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Theorem prlngex 29308

Description: There exists at least one parallel line 𝑏 to a given line 𝐴 through a given point 𝑋. Theorem 12.10 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
prlngeu.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
prlngeu.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
prlngeu.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
prlngeu.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
prlngeu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
prlngex.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
prlngex	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Distinct variable groups: ∥ ,𝑏 𝐴,𝑏 𝐿,𝑏 𝑋,𝑏 𝜑,𝑏 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑏) 𝐺(𝑏)

Proof of Theorem prlngex Dummy variables 𝑡 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ 𝐴))
2		eleq2 2849	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
4		prlngeu.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
6		prlngeu.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
8		prlngeu.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
9		prlngeu.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	6, 7, 8, 10, 5	prlngref 29297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∥ 𝐴)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
13	11, 12	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴))
14	3, 5, 13	rspcedvdw 3579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
15		breq2 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → (𝐴 ∥ 𝑏 ↔ 𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋)))
16		eleq2 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋)))
17	15, 16	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑤𝐿𝑋) → ((𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏) ↔ (𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋))))
18	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	20	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
22		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋))
23	6, 21, 22	perpln2 29065	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
24		prlngeu.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
25	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad5antr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
28		prlngex.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
31		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
32	30, 31	eldifd 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
33	32	ad5antr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
34	24, 6, 7, 21, 27, 33	tgelrnpln 29133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋) ∈ ran (hlG‘𝐺))
35		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
36	24, 35, 6, 7, 21, 27, 33	elplnglnid 29140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
37		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
38	24, 6, 35, 19, 26, 37	tglnpt 28891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑃)
39		nelne2 3053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑋)
40	37, 31, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑦 ≠ 𝑋)
41	40	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝑋 ≠ 𝑦)
42	24, 35, 6, 19, 30, 38, 41	tgelrnln 28977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
44	43	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
45		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ 𝑃)
46	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
47		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
48	47	eldifad 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ 𝐴)
49	24, 6, 35, 20, 46, 48	tglnpt 28891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ 𝑃)
50	47	eldifbd 3912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
51	49, 50	eldifd 3910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
52	51	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑦)))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡)
54	24, 6, 7, 44, 45, 52, 21, 53	hpgssplng 29153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡))
55	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	55	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
57	31	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
58	49	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ 𝑃)
59	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
60	59	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ 𝑃)
61		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ≠ 𝑦)
62	48	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐴)
63	37	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ 𝐴)
64	24, 35, 6, 21, 58, 60, 61, 61, 27, 62, 63	tglinethru 28983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 = (𝑡𝐿𝑦))
65	57, 64	neleqtrd 2882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑡𝐿𝑦))
66	56, 65	eldifd 3910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑡𝐿𝑦)))
67	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ≠ 𝑦)
68	67	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ≠ 𝑦)
69	24, 35, 6, 7, 21, 66, 60, 52, 68	plngrot 29147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡) = ((𝑡𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑋))
70	64	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋) = ((𝑡𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑋))
71	69, 70	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ((𝑋𝐿𝑦)(hlG‘𝐺)𝑡) = (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
72	54, 71	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
73	24, 35, 6, 7, 21, 27, 33	elplngid 29139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
74	24, 35, 6, 21, 45, 56, 23	tglnne 28975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑤 ≠ 𝑋)
75	24, 35, 6, 7, 21, 34, 72, 73, 74	lnssplng1 29150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋) ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
76	36, 63	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑦 ∈ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
77	24, 35, 6, 7, 21, 34, 73, 76, 68	lnssplng1 29150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦) ⊆ (𝐴(hlG‘𝐺)𝑋))
78		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
79		simp-6r 800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
80	24, 78, 35, 6, 21, 44, 27, 79	perpcom 29067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑦))
81	24, 78, 35, 6, 21, 44, 23, 22	perpcom 29067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝑤𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑦))
82	24, 6, 7, 8, 21, 34, 36, 75, 77, 80, 81	perpprlng 29307	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋))
83	24, 35, 6, 21, 45, 56, 74	tglinerflx2 28981	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋))
84	82, 83	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → (𝐴 ∥ (𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑋 ∈ (𝑤𝐿𝑋)))
85	17, 23, 84	rspcedvdw 3579	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋)) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
86	85	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡)) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
87	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	29	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
89	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑦 ∈ 𝑃)
90	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
91		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
92	24, 6, 35, 87, 90, 91	tglnpt 28891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
93	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
94		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
95	24, 78, 35, 6, 87, 93, 90, 94	perpneq 29068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (𝑋𝐿𝑦) ≠ 𝐴)
96	95	neneqd 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (𝑋𝐿𝑦) = 𝐴)
97	87	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
98	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
99	89	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
100		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
101	100	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ≠ 𝑦)
102	93	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) ∈ ran 𝐿)
103		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
104	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
105	41	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
106	24, 35, 6, 97, 104, 99, 105	tglinerflx2 28981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
107	24, 35, 6, 97, 98, 99, 101, 101, 102, 103, 106	tglinethru 28983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) = (𝑧𝐿𝑦))
108	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
109		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
110	37	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
111	24, 35, 6, 97, 98, 99, 101, 101, 108, 109, 110	tglinethru 28983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → 𝐴 = (𝑧𝐿𝑦))
112	107, 111	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦)) → (𝑋𝐿𝑦) = 𝐴)
113	96, 112	mtand 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
114	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑦)
115	114	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑋 = 𝑦)
116		ioran 999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∨ 𝑋 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑦))
117	113, 115, 116	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑦) ∨ 𝑋 = 𝑦))
118	24, 6, 35, 87, 88, 89, 92, 117	ncoltgdim2 28907	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
119	24, 35, 6, 19, 26, 37	tglnpt2 29000	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 ≠ 𝑧)
120	118, 119	r19.29a 3170	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
121	120	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
122	24, 35, 6, 20, 55, 59, 67	tglinerflx1 28980	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑦))
123	24, 6, 20, 121, 43, 122, 49, 50	lnperpexs 29189	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ 𝑃 ((𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)(𝑤𝐿𝑋) ∧ 𝑤((hpG‘𝐺)‘(𝑋𝐿𝑦))𝑡))
124	86, 123	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑦) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
125		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
126	24, 78, 35, 6, 19, 42, 26, 125	perpneq 29068	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → (𝑋𝐿𝑦) ≠ 𝐴)
127	126	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑦))
128	24, 35, 6, 19, 26, 42, 37, 127	tglnpt4 29002	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑦))𝑡 ≠ 𝑦)
129	124, 128	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
130		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
131	24, 78, 35, 6, 18, 25, 29, 130	footex 29075	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 (𝑋𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐴)
132	129, 131	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))
133	14, 132	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ran 𝐿(𝐴 ∥ 𝑏 ∧ 𝑋 ∈ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ∃wrex 3086 ∖ cdif 3896 class class class wbr 5103 ran crn 5656 ‘cfv 6533 (class class class)co 7413 2c2 12319 Basecbs 17301 distcds 17351 TarskiGcstrkg 28768 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28772 Itvcitv 28774 LineGclng 28775 ⟂Gcperpg 29049 hpGchpg 29114 hlGcplng 29130 parlnGcprlng 29293

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7736 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6299 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7370 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-oadd 8459 df-er 8696 df-map 8828 df-pm 8829 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-dju 9906 df-card 9944 df-pnf 11269 df-mnf 11270 df-xr 11271 df-ltxr 11272 df-le 11273 df-sub 11467 df-neg 11468 df-nn 12258 df-2 12327 df-3 12328 df-n0 12529 df-xnn0 12602 df-z 12616 df-uz 12888 df-fz 13562 df-fzo 13710 df-hash 14395 df-word 14579 df-concat 14636 df-s1 14663 df-s2 14919 df-s3 14920 df-trkgc 28789 df-trkgb 28790 df-trkgcb 28791 df-trkgld 28793 df-trkg 28794 df-cgrg 28853 df-ismt 28875 df-leg 28925 df-hlg 28943 df-mir 29004 df-rag 29048 df-perpg 29050 df-hpg 29115 df-plng 29131 df-mid 29158 df-lmi 29159 df-cgra 29194 df-prlng 29294

This theorem is used by: prlngeu 29312 quadcgrprlng 29323

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