Theorem idfu1stalem 49726

Description: Lemma for idfu1sta 49727. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
idfu1stalem	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

Proof of Theorem idfu1stalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
2		idfu2nda.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	2, 3	eqeltrrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49724	. . . . . 6 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	2	idfucl 17916	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8	7	func1st2nd 49702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
9	3	func1st2nd 49702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
10	8, 9	funchomf 49723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
11	10	homfeqbas 17730	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘𝐷))
12	1, 11	eqtr4d 2802	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1^st c1st 7970  2^nd c2nd 7971  Basecbs 17247  Catccat 17698   Func cfunc 17889  id_funccidfu 17890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-map 8812  df-ixp 8882  df-cat 17702  df-cid 17703  df-homf 17704  df-func 17893  df-idfu 17894

This theorem is referenced by:  idfu1sta  49727  idfu1a  49728  idfu2nda  49729