Theorem motcgr 28557

Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motcgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
motcgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
motcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motcgr	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem motcgr

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motcgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		motcgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		motcgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		ismot.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		ismot.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7	5, 6	ismot 28556	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
9	3, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)))
10	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
11		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
12	11	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)))
13		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
14	12, 13	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏)))
15		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
16	15	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)))
17		oveq2 7364	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
18	16, 17	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
19	14, 18	rspc2va 3586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	1, 2, 10, 19	syl21anc 837	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  distcds 17184  Ismtcismt 28553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-ismt 28554

This theorem is referenced by:  motco  28561  cnvmot  28562  motcgrg  28565  motcgr3  28566