Theorem idfu1stalem 49200

Description: Lemma for idfu1sta 49201. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
idfu1stalem	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

Proof of Theorem idfu1stalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
2		idfu2nda.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	2, 3	eqeltrrid 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49198	. . . . . 6 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	2	idfucl 17788	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8	7	func1st2nd 49176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
9	3	func1st2nd 49176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
10	8, 9	funchomf 49197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
11	10	homfeqbas 17602	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘𝐷))
12	1, 11	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  Basecbs 17120  Catccat 17570   Func cfunc 17761  id_funccidfu 17762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752  df-ixp 8822  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-func 17765  df-idfu 17766

This theorem is referenced by:  idfu1sta  49201  idfu1a  49202  idfu2nda  49203