Theorem motgrp 28628

Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}

Assertion

Ref	Expression
motgrp	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7394	. . 3 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2		motgrp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
3	2	grpbase 17246	. . 3 ⊢ ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
4	1, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼))
6		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
8		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	6, 7, 9, 2, 10, 11	motplusg 28627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13	6, 7, 9, 10, 11	motco 28625	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	12, 13	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15		coass 6225	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ))
16	12	3adant3r3 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
17	16	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ))
18	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
19	13	3adant3r3 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))
21	6, 7, 18, 2, 19, 20	motplusg 28627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
22	17, 21	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
23		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
24	6, 7, 18, 2, 23, 20	motplusg 28627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑔 ∘ ℎ))
25	24	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)))
26		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
27	6, 7, 18, 23, 20	motco 28625	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
28	6, 7, 18, 2, 26, 27	motplusg 28627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
29	25, 28	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
30	15, 22, 29	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)))
31	6, 7, 8	idmot 28622	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
32	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
33	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
35	6, 7, 32, 2, 33, 34	motplusg 28627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
36	6, 7	ismot 28620	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑓‘𝑎) − (𝑓‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
37	36	simprbda 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
38	8, 37	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
39		f1of 6775	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝑓:𝑃⟶𝑃)
40		fcoi2 6710	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃⟶𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
42	35, 41	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = 𝑓)
43	6, 7, 32, 34	cnvmot 28626	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ◡𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
44	6, 7, 32, 2, 43, 34	motplusg 28627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = (◡𝑓 ∘ 𝑓))
45		f1ococnv1 6804	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
46	38, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
47	44, 46	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
48	4, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47	isgrpd 18928	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430  {cpr 4570  ⟨cop 4574   I cid 5519  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  distcds 17223  Grpcgrp 18903  Ismtcismt 28617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-ismt 28618

This theorem is referenced by: (None)