Theorem idfu1stalem 50419

Description: Lemma for idfu1sta 50420. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
idfu1stalem	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

Proof of Theorem idfu1stalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
2		idfu2nda.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	2, 3	eqeltrrid 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 50417	. . . . . 6 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	2	idfucl 18082	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	4, 5, 6	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8	7	func1st2nd 50393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
9	3	func1st2nd 50393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
10	8, 9	funchomf 50416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
11	10	homfeqbas 17896	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘𝐷))
12	1, 11	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1^st c1st 8020  2^nd c2nd 8021  Basecbs 17413  Catccat 17864   Func cfunc 18055  id_funccidfu 18056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-map 8874  df-ixp 8951  df-cat 17868  df-cid 17869  df-homf 17870  df-func 18059  df-idfu 18060

This theorem is used by:  idfu1sta  50420  idfu1a  50421  idfu2nda  50422