Theorem mirplncl 29280

Description: The mirror of a point with regard to another point is in the same plane as the two points. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirplncl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirplncl.h	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
mirplncl.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirplncl.1	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
mirplncl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirplncl.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
mirplncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
mirplncl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
mirplncl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem mirplncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
3		mirplncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
7		mirplncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirplncl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirplncl.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		mirplncl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		mirplncl.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
13	3, 5, 6, 10, 8, 11, 12	plngrnssp 29264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15		mirplncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
16	3, 4, 5, 6, 7, 9, 14, 15	mircinv 29147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = 𝑋)
17	2, 16	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) = 𝑋)
18	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
19	17, 18	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
20	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
22	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23		mirplncl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐻)
25		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	3, 5, 6, 10, 20, 21, 22, 24, 25	lnssplng1 29278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ⊆ 𝐻)
27	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
28	3, 5, 6, 10, 8, 11, 23	plngrnssp 29264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tgelrnln 29105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx1 29108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
32	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx2 29109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
33	3, 4, 5, 6, 7, 20, 15, 30, 31, 32	mirln 29155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
34	26, 33	sseldd 3910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
35	19, 34	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  distcds 17444  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  pInvGcmir 29131  hlGcplng 29258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkgld 28921  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-leg 29053  df-hlg 29071  df-mir 29132  df-rag 29176  df-perpg 29178  df-hpg 29243  df-plng 29259

This theorem is used by:  perpeq  29355  prlngmid2  29446