Theorem idmot 28693

Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
idmot	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motgrp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		f1oi 6839	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃)
4		fvresi 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
5	4	ad2antrl 738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
6		fvresi 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
7	6	ad2antll 739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
8	5, 7	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
9	8	ralrimivva 3204	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
10		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	10, 11	ismot 28691	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	1, 3, 9, 13	syl12anc 847	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   I cid 5537   ↾ cres 5645  –1-1-onto→wf1o 6514  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235  distcds 17285  Ismtcismt 28688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8803  df-ismt 28689

This theorem is referenced by:  motgrp  28699