Theorem motcgr 29014

Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motcgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
motcgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
motcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motcgr	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem motcgr

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motcgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		motcgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		motcgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		ismot.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		ismot.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7	5, 6	ismot 29013	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
9	3, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)))
10	9	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
11		fveq2 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
12	11	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)))
13		oveq1 7437	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
14	12, 13	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏)))
15		fveq2 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
16	15	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)))
17		oveq2 7438	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
18	16, 17	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
19	14, 18	rspc2va 3591	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	1, 2, 10, 19	syl21anc 851	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  –1-1-onto→wf1o 6546  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  distcds 17452  Ismtcismt 29010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-ismt 29011

This theorem is used by:  motco  29018  cnvmot  29019  motcgrg  29022  motcgr3  29023