MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motgrp 25729
Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
Assertion
Ref Expression
motgrp (𝜑𝐼 ∈ Grp)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6874 . . 3 (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2 motgrp.i . . . 4 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
32grpbase 16263 . . 3 ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
41, 3mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5 eqidd 2766 . 2 (𝜑 → (+g𝐼) = (+g𝐼))
6 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
7 ismot.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
8 motgrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
983ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺𝑉)
10 simp2 1167 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11 simp3 1168 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
126, 7, 9, 2, 10, 11motplusg 25728 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) = (𝑓𝑔))
136, 7, 9, 10, 11motco 25726 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
1412, 13eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15 coass 5840 . . 3 ((𝑓𝑔) ∘ ) = (𝑓 ∘ (𝑔))
16123adant3r3 1235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) = (𝑓𝑔))
1716oveq1d 6857 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔)(+g𝐼)))
188adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺𝑉)
19133adant3r3 1235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20 simpr3 1252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ∈ (𝐺Ismt𝐺))
216, 7, 18, 2, 19, 20motplusg 25728 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔) ∘ ))
2217, 21eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔) ∘ ))
23 simpr2 1250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
246, 7, 18, 2, 23, 20motplusg 25728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g𝐼)) = (𝑔))
2524oveq2d 6858 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))) = (𝑓(+g𝐼)(𝑔)))
26 simpr1 1248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
276, 7, 18, 23, 20motco 25726 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
286, 7, 18, 2, 26, 27motplusg 25728 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔)) = (𝑓 ∘ (𝑔)))
2925, 28eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))) = (𝑓 ∘ (𝑔)))
3015, 22, 293eqtr4a 2825 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))))
316, 7, 8idmot 25723 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
328adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺𝑉)
3331adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
356, 7, 32, 2, 33, 34motplusg 25728 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
366, 7ismot 25721 . . . . . 6 (𝐺𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝑓𝑎) (𝑓𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
3736simprbda 492 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃1-1-onto𝑃)
388, 37sylan 575 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃1-1-onto𝑃)
39 f1of 6320 . . . 4 (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃𝑓:𝑃𝑃)
40 fcoi2 6261 . . . 4 (𝑓:𝑃𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4138, 39, 403syl 18 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4235, 41eqtrd 2799 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g𝐼)𝑓) = 𝑓)
436, 7, 32, 34cnvmot 25727 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
446, 7, 32, 2, 43, 34motplusg 25728 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑓) = (𝑓𝑓))
45 f1ococnv1 6348 . . . 4 (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
4638, 45syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
4744, 46eqtrd 2799 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
484, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47isgrpd 17711 1 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  {cpr 4336  cop 4340   I cid 5184  ccnv 5276  cres 5279  ccom 5281  wf 6064  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  ndxcnx 16127  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  distcds 16223  Grpcgrp 17689  Ismtcismt 25718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-ismt 25719
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator