Theorem dfprlng2 29452

Description: Alternate definition of (strict) parallelism. Theorem 12.7 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfprlng2.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfprlng2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
dfprlng2.p	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
dfprlng2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfprlng2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
dfprlng2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
dfprlng2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
dfprlng2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑃 ∖ {𝑍}))
dfprlng2.1	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ (𝑍𝐿𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dfprlng2	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊) ↔ (𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)))

Proof of Theorem dfprlng2

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfprlng2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ (𝑍𝐿𝑊))
2	1	neneqd 2964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋𝐿𝑌) = (𝑍𝐿𝑊))
3		biorf 950	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋𝐿𝑌) = (𝑍𝐿𝑊) → ((∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ↔ ((𝑋𝐿𝑌) = (𝑍𝐿𝑊) ∨ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅))))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ↔ ((𝑋𝐿𝑌) = (𝑍𝐿𝑊) ∨ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅))))
5	4	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑍𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿) ∧ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)) ↔ (((𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑍𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) = (𝑍𝐿𝑊) ∨ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)))))
6		dfprlng2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
8		dfprlng2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		dfprlng2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		dfprlng2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11		dfprlng2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
12	11	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13	11	eldifsnbd 4749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
14	13	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
15	6, 7, 8, 9, 10, 12, 14	tgelrnln 29125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
16		dfprlng2.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
17		dfprlng2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑃 ∖ {𝑍}))
18	17	eldifad 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
19	17	eldifsnbd 4749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑍)
20	19	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑊)
21	6, 7, 8, 9, 16, 18, 20	tgelrnln 29125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
22	15, 21	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑍𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿))
23	22	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ↔ (((𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑍𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿) ∧ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅))))
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
25		dfprlng2.p	. . . 4 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
26	8, 24, 25, 9	brprlng 29443	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊) ↔ (((𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑍𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) = (𝑍𝐿𝑊) ∨ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)))))
27	5, 23, 26	3bitr4rd 315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊) ↔ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)))
28	9	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → 𝐺 ∈ TarskiG)
29		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺))
30		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ)
31		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ)
32		rspe 3256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ)) → ∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ))
33	29, 30, 31, 32	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → ∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ))
34		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)
35	27	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → ((𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊) ↔ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)))
36	33, 34, 35	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
37	1	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → (𝑋𝐿𝑌) ≠ (𝑍𝐿𝑊))
38	6, 7, 8, 9, 16, 18, 20	tglinerflx1 29128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
39	38	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → 𝑍 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
40	6, 7, 8, 9, 16, 18, 20	tglinerflx2 29129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
41	40	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
42	8, 24, 25, 28, 36, 37, 39, 41	prlnghpg 29451	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊)
43	42	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ)) → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊)
44	43	r19.29an 3170	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ ∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ)) → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊)
45		sseq2 3939	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊) → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ↔ (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊)))
46		sseq2 3939	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊) → ((𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ ↔ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊)))
47	45, 46	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊) → (((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ↔ ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊))))
48	9	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	15	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
50	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝑊 ∈ 𝑃)
51		nel02 4288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅ → ¬ 𝑊 ∈ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)))
52	51	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → ¬ 𝑊 ∈ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)))
53		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
54	40	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
55	53, 54	elind 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑊 ∈ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)))
56	52, 55	mtand 828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → ¬ 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
57	50, 56	eldifd 4053	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝑊 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
58	6, 8, 24, 48, 49, 57	tgelrnpln 29281	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊) ∈ ran (hlG‘𝐺))
59	6, 7, 8, 24, 48, 49, 57	elplnglnid 29288	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → (𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊))
60	16	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑃)
61		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊)
62	6, 8, 24, 49, 60, 57, 48, 61	hpgssplng 29301	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝑍 ∈ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊))
63	6, 7, 8, 24, 48, 49, 57	elplngid 29287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝑊 ∈ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊))
64	20	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → 𝑍 ≠ 𝑊)
65	6, 7, 8, 24, 48, 58, 62, 63, 64	lnssplng1 29298	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊))
66	59, 65	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → ((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊) ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)(hlG‘𝐺)𝑊)))
67	47, 58, 66	rspcedvdw 3583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) → ∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ))
68	44, 67	impbida 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) → (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ↔ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊))
69	68	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅ ∧ ∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ)) ↔ (((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅ ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊)))
70		ancom 466	. . 3 ⊢ ((((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅ ∧ ∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ)) ↔ (∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅))
71		ancom 466	. . 3 ⊢ ((((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅ ∧ 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊) ↔ (𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅))
72	69, 70, 71	3bitr3g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃ℎ ∈ ran (hlG‘𝐺)((𝑋𝐿𝑌) ⊆ ℎ ∧ (𝑍𝐿𝑊) ⊆ ℎ) ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅) ↔ (𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)))
73	27, 72	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊) ↔ (𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑌))𝑊 ∧ ((𝑋𝐿𝑌) ∩ (𝑍𝐿𝑊)) = ∅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  TarskiGcstrkg 28916  Itvcitv 28922  LineGclng 28923  hpGchpg 29262  hlGcplng 29278  parlnGcprlng 29441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkgld 28941  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-leg 29073  df-hlg 29091  df-mir 29152  df-rag 29196  df-perpg 29198  df-hpg 29263  df-plng 29279  df-prlng 29442

This theorem is used by:  dfprlng3  29453