression
hpgssplng	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑌))

Proof of Theorem hpgssplng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgssplng.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌)
2	1	3mix2d 1354	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∨ 𝑋{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑌))
3		hpgssplng.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		hpgssplng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgssplng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
7		hpgssplng.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hpgssplng.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		hpgssplng.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}
11		hpgssplng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	elplng 29016	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑌) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑌 ∨ 𝑋{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))}𝑌)))
13	2, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   class class class wbr 5110  {copab 5174  ran crn 5660  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  TarskiGcstrkg 28658  Itvcitv 28664  LineGclng 28665  hpGchpg 28994  hlGcplng 29009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-plng 29010

This theorem is referenced by:  prlngpln3  29148  prlngex  29150  prlngmolem2  29152