Theorem motcgr 28559

Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motcgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
motcgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
motcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motcgr	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem motcgr

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motcgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		motcgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		motcgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		ismot.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		ismot.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7	5, 6	ismot 28558	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
9	3, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)))
10	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
11		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
12	11	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)))
13		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
14	12, 13	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏)))
15		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
16	15	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)))
17		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
18	16, 17	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
19	14, 18	rspc2va 3634	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	1, 2, 10, 19	syl21anc 838	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  Ismtcismt 28555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-ismt 28556

This theorem is referenced by:  motco  28563  cnvmot  28564  motcgrg  28567  motcgr3  28568