MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmot 28281
Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
idmot (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motgrp.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
2 f1oi 6862 . . 3 ( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃)
4 fvresi 7164 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝑃 β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) = π‘Ž)
54ad2antrl 725 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) = π‘Ž)
6 fvresi 7164 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝑃 β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘) = 𝑏)
76ad2antll 726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘) = 𝑏)
85, 7oveq12d 7420 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) β†’ ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
98ralrimivva 3192 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))
10 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
11 ismot.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
1210, 11ismot 28279 . . 3 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
1312biimpar 477 . 2 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (( I β†Ύ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘Ž) βˆ’ (( I β†Ύ 𝑃)β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))) β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
141, 3, 9, 13syl12anc 834 1 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   I cid 5564   β†Ύ cres 5669  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6533  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  distcds 17211  Ismtcismt 28276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-ismt 28277
This theorem is referenced by:  motgrp  28287
  Copyright terms: Public domain W3C validator