Theorem idmot 27653

Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
idmot	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motgrp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		f1oi 6858	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃)
4		fvresi 7155	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
5	4	ad2antrl 726	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
6		fvresi 7155	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
7	6	ad2antll 727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
8	5, 7	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
9	8	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
10		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	10, 11	ismot 27651	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	1, 3, 9, 13	syl12anc 835	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   I cid 5566   ↾ cres 5671  –1-1-onto→wf1o 6531  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  distcds 17188  Ismtcismt 27648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-map 8805  df-ismt 27649

This theorem is referenced by:  motgrp  27659