Theorem mirplncl 29330

Description: The mirror of a point with regard to another point is in the same plane as the two points. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirplncl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirplncl.h	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
mirplncl.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirplncl.1	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
mirplncl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirplncl.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
mirplncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
mirplncl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
mirplncl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem mirplncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
3		mirplncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
7		mirplncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirplncl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirplncl.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		mirplncl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		mirplncl.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
13	3, 5, 6, 10, 8, 11, 12	plngrnssp 29314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15		mirplncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
16	3, 4, 5, 6, 7, 9, 14, 15	mircinv 29197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = 𝑋)
17	2, 16	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) = 𝑋)
18	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
19	17, 18	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
20	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
22	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23		mirplncl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐻)
25		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	3, 5, 6, 10, 20, 21, 22, 24, 25	lnssplng1 29328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ⊆ 𝐻)
27	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
28	3, 5, 6, 10, 8, 11, 23	plngrnssp 29314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tgelrnln 29155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx1 29158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
32	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx2 29159	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
33	3, 4, 5, 6, 7, 20, 15, 30, 31, 32	mirln 29205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
34	26, 33	sseldd 3914	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
35	19, 34	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  distcds 17481  TarskiGcstrkg 28946  Itvcitv 28952  LineGclng 28953  pInvGcmir 29181  hlGcplng 29308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-s3 15042  df-trkgc 28967  df-trkgb 28968  df-trkgcb 28969  df-trkgld 28971  df-trkg 28972  df-cgrg 29031  df-leg 29103  df-hlg 29121  df-mir 29182  df-rag 29226  df-perpg 29228  df-hpg 29293  df-plng 29309

This theorem is used by:  perpeq  29405  prlngmid2  29496