Theorem elplng 29251

Description: Elementhood in the plane defined by a line 𝐴 and a point 𝑅. Definition 9.20 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
elplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
elplng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
elplng.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
elplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
elplng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑅(𝑎, 𝑏)   𝐸(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑎, 𝑏)   𝐼(𝑡)   𝐿(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem elplng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		elplng.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		elplng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	plngval 29248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
9	8	eleq2d 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))}))
10		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
11		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ↔ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
12		oveq1 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) = (𝑋𝐼𝑅))
13	12	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
14	13	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
15	10, 11, 14	3orbi123d 1463	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
16	15	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
17	9, 16	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
18		elplng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
19	18	biantrurd 542	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
20	7	eldifbd 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ 𝐴)
21	20	anim1ci 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴))
22	21	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
23		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
24		elplng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
25	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
26	7	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑃)
28	1, 23, 2, 24, 25, 27	islnopp 29208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋𝑂𝑅 ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
29	22, 28	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ 𝑋𝑂𝑅))
30	29	orbi2d 929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
31	30	pm5.74da 816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
32		df-or 862	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
33		df-or 862	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
34	31, 32, 33	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
35		3orass 1106	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
36		3orass 1106	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
37	34, 35, 36	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
38	17, 19, 37	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  {copab 5167  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  distcds 17430  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  hpGchpg 29228  hlGcplng 29244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-plng 29245

This theorem is used by:  elplngid  29253  elplnglnid  29254  lnincplng  29255  plngrotlem2  29259  plngmiropp  29265  hpgssplng  29267  nhpmirhp  29269  prlnghpg  29417