Theorem elplng 29019

Description: Elementhood in the plane defined by a line 𝐴 and a point 𝑅. Definition 9.20 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
elplng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
elplng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
elplng.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
elplng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
elplng	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝑅   𝑡,𝑋   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑡)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑡,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑡)   𝐿(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem elplng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		elplng.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		elplng.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	plngval 29016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))})
9	8	eleq2d 2855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))}))
10		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
11		breq1 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ↔ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅))
12		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) = (𝑋𝐼𝑅))
13	12	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
14	13	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))
15	10, 11, 14	3orbi123d 1461	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
16	15	elrab 3659	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ 𝑃 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑥𝐼𝑅))} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
17	9, 16	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
18		elplng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
19	18	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)))))
20	7	eldifbd 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∈ 𝐴)
21	20	anim1ci 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴))
22	21	biantrurd 541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
23		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
24		elplng.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
25	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑃)
26	7	eldifad 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑃)
28	1, 23, 2, 24, 25, 27	islnopp 28978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋𝑂𝑅 ↔ ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
29	22, 28	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅) ↔ 𝑋𝑂𝑅))
30	29	orbi2d 928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
31	30	pm5.74da 815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
32		df-or 861	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
33		df-or 861	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
34	31, 32, 33	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅))))
35		3orass 1104	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅))))
36		3orass 1104	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ (𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
37	34, 35, 36	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑋𝐼𝑅)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))
38	17, 19, 37	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐸𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑅 ∨ 𝑋𝑂𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3423   ∖ cdif 3910   class class class wbr 5113  {copab 5177  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  distcds 17318  TarskiGcstrkg 28661  Itvcitv 28667  LineGclng 28668  hpGchpg 28997  hlGcplng 29012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-plng 29013

This theorem is referenced by:  elplngid  29021  elplnglnid  29022  lnincplng  29023  plngrotlem2  29027  plngmiropp  29033  hpgssplng  29035  nhpmirhp  29037  prlnghpg  29150