Theorem idfurcl 49486

Description: Reverse closure for an identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
idfurcl	⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem idfurcl

Dummy variables 𝑏 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5421	. . . 4 ⊢ ⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
2	1	csbex 5260	. . 3 ⊢ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
3		df-idfu 17797	. . 3 ⊢ idfunc = (𝑡 ∈ Cat ↦ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩)
4	2, 3	dmmpti 6646	. 2 ⊢ dom idfunc = Cat
5		relfunc 17800	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)
6		0nelrel0 5694	. . 3 ⊢ (Rel (𝐷 Func 𝐸) → ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸)
8	4, 7	ndmfvrcl 6877	1 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3851  ∅c0 4287  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181   I cid 5528   × cxp 5632   ↾ cres 5636  Rel wrel 5639  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  Hom chom 17202  Catccat 17601   Func cfunc 17792  id_funccidfu 17793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-func 17796  df-idfu 17797

This theorem is referenced by:  idfu1stalem  49488  idfu1sta  49489  idfu1a  49490  idfu2nda  49491  idemb  49547