Theorem plng3p 28997

Description: If 𝐻 is a plane containing a line 𝐴 and a point 𝑅 not on 𝐴, then 𝐻 is the plane defined by 𝐴 and 𝑅. Theorem 9.26 of [Schwabhauser] p. 76. See tglinethru 28802 for the 2-point line equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plng3p.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plng3p.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plng3p.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plng3p.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plng3p.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
plng3p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
plng3p.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
plng3p.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
plng3p	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Proof of Theorem plng3p

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
2		simp-4r 793	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
3	2	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
4		plng3p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		plng3p.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		plng3p.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
8		plng3p.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	ad6antr 746	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		plng3p.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
11	10	ad6antr 746	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
12		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
13	2	difeq2d 4080	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝑃 ∖ 𝐴) = (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦)))
14	12, 13	eleqtrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
15		plng3p.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
16	15	ad6antr 746	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
17	3, 1	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = 𝐻)
18	17	difeq1d 4079	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴) = (𝐻 ∖ 𝐴))
19	16, 18	eleqtrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝑅 ∈ ((𝐴𝐸𝑠) ∖ 𝐴))
20	4, 5, 6, 7, 9, 11, 14, 19	plngcp 28990	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → (𝐴𝐸𝑠) = (𝐴𝐸𝑅))
21	1, 3, 20	3eqtr2d 2803	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))) ∧ 𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
22	8	ad4antr 742	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
23		plng3p.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
24	23	ad4antr 742	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
25		plng3p.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
26	25	ad4antr 742	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
27		simp-4r 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
28		simpllr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
29		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx1 28799	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
31		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
32	30, 31	eleqtrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
33	26, 32	sseldd 3937	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐻)
34	4, 5, 6, 22, 27, 28, 29	tglinerflx2 28800	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
35	34, 31	eleqtrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
36	26, 35	sseldd 3937	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐻)
37	4, 5, 6, 7, 22, 24, 33, 36, 29	lnssplng 28996	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝐿𝑦) ⊆ 𝐻 ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠)))
38	37	simprd 499	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑠 ∈ (𝑃 ∖ (𝑥𝐿𝑦))𝐻 = ((𝑥𝐿𝑦)𝐸𝑠))
39	21, 38	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
40	39	anasss 470	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))
41	4, 5, 6, 8, 10	tgisline 28793	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
42	40, 41	r19.29vva 3222	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ran crn 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  TarskiGcstrkg 28593  Itvcitv 28599  LineGclng 28600  hlGcplng 28977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-concat 14584  df-s1 14610  df-s2 14861  df-s3 14862  df-trkgc 28614  df-trkgb 28615  df-trkgcb 28616  df-trkgld 28618  df-trkg 28619  df-cgrg 28677  df-leg 28749  df-hlg 28767  df-mir 28823  df-rag 28864  df-perpg 28866  df-hpg 28928  df-plng 28978

This theorem is referenced by: (None)