Theorem idmot 27785

Description: The identity is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
idmot	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Proof of Theorem idmot

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motgrp.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2		f1oi 6871	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃)
4		fvresi 7170	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
5	4	ad2antrl 726	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑎) = 𝑎)
6		fvresi 7170	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑃 → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
7	6	ad2antll 727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → (( I ↾ 𝑃)‘𝑏) = 𝑏)
8	5, 7	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
9	8	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
10		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
11		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	10, 11	ismot 27783	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
13	12	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (( I ↾ 𝑃):𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((( I ↾ 𝑃)‘𝑎) − (( I ↾ 𝑃)‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	1, 3, 9, 13	syl12anc 835	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   I cid 5573   ↾ cres 5678  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  distcds 17205  Ismtcismt 27780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-ismt 27781

This theorem is referenced by:  motgrp  27791