Theorem idfu1stalem 49955

Description: Lemma for idfu1sta 49956. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
idfu1stalem	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

Proof of Theorem idfu1stalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
2		idfu2nda.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	2, 3	eqeltrrid 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49953	. . . . . 6 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	2	idfucl 17965	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
7	4, 5, 6	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
8	7	func1st2nd 49931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
9	3	func1st2nd 49931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
10	8, 9	funchomf 49952	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
11	10	homfeqbas 17779	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘𝐷))
12	1, 11	eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  1^st c1st 7991  2^nd c2nd 7992  Basecbs 17296  Catccat 17747   Func cfunc 17938  id_funccidfu 17939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8833  df-ixp 8903  df-cat 17751  df-cid 17752  df-homf 17753  df-func 17942  df-idfu 17943

This theorem is used by:  idfu1sta  49956  idfu1a  49957  idfu2nda  49958