Theorem plng3p 29036

Description: If 𝐻 is a plane containing a line 𝐴 and a point 𝑅 not on 𝐴, then 𝐻 is the plane defined by 𝐴 and 𝑅. Theorem 9.26 of [Schwabhauser] p. 76. See tglinethru 28870 for the 2-point line equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plng3p.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plng3p.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plng3p.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plng3p.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plng3p.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
plng3p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
plng3p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
plng3p.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
plng3p	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Proof of Theorem plng3p

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
2		simp-4r 795	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
3	2	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
4		plng3p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		plng3p.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		plng3p.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
8		plng3p.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad6antr 748	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		plng3p.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11	10	ad6antr 748	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
13	2	difeq2d 4089	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝑃 ∖ 𝐴) = (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
14	12, 13	eleqtrrd 2872	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
15		plng3p.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
16	15	ad6antr 748	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
17	3, 1	eqtr4d 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = 𝐻)
18	17	difeq1d 4088	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴) = (𝐻 ∖ 𝐴))
19	16, 18	eleqtrrd 2872	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴))
20	4, 5, 6, 7, 9, 11, 14, 19	plngcp 29025	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = (𝐴𝐸𝑅))
21	1, 3, 20	3eqtr2d 2810	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
22	8	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
23		plng3p.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
24	23	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
25		plng3p.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
26	25	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
27		simp-4r 795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
28		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx1 28867	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
31		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
32	30, 31	eleqtrrd 2872	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
33	26, 32	sseldd 3946	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐻)
34	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx2 28868	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
35	34, 31	eleqtrrd 2872	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
36	26, 35	sseldd 3946	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐻)
37	4, 5, 6, 7, 22, 24, 33, 36, 29	lnssplng 29031	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝐿𝑦) ⊆ 𝐻 ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)))
38	37	simprd 500	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
39	21, 38	r19.29a 3179	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
40	39	anasss 471	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
41	4, 5, 6, 8, 10	tgisline 28861	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
42	40, 41	r19.29vva 3231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  TarskiGcstrkg 28661  Itvcitv 28667  LineGclng 28668  hlGcplng 29012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28682  df-trkgb 28683  df-trkgcb 28684  df-trkgld 28686  df-trkg 28687  df-cgrg 28745  df-leg 28817  df-hlg 28835  df-mir 28891  df-rag 28932  df-perpg 28934  df-hpg 28998  df-plng 29013

This theorem is referenced by:  perpeq  29105  prlnghpg  29150  prlngmolem2  29155