Theorem motgrp 28617

Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}

Assertion

Ref	Expression
motgrp	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7391	. . 3 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2		motgrp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
3	2	grpbase 17211	. . 3 ⊢ ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
4	1, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼))
6		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
8		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	6, 7, 9, 2, 10, 11	motplusg 28616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13	6, 7, 9, 10, 11	motco 28614	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	12, 13	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15		coass 6224	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ))
16	12	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
17	16	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ))
18	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
19	13	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))
21	6, 7, 18, 2, 19, 20	motplusg 28616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
22	17, 21	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
23		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
24	6, 7, 18, 2, 23, 20	motplusg 28616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑔 ∘ ℎ))
25	24	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)))
26		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
27	6, 7, 18, 23, 20	motco 28614	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
28	6, 7, 18, 2, 26, 27	motplusg 28616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
29	25, 28	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
30	15, 22, 29	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)))
31	6, 7, 8	idmot 28611	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
32	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
33	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
35	6, 7, 32, 2, 33, 34	motplusg 28616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
36	6, 7	ismot 28609	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑓‘𝑎) − (𝑓‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
37	36	simprbda 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
38	8, 37	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
39		f1of 6774	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝑓:𝑃⟶𝑃)
40		fcoi2 6709	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃⟶𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
42	35, 41	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = 𝑓)
43	6, 7, 32, 34	cnvmot 28615	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ◡𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
44	6, 7, 32, 2, 43, 34	motplusg 28616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = (◡𝑓 ∘ 𝑓))
45		f1ococnv1 6803	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
46	38, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
47	44, 46	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
48	4, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47	isgrpd 18890	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  {cpr 4582  ⟨cop 4586   I cid 5518  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  distcds 17188  Grpcgrp 18865  Ismtcismt 28606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-ismt 28607

This theorem is referenced by: (None)