Theorem motcgr 27478

Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motcgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
motcgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
motcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motcgr	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem motcgr

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motcgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		motcgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		motcgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		ismot.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		ismot.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7	5, 6	ismot 27477	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
9	3, 8	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)))
10	9	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
11		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
12	11	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)))
13		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
14	12, 13	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏)))
15		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
16	15	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)))
17		oveq2 7365	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
18	16, 17	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
19	14, 18	rspc2va 3591	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	1, 2, 10, 19	syl21anc 836	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  distcds 17142  Ismtcismt 27474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-ismt 27475

This theorem is referenced by:  motco  27482  cnvmot  27483  motcgrg  27486  motcgr3  27487