Theorem elplng 29040

Description: Elementhood in the plane defined by a line 𝐴 and a point 𝑅. Definition 9.20 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
elplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
elplng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
elplng.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
elplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
elplng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑡,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑡)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem elplng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		elplng.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		elplng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	plngval 29037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
9	8	eleq2d 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))}))
10		eleq1 2858	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
11		breq1 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ↔ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
12		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) = (𝑋𝐼𝑅))
13	12	eleq2d 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
14	13	rexbidv 3196	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
15	10, 11, 14	3orbi123d 1461	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
16	15	elrab 3658	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
17	9, 16	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
18		elplng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
19	18	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
20	7	eldifbd 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ 𝐴)
21	20	anim1ci 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴))
22	21	biantrurd 541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
23		eqid 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
24		elplng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
25	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
26	7	eldifad 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑃)
28	1, 23, 2, 24, 25, 27	islnopp 28999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋𝑂𝑅 ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
29	22, 28	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ 𝑋𝑂𝑅))
30	29	orbi2d 928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
31	30	pm5.74da 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
32		df-or 861	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
33		df-or 861	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
34	31, 32, 33	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
35		3orass 1104	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
36		3orass 1104	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
37	34, 35, 36	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
38	17, 19, 37	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∃wrex 3096  {crab 3423   ∖ cdif 3910   class class class wbr 5114  {copab 5178  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  distcds 17322  TarskiGcstrkg 28676  Itvcitv 28682  LineGclng 28683  hpGchpg 29018  hlGcplng 29033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-plng 29034

This theorem is referenced by:  elplngid  29042  elplnglnid  29043  lnincplng  29044  plngrotlem2  29048  plngmiropp  29054  hpgssplng  29056  nhpmirhp  29058  prlnghpg  29173