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Theorem prlngex 29230

Description: There exists at least one parallel line 𝑏 to a given line 𝐴 through a given point 𝑋. Theorem 12.10 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
prlngeu.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeu.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngeu.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeu.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngex.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
prlngex	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups: ∥ ,𝑏 𝐴,𝑏 𝐿,𝑏 𝑋,𝑏 𝜑,𝑏 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑏) 𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngex Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5115	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐴))
2		eleq2 2854	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
4		prlngeu.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngeu.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
8		prlngeu.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
9		prlngeu.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	6, 7, 8, 10, 5	prlngref 29219	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝐴)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
13	11, 12	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴))
14	3, 5, 13	rspcedvdw 3586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
15		breq2 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋)))
16		eleq2 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋)))
17	15, 16	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋))))
18	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋))
23	6, 21, 22	perpln2 29020	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
24		prlngeu.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
25	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad5antr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28		prlngex.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
31		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
32	30, 31	eldifd 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
33	32	ad5antr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34	24, 6, 7, 21, 27, 33	tgelrnpln 29087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋) ∈ ran (hlG‘𝐺))
35		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
36	24, 35, 6, 7, 21, 27, 33	elplnglnid 29094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
37		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
38	24, 6, 35, 19, 26, 37	tglnpt 28847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39		nelne2 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑋)
40	37, 31, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑋)
41	40	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑦)
42	24, 35, 6, 19, 30, 38, 41	tgelrnln 28932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
44	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
45		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ 𝑃)
46	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
48	47	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ 𝐴)
49	24, 6, 35, 20, 46, 48	tglnpt 28847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ 𝑃)
50	47	eldifbd 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
51	49, 50	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
52	51	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡)
54	24, 6, 7, 44, 45, 52, 21, 53	hpgssplng 29107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡))
55	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	55	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
57	31	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
58	49	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑃)
59	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ 𝑃)
61		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ≠ 𝑦)
62	48	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐴)
63	37	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ 𝐴)
64	24, 35, 6, 21, 58, 60, 61, 61, 27, 62, 63	tglinethru 28938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 = (𝑡𝐿𝑦))
65	57, 64	neleqtrd 2887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑡𝐿𝑦))
66	56, 65	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑡𝐿𝑦)))
67	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ≠ 𝑦)
68	67	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ≠ 𝑦)
69	24, 35, 6, 7, 21, 66, 60, 52, 68	plngrot 29101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡) = ((𝑡𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑋))
70	64	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋) = ((𝑡𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑋))
71	69, 70	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡) = (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
72	54, 71	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
73	24, 35, 6, 7, 21, 27, 33	elplngid 29093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
74	24, 35, 6, 21, 45, 56, 23	tglnne 28930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ≠ 𝑋)
75	24, 35, 6, 7, 21, 34, 72, 73, 74	lnssplng1 29104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋) ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
76	36, 63	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
77	24, 35, 6, 7, 21, 34, 73, 76, 68	lnssplng1 29104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦) ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
78		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
79		simp-6r 800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
80	24, 78, 35, 6, 21, 44, 27, 79	perpcom 29022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑦))
81	24, 78, 35, 6, 21, 44, 23, 22	perpcom 29022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑦))
82	24, 6, 7, 8, 21, 34, 36, 75, 77, 80, 81	perpprlng 29229	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋))
83	24, 35, 6, 21, 45, 56, 74	tglinerflx2 28936	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋))
84	82, 83	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋)))
85	17, 23, 84	rspcedvdw 3586	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
86	85	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
87	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	29	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
89	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑃)
90	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
91		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
92	24, 6, 35, 87, 90, 91	tglnpt 28847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
93	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
94		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
95	24, 78, 35, 6, 87, 93, 90, 94	perpneq 29023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦) ≠ 𝐴)
96	95	neneqd 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (𝑋𝐿𝑦) = 𝐴)
97	87	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
99	89	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
100		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
101	100	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ≠ 𝑦)
102	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
103		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
104	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
105	41	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
106	24, 35, 6, 97, 104, 99, 105	tglinerflx2 28936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
107	24, 35, 6, 97, 98, 99, 101, 101, 102, 103, 106	tglinethru 28938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) = (𝑧𝐿𝑦))
108	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
109		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
110	37	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
111	24, 35, 6, 97, 98, 99, 101, 101, 108, 109, 110	tglinethru 28938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐴 = (𝑧𝐿𝑦))
112	107, 111	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) = 𝐴)
113	96, 112	mtand 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
114	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑦)
115	114	neneqd 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
116		ioran 999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∨ 𝑋 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑦))
117	113, 115, 116	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∨ 𝑋 = 𝑦))
118	24, 6, 35, 87, 88, 89, 92, 117	ncoltgdim2 28863	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
119	24, 35, 6, 19, 26, 37	tglnpt2 28955	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ≠ 𝑧)
120	118, 119	r19.29a 3175	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
121	120	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
122	24, 35, 6, 20, 55, 59, 67	tglinerflx1 28935	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
123	24, 6, 20, 121, 43, 122, 49, 50	lnperpexs 29143	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ 𝑃 ((𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡))
124	86, 123	r19.29a 3175	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
125		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
126	24, 78, 35, 6, 19, 42, 26, 125	perpneq 29023	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦) ≠ 𝐴)
127	126	necomd 3015	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑦))
128	24, 35, 6, 19, 26, 42, 37, 127	tglnpt4 28957	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))𝑡 ≠ 𝑦)
129	124, 128	r19.29a 3175	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
130		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
131	24, 78, 35, 6, 18, 25, 29, 130	footex 29030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
132	129, 131	r19.29a 3175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
133	14, 132	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∃wrex 3091 ∖ cdif 3903 class class class wbr 5111 ran crn 5664 ‘cfv 6540 (class class class)co 7416 2c2 12306 Basecbs 17286 distcds 17336 TarskiGcstrkg 28725 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28729 Itvcitv 28731 LineGclng 28732 ⟂Gcperpg 29004 hpGchpg 29068 hlGcplng 29084 parlnGcprlng 29215

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7738 ax-cnex 11167 ax-resscn 11168 ax-1cn 11169 ax-icn 11170 ax-addcl 11171 ax-addrcl 11172 ax-mulcl 11173 ax-mulrcl 11174 ax-mulcom 11175 ax-addass 11176 ax-mulass 11177 ax-distr 11178 ax-i2m1 11179 ax-1ne0 11180 ax-1rid 11181 ax-rnegex 11182 ax-rrecex 11183 ax-cnre 11184 ax-pre-lttri 11185 ax-pre-lttrn 11186 ax-pre-ltadd 11187 ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7865 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-oadd 8459 df-er 8696 df-map 8828 df-pm 8829 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-dju 9899 df-card 9937 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11454 df-neg 11455 df-nn 12245 df-2 12314 df-3 12315 df-n0 12516 df-xnn0 12589 df-z 12603 df-uz 12874 df-fz 13547 df-fzo 13695 df-hash 14380 df-word 14564 df-concat 14621 df-s1 14648 df-s2 14904 df-s3 14905 df-trkgc 28746 df-trkgb 28747 df-trkgcb 28748 df-trkgld 28750 df-trkg 28751 df-cgrg 28809 df-ismt 28831 df-leg 28881 df-hlg 28899 df-mir 28959 df-rag 29003 df-perpg 29005 df-hpg 29069 df-plng 29085 df-mid 29112 df-lmi 29113 df-cgra 29148 df-prlng 29216

This theorem is used by: prlngeu 29234 quadcgrprlng 29245

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