Theorem idfurcl 50417

Description: Reverse closure for an identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
idfurcl	⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem idfurcl

Dummy variables 𝑏 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5436	. . . 4 ⊢ ⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
2	1	csbex 5268	. . 3 ⊢ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
3		df-idfu 18060	. . 3 ⊢ idfunc = (𝑡 ∈ Cat ↦ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩)
4	2, 3	dmmpti 6702	. 2 ⊢ dom idfunc = Cat
5		relfunc 18063	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)
6		0nelrel0 5715	. . 3 ⊢ (Rel (𝐷 Func 𝐸) → ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸)
8	4, 7	ndmfvrcl 6938	1 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2147  ⦋csb 3851  ∅c0 4281  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657  Rel wrel 5660  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  Hom chom 17465  Catccat 17864   Func cfunc 18055  id_funccidfu 18056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-func 18059  df-idfu 18060

This theorem is used by:  idfu1stalem  50419  idfu1sta  50420  idfu1a  50421  idfu2nda  50422  idemb  50478