Theorem plng3p 29079

Description: If 𝐻 is a plane containing a line 𝐴 and a point 𝑅 not on 𝐴, then 𝐻 is the plane defined by 𝐴 and 𝑅. Theorem 9.26 of [Schwabhauser] p. 76. See tglinethru 28909 for the 2-point line equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plng3p.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plng3p.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plng3p.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plng3p.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plng3p.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
plng3p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
plng3p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
plng3p.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
plng3p	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Proof of Theorem plng3p

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
2		simp-4r 795	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
3	2	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
4		plng3p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		plng3p.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		plng3p.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
8		plng3p.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad6antr 748	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		plng3p.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11	10	ad6antr 748	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
13	2	difeq2d 4081	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝑃 ∖ 𝐴) = (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
14	12, 13	eleqtrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
15		plng3p.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
16	15	ad6antr 748	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
17	3, 1	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = 𝐻)
18	17	difeq1d 4080	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴) = (𝐻 ∖ 𝐴))
19	16, 18	eleqtrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴))
20	4, 5, 6, 7, 9, 11, 14, 19	plngcp 29068	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = (𝐴𝐸𝑅))
21	1, 3, 20	3eqtr2d 2804	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
22	8	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
23		plng3p.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
24	23	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
25		plng3p.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
26	25	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
27		simp-4r 795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
28		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx1 28906	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
31		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
32	30, 31	eleqtrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
33	26, 32	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐻)
34	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx2 28907	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
35	34, 31	eleqtrrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
36	26, 35	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐻)
37	4, 5, 6, 7, 22, 24, 33, 36, 29	lnssplng 29074	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝐿𝑦) ⊆ 𝐻 ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)))
38	37	simprd 500	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
39	21, 38	r19.29a 3173	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
40	39	anasss 471	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
41	4, 5, 6, 8, 10	tgisline 28900	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
42	40, 41	r19.29vva 3225	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  hlGcplng 29055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkgld 28721  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-leg 28852  df-hlg 28870  df-mir 28930  df-rag 28974  df-perpg 28976  df-hpg 29040  df-plng 29056

This theorem is referenced by:  perpeq  29151  prlnghpg  29196  prlngmolem2  29203  prlngpln4  29208