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Theorem prlngex 29212

Description: There exists at least one parallel line 𝑏 to a given line 𝐴 through a given point 𝑋. Theorem 12.10 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
prlngeu.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeu.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngeu.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeu.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngex.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
prlngex	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups: ∥ ,𝑏 𝐴,𝑏 𝐿,𝑏 𝑋,𝑏 𝜑,𝑏 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑏) 𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngex Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5112	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐴))
2		eleq2 2851	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
4		prlngeu.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngeu.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
8		prlngeu.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
9		prlngeu.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	6, 7, 8, 10, 5	prlngref 29201	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝐴)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
13	11, 12	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴))
14	3, 5, 13	rspcedvdw 3583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
15		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋)))
16		eleq2 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋)))
17	15, 16	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋))))
18	9	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	20	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋))
23	6, 21, 22	perpln2 29002	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
24		prlngeu.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
25	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
26	25	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad5antr 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28		prlngex.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
31		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
32	30, 31	eldifd 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
33	32	ad5antr 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34	24, 6, 7, 21, 27, 33	tgelrnpln 29069	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋) ∈ ran (hlG‘𝐺))
35		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
36	24, 35, 6, 7, 21, 27, 33	elplnglnid 29076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
37		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
38	24, 6, 35, 19, 26, 37	tglnpt 28829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39		nelne2 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑋)
40	37, 31, 39	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑋)
41	40	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑦)
42	24, 35, 6, 19, 30, 38, 41	tgelrnln 28914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
43	42	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
44	43	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
45		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ 𝑃)
46	26	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
48	47	eldifad 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ 𝐴)
49	24, 6, 35, 20, 46, 48	tglnpt 28829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ 𝑃)
50	47	eldifbd 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
51	49, 50	eldifd 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
52	51	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
53		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡)
54	24, 6, 7, 44, 45, 52, 21, 53	hpgssplng 29089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡))
55	30	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	55	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
57	31	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
58	49	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑃)
59	38	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ 𝑃)
61		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ≠ 𝑦)
62	48	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐴)
63	37	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ 𝐴)
64	24, 35, 6, 21, 58, 60, 61, 61, 27, 62, 63	tglinethru 28920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 = (𝑡𝐿𝑦))
65	57, 64	neleqtrd 2884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑡𝐿𝑦))
66	56, 65	eldifd 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑡𝐿𝑦)))
67	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ≠ 𝑦)
68	67	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ≠ 𝑦)
69	24, 35, 6, 7, 21, 66, 60, 52, 68	plngrot 29083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡) = ((𝑡𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑋))
70	64	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋) = ((𝑡𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑋))
71	69, 70	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡) = (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
72	54, 71	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
73	24, 35, 6, 7, 21, 27, 33	elplngid 29075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
74	24, 35, 6, 21, 45, 56, 23	tglnne 28912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ≠ 𝑋)
75	24, 35, 6, 7, 21, 34, 72, 73, 74	lnssplng1 29086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋) ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
76	36, 63	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
77	24, 35, 6, 7, 21, 34, 73, 76, 68	lnssplng1 29086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦) ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
78		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
79		simp-6r 799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
80	24, 78, 35, 6, 21, 44, 27, 79	perpcom 29004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑦))
81	24, 78, 35, 6, 21, 44, 23, 22	perpcom 29004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑦))
82	24, 6, 7, 8, 21, 34, 36, 75, 77, 80, 81	perpprlng 29211	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋))
83	24, 35, 6, 21, 45, 56, 74	tglinerflx2 28918	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋))
84	82, 83	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋)))
85	17, 23, 84	rspcedvdw 3583	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
86	85	anasss 471	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
87	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	29	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
89	38	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑃)
90	26	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
91		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
92	24, 6, 35, 87, 90, 91	tglnpt 28829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
93	42	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
94		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
95	24, 78, 35, 6, 87, 93, 90, 94	perpneq 29005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦) ≠ 𝐴)
96	95	neneqd 2962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (𝑋𝐿𝑦) = 𝐴)
97	87	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98	92	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
99	89	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
100		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
101	100	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ≠ 𝑦)
102	93	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
103		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
104	88	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
105	41	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
106	24, 35, 6, 97, 104, 99, 105	tglinerflx2 28918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
107	24, 35, 6, 97, 98, 99, 101, 101, 102, 103, 106	tglinethru 28920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) = (𝑧𝐿𝑦))
108	90	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
109		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
110	37	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
111	24, 35, 6, 97, 98, 99, 101, 101, 108, 109, 110	tglinethru 28920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐴 = (𝑧𝐿𝑦))
112	107, 111	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) = 𝐴)
113	96, 112	mtand 827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
114	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑦)
115	114	neneqd 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
116		ioran 998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∨ 𝑋 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑦))
117	113, 115, 116	sylanbrc 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∨ 𝑋 = 𝑦))
118	24, 6, 35, 87, 88, 89, 92, 117	ncoltgdim2 28845	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
119	24, 35, 6, 19, 26, 37	tglnpt2 28937	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ≠ 𝑧)
120	118, 119	r19.29a 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
121	120	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
122	24, 35, 6, 20, 55, 59, 67	tglinerflx1 28917	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
123	24, 6, 20, 121, 43, 122, 49, 50	lnperpexs 29125	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ 𝑃 ((𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡))
124	86, 123	r19.29a 3172	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
125		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
126	24, 78, 35, 6, 19, 42, 26, 125	perpneq 29005	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦) ≠ 𝐴)
127	126	necomd 3012	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑦))
128	24, 35, 6, 19, 26, 42, 37, 127	tglnpt4 28939	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))𝑡 ≠ 𝑦)
129	124, 128	r19.29a 3172	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
130		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
131	24, 78, 35, 6, 18, 25, 29, 130	footex 29012	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
132	129, 131	r19.29a 3172	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
133	14, 132	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1569 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∃wrex 3088 ∖ cdif 3901 class class class wbr 5108 ran crn 5661 ‘cfv 6536 (class class class)co 7412 2c2 12301 Basecbs 17275 distcds 17325 TarskiGcstrkg 28707 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28711 Itvcitv 28713 LineGclng 28714 ⟂Gcperpg 28986 hpGchpg 29050 hlGcplng 29066 parlnGcprlng 29197

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1824 ax-4 1838 ax-5 1939 ax-6 1996 ax-7 2037 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5237 ax-sep 5256 ax-nul 5268 ax-pow 5335 ax-pr 5403 ax-un 7734 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1103 df-3an 1104 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1809 df-nf 1813 df-sb 2096 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3416 df-v 3456 df-sbc 3744 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4487 df-pw 4563 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4595 df-uni 4872 df-int 4912 df-iun 4957 df-br 5109 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5555 df-eprel 5560 df-po 5568 df-so 5569 df-fr 5613 df-we 5615 df-xp 5666 df-rel 5667 df-cnv 5668 df-co 5669 df-dm 5670 df-rn 5671 df-res 5672 df-ima 5673 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7861 df-1st 7984 df-2nd 7985 df-frecs 8276 df-wrecs 8307 df-recs 8356 df-rdg 8395 df-1o 8451 df-oadd 8455 df-er 8692 df-map 8824 df-pm 8825 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-dju 9894 df-card 9932 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11449 df-neg 11450 df-nn 12240 df-2 12309 df-3 12310 df-n0 12511 df-xnn0 12584 df-z 12598 df-uz 12869 df-fz 13542 df-fzo 13690 df-hash 14374 df-word 14558 df-concat 14615 df-s1 14641 df-s2 14892 df-s3 14893 df-trkgc 28728 df-trkgb 28729 df-trkgcb 28730 df-trkgld 28732 df-trkg 28733 df-cgrg 28791 df-ismt 28813 df-leg 28863 df-hlg 28881 df-mir 28941 df-rag 28985 df-perpg 28987 df-hpg 29051 df-plng 29067 df-mid 29094 df-lmi 29095 df-cgra 29130 df-prlng 29198

This theorem is used by: prlngeu 29216 quadcgrprlng 29227

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