Theorem plng3p 29282

Description: If 𝐻 is a plane containing a line 𝐴 and a point 𝑅 not on 𝐴, then 𝐻 is the plane defined by 𝐴 and 𝑅. Theorem 9.26 of [Schwabhauser] p. 76. See tglinethru 29111 for the 2-point line equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plng3p.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plng3p.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plng3p.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plng3p.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plng3p.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
plng3p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
plng3p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
plng3p.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
plng3p	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Proof of Theorem plng3p

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
2		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
3	2	oveq1d 7437	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
4		plng3p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		plng3p.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		plng3p.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
8		plng3p.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		plng3p.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11	10	ad6antr 749	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
13	2	difeq2d 4062	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝑃 ∖ 𝐴) = (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
14	12, 13	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
15		plng3p.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
16	15	ad6antr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
17	3, 1	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = 𝐻)
18	17	difeq1d 4061	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴) = (𝐻 ∖ 𝐴))
19	16, 18	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴))
20	4, 5, 6, 7, 9, 11, 14, 19	plngcp 29271	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = (𝐴𝐸𝑅))
21	1, 3, 20	3eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
22	8	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
23		plng3p.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
24	23	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
25		plng3p.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
26	25	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
27		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
28		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx1 29108	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
31		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
32	30, 31	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
33	26, 32	sseldd 3910	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐻)
34	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx2 29109	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
35	34, 31	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
36	26, 35	sseldd 3910	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐻)
37	4, 5, 6, 7, 22, 24, 33, 36, 29	lnssplng 29277	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝐿𝑦) ⊆ 𝐻 ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)))
38	37	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
39	21, 38	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
40	39	anasss 472	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
41	4, 5, 6, 8, 10	tgisline 29102	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
42	40, 41	r19.29vva 3222	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  hlGcplng 29258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkgld 28921  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-leg 29053  df-hlg 29071  df-mir 29132  df-rag 29176  df-perpg 29178  df-hpg 29243  df-plng 29259

This theorem is used by:  perpeq  29355  prlnghpg  29431  prlngmolem2  29438  prlngpln4  29443