MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmot 27653
Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
idmot (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motgrp.1 . 2 (𝜑𝐺𝑉)
2 f1oi 6858 . . 3 ( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃)
4 fvresi 7155 . . . . 5 (𝑎𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
54ad2antrl 726 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
6 fvresi 7155 . . . . 5 (𝑏𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
76ad2antll 727 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
85, 7oveq12d 7411 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))
98ralrimivva 3199 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))
10 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
11 ismot.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
1210, 11ismot 27651 . . 3 (𝐺𝑉 → (( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
1312biimpar 478 . 2 ((𝐺𝑉 ∧ (( I ↾ 𝑃):𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 𝑏))) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
141, 3, 9, 13syl12anc 835 1 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060   I cid 5566  cres 5671  1-1-ontowf1o 6531  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  distcds 17188  Ismtcismt 27648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-map 8805  df-ismt 27649
This theorem is referenced by:  motgrp  27659
  Copyright terms: Public domain W3C validator