Theorem idfurcl 49080

Description: Reverse closure for an identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
idfurcl	⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem idfurcl

Dummy variables 𝑏 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5419	. . . 4 ⊢ ⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
2	1	csbex 5261	. . 3 ⊢ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩ ∈ V
3		df-idfu 17801	. . 3 ⊢ idfunc = (𝑡 ∈ Cat ↦ ⦋(Base‘𝑡) / 𝑏⦌⟨( I ↾ 𝑏), (𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)))⟩)
4	2, 3	dmmpti 6644	. 2 ⊢ dom idfunc = Cat
5		relfunc 17804	. . 3 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐸)
6		0nelrel0 5691	. . 3 ⊢ (Rel (𝐷 Func 𝐸) → ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ (𝐷 Func 𝐸)
8	4, 7	ndmfvrcl 6876	1 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3859  ∅c0 4292  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5183   I cid 5525   × cxp 5629   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Hom chom 17207  Catccat 17605   Func cfunc 17796  id_funccidfu 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-func 17800  df-idfu 17801

This theorem is referenced by:  idfu1stalem  49082  idfu1sta  49083  idfu1a  49084  idfu2nda  49085  idemb  49141