Theorem mirplncl 29031

Description: The mirror of a point with regard to another point is in the same plane as the two points. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirplncl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirplncl.h	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
mirplncl.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirplncl.1	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
mirplncl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirplncl.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
mirplncl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
mirplncl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
mirplncl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem mirplncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
2	1	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘𝑌))
3		mirplncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
7		mirplncl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8		mirplncl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirplncl.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		mirplncl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		mirplncl.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
13	3, 5, 6, 10, 8, 11, 12	plngrnssp 29015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15		mirplncl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝑋)
16	3, 4, 5, 6, 7, 9, 14, 15	mircinv 28903	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑋) = 𝑋)
17	2, 16	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) = 𝑋)
18	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
19	17, 18	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
20	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
22	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐻)
23		mirplncl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐻)
25		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	3, 5, 6, 10, 20, 21, 22, 24, 25	lnssplng1 29029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ⊆ 𝐻)
27	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
28	3, 5, 6, 10, 8, 11, 23	plngrnssp 29015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
30	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tgelrnln 28861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌) ∈ ran (LineG‘𝐺))
31	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx1 28864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
32	3, 5, 6, 20, 27, 29, 25	tglinerflx2 28865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
33	3, 4, 5, 6, 7, 20, 15, 30, 31, 32	mirln 28911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ (𝑋(LineG‘𝐺)𝑌))
34	26, 33	sseldd 3946	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)
35	19, 34	pm2.61dane 3051	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ran crn 5660  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  distcds 17315  TarskiGcstrkg 28658  Itvcitv 28664  LineGclng 28665  pInvGcmir 28887  hlGcplng 29009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28679  df-trkgb 28680  df-trkgcb 28681  df-trkgld 28683  df-trkg 28684  df-cgrg 28742  df-leg 28814  df-hlg 28832  df-mir 28888  df-rag 28929  df-perpg 28931  df-hpg 28995  df-plng 29010

This theorem is referenced by:  perpeq  29102