Theorem elplng 29062

Description: Elementhood in the plane defined by a line 𝐴 and a point 𝑅. Definition 9.20 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
elplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
elplng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
elplng.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
elplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
elplng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑡,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑡)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem elplng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		elplng.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		elplng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	plngval 29059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
9	8	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))}))
10		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
11		breq1 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ↔ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
12		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) = (𝑋𝐼𝑅))
13	12	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
14	13	rexbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
15	10, 11, 14	3orbi123d 1463	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
16	15	elrab 3650	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
17	9, 16	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
18		elplng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
19	18	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
20	7	eldifbd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ 𝐴)
21	20	anim1ci 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴))
22	21	biantrurd 541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
23		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
24		elplng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
25	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
26	7	eldifad 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑃)
28	1, 23, 2, 24, 25, 27	islnopp 29020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋𝑂𝑅 ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
29	22, 28	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ 𝑋𝑂𝑅))
30	29	orbi2d 928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
31	30	pm5.74da 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
32		df-or 861	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
33		df-or 861	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
34	31, 32, 33	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
35		3orass 1106	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
36		3orass 1106	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
37	34, 35, 36	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
38	17, 19, 37	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∖ cdif 3902   class class class wbr 5109  {copab 5173  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  hpGchpg 29039  hlGcplng 29055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-plng 29056

This theorem is referenced by:  elplngid  29064  elplnglnid  29065  lnincplng  29066  plngrotlem2  29070  plngmiropp  29076  hpgssplng  29078  nhpmirhp  29080  prlnghpg  29196