Theorem mirplncl 29152

Description: The mirror of a point with regard to another point is in the same plane as the two points. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirplncl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirplncl.h	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
mirplncl.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirplncl.1	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
mirplncl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirplncl.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
mirplncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
mirplncl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
mirplncl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem mirplncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
3		mirplncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
7		mirplncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirplncl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirplncl.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		mirplncl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		mirplncl.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
13	3, 5, 6, 10, 8, 11, 12	plngrnssp 29136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15		mirplncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
16	3, 4, 5, 6, 7, 9, 14, 15	mircinv 29019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = 𝑋)
17	2, 16	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) = 𝑋)
18	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
19	17, 18	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
20	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
22	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23		mirplncl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐻)
25		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	3, 5, 6, 10, 20, 21, 22, 24, 25	lnssplng1 29150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ⊆ 𝐻)
27	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
28	3, 5, 6, 10, 8, 11, 23	plngrnssp 29136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tgelrnln 28977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx1 28980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
32	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx2 28981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
33	3, 4, 5, 6, 7, 20, 15, 30, 31, 32	mirln 29027	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
34	26, 33	sseldd 3932	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
35	19, 34	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  distcds 17351  TarskiGcstrkg 28768  Itvcitv 28774  LineGclng 28775  pInvGcmir 29003  hlGcplng 29130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28789  df-trkgb 28790  df-trkgcb 28791  df-trkgld 28793  df-trkg 28794  df-cgrg 28853  df-leg 28925  df-hlg 28943  df-mir 29004  df-rag 29048  df-perpg 29050  df-hpg 29115  df-plng 29131

This theorem is used by:  perpeq  29227  prlngmid2  29318