Theorem idfurcl 49006

Description: Reverse closure for an identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
idfurcl	⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem idfurcl

Dummy variables 𝑏 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5439	. . . 4 ⊢ ⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
2	1	csbex 5281	. . 3 ⊢ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
3		df-idfu 17870	. . 3 ⊢ idfunc = (𝑡 ∈ Cat ↦ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩)
4	2, 3	dmmpti 6681	. 2 ⊢ dom idfunc = Cat
5		relfunc 17873	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)
6		0nelrel0 5714	. . 3 ⊢ (Rel (𝐷 Func 𝐸) → ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸)
8	4, 7	ndmfvrcl 6911	1 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108  ⦋csb 3874  ∅c0 4308  ⟨cop 4607   ↦ cmpt 5201   I cid 5547   × cxp 5652   ↾ cres 5656  Rel wrel 5659  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  Hom chom 17280  Catccat 17674   Func cfunc 17865  id_funccidfu 17866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-func 17869  df-idfu 17870

This theorem is referenced by:  idfu1stalem  49007  idfu1sta  49008  idfu1a  49009  idfu2nda  49010