Theorem plng3p 29268

Description: If 𝐻 is a plane containing a line 𝐴 and a point 𝑅 not on 𝐴, then 𝐻 is the plane defined by 𝐴 and 𝑅. Theorem 9.26 of [Schwabhauser] p. 76. See tglinethru 29097 for the 2-point line equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plng3p.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plng3p.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plng3p.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plng3p.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plng3p.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
plng3p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
plng3p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
plng3p.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
plng3p	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Proof of Theorem plng3p

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
2		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
3	2	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
4		plng3p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		plng3p.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		plng3p.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
8		plng3p.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		plng3p.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11	10	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
13	2	difeq2d 4074	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝑃 ∖ 𝐴) = (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
14	12, 13	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
15		plng3p.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
16	15	ad6antr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
17	3, 1	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = 𝐻)
18	17	difeq1d 4073	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴) = (𝐻 ∖ 𝐴))
19	16, 18	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴))
20	4, 5, 6, 7, 9, 11, 14, 19	plngcp 29257	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = (𝐴𝐸𝑅))
21	1, 3, 20	3eqtr2d 2802	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
22	8	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
23		plng3p.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
24	23	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
25		plng3p.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
26	25	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
27		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
28		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx1 29094	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
31		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
32	30, 31	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
33	26, 32	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐻)
34	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx2 29095	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
35	34, 31	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
36	26, 35	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐻)
37	4, 5, 6, 7, 22, 24, 33, 36, 29	lnssplng 29263	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝐿𝑦) ⊆ 𝐻 ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)))
38	37	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
39	21, 38	r19.29a 3171	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
40	39	anasss 472	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
41	4, 5, 6, 8, 10	tgisline 29088	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
42	40, 41	r19.29vva 3223	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  hlGcplng 29244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkgld 28907  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-leg 29039  df-hlg 29057  df-mir 29118  df-rag 29162  df-perpg 29164  df-hpg 29229  df-plng 29245

This theorem is used by:  perpeq  29341  prlnghpg  29417  prlngmolem2  29424  prlngpln4  29429