Theorem idfurcl 49602

Description: Reverse closure for an identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
idfurcl	⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem idfurcl

Dummy variables 𝑏 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5406	. . . 4 ⊢ ⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
2	1	csbex 5236	. . 3 ⊢ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
3		df-idfu 17821	. . 3 ⊢ idfunc = (𝑡 ∈ Cat ↦ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩)
4	2, 3	dmmpti 6633	. 2 ⊢ dom idfunc = Cat
5		relfunc 17824	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)
6		0nelrel0 5681	. . 3 ⊢ (Rel (𝐷 Func 𝐸) → ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸)
8	4, 7	ndmfvrcl 6864	1 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2121  ⦋csb 3833  ∅c0 4264  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156   I cid 5515   × cxp 5619   ↾ cres 5623  Rel wrel 5626  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  Hom chom 17226  Catccat 17625   Func cfunc 17816  id_funccidfu 17817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-func 17820  df-idfu 17821

This theorem is referenced by:  idfu1stalem  49604  idfu1sta  49605  idfu1a  49606  idfu2nda  49607  idemb  49663