MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgr 27187
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
motcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
motcgr.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgr (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem motcgr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motcgr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
2 motcgr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
3 motcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4 motgrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
5 ismot.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 ismot.m . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
75, 6ismot 27186 . . . . 5 (𝐺𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
93, 8mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)))
109simprd 496 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))
11 fveq2 6826 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
1211oveq1d 7353 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)))
13 oveq1 7345 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 𝑏) = (𝐴 𝑏))
1412, 13eqeq12d 2752 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏)))
15 fveq2 6826 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
1615oveq2d 7354 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)))
17 oveq2 7346 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 𝑏) = (𝐴 𝐵))
1816, 17eqeq12d 2752 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵)))
1914, 18rspc2va 3580 . 2 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)) → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
201, 2, 10, 19syl21anc 835 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  1-1-ontowf1o 6479  cfv 6480  (class class class)co 7338  Basecbs 17010  distcds 17069  Ismtcismt 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-id 5519  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-map 8689  df-ismt 27184
This theorem is referenced by:  motco  27191  cnvmot  27192  motcgrg  27195  motcgr3  27196
  Copyright terms: Public domain W3C validator