MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgr 26305
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
motcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
motcgr.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgr (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem motcgr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motcgr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
2 motcgr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
3 motcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4 motgrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
5 ismot.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 ismot.m . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
75, 6ismot 26304 . . . . 5 (𝐺𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
93, 8mpbid 234 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)))
109simprd 498 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))
11 fveq2 6642 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
1211oveq1d 7144 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)))
13 oveq1 7136 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 𝑏) = (𝐴 𝑏))
1412, 13eqeq12d 2836 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏)))
15 fveq2 6642 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
1615oveq2d 7145 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)))
17 oveq2 7137 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 𝑏) = (𝐴 𝐵))
1816, 17eqeq12d 2836 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵)))
1914, 18rspc2va 3610 . 2 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)) → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
201, 2, 10, 19syl21anc 835 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  1-1-ontowf1o 6326  cfv 6327  (class class class)co 7129  Basecbs 16458  distcds 16549  Ismtcismt 26301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-map 8382  df-ismt 26302
This theorem is referenced by:  motco  26309  cnvmot  26310  motcgrg  26313  motcgr3  26314
  Copyright terms: Public domain W3C validator