MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmot 27521
Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
idmot (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motgrp.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
2 f1oi 6827 . . 3 ( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃)
4 fvresi 7124 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝑃 β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) = π‘Ž)
54ad2antrl 727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) = π‘Ž)
6 fvresi 7124 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝑃 β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘) = 𝑏)
76ad2antll 728 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘) = 𝑏)
85, 7oveq12d 7380 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
98ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
10 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
11 ismot.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
1210, 11ismot 27519 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
1312biimpar 479 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))) β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
141, 3, 9, 13syl12anc 836 1 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   I cid 5535   β†Ύ cres 5640  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  distcds 17149  Ismtcismt 27516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-ismt 27517
This theorem is referenced by:  motgrp  27527
  Copyright terms: Public domain W3C validator