Theorem idmot 28605

Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
idmot	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motgrp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		f1oi 6818	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃)
4		fvresi 7128	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
5	4	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
6		fvresi 7128	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
7	6	ad2antll 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
8	5, 7	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
9	8	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
10		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	10, 11	ismot 28603	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	1, 3, 9, 13	syl12anc 837	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   I cid 5525   ↾ cres 5633  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  distcds 17229  Ismtcismt 28600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-ismt 28601

This theorem is referenced by:  motgrp  28611