Theorem mirplncl 29086

Description: The mirror of a point with regard to another point is in the same plane as the two points. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirplncl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirplncl.h	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
mirplncl.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirplncl.1	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
mirplncl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirplncl.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
mirplncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
mirplncl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
mirplncl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem mirplncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
3		mirplncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
7		mirplncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirplncl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirplncl.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		mirplncl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		mirplncl.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
13	3, 5, 6, 10, 8, 11, 12	plngrnssp 29070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15		mirplncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
16	3, 4, 5, 6, 7, 9, 14, 15	mircinv 28954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = 𝑋)
17	2, 16	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) = 𝑋)
18	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
19	17, 18	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
20	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
22	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23		mirplncl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐻)
25		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	3, 5, 6, 10, 20, 21, 22, 24, 25	lnssplng1 29084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ⊆ 𝐻)
27	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
28	3, 5, 6, 10, 8, 11, 23	plngrnssp 29070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tgelrnln 28912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx1 28915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
32	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx2 28916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
33	3, 4, 5, 6, 7, 20, 15, 30, 31, 32	mirln 28962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
34	26, 33	sseldd 3938	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
35	19, 34	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  distcds 17323  TarskiGcstrkg 28705  Itvcitv 28711  LineGclng 28712  pInvGcmir 28938  hlGcplng 29064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-trkgc 28726  df-trkgb 28727  df-trkgcb 28728  df-trkgld 28730  df-trkg 28731  df-cgrg 28789  df-leg 28861  df-hlg 28879  df-mir 28939  df-rag 28983  df-perpg 28985  df-hpg 29049  df-plng 29065

This theorem is used by:  perpeq  29160  prlngmid2  29220