MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motgrp 26243
Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
Assertion
Ref Expression
motgrp (𝜑𝐼 ∈ Grp)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7181 . . 3 (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2 motgrp.i . . . 4 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
32grpbase 16600 . . 3 ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
41, 3mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5 eqidd 2827 . 2 (𝜑 → (+g𝐼) = (+g𝐼))
6 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
7 ismot.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
8 motgrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
983ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺𝑉)
10 simp2 1131 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11 simp3 1132 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
126, 7, 9, 2, 10, 11motplusg 26242 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) = (𝑓𝑔))
136, 7, 9, 10, 11motco 26240 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
1412, 13eqeltrd 2918 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15 coass 6116 . . 3 ((𝑓𝑔) ∘ ) = (𝑓 ∘ (𝑔))
16123adant3r3 1178 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)𝑔) = (𝑓𝑔))
1716oveq1d 7163 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔)(+g𝐼)))
188adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺𝑉)
19133adant3r3 1178 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20 simpr3 1190 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ∈ (𝐺Ismt𝐺))
216, 7, 18, 2, 19, 20motplusg 26242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔) ∘ ))
2217, 21eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = ((𝑓𝑔) ∘ ))
23 simpr2 1189 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
246, 7, 18, 2, 23, 20motplusg 26242 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g𝐼)) = (𝑔))
2524oveq2d 7164 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))) = (𝑓(+g𝐼)(𝑔)))
26 simpr1 1188 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
276, 7, 18, 23, 20motco 26240 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
286, 7, 18, 2, 26, 27motplusg 26242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔)) = (𝑓 ∘ (𝑔)))
2925, 28eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))) = (𝑓 ∘ (𝑔)))
3015, 22, 293eqtr4a 2887 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g𝐼)𝑔)(+g𝐼)) = (𝑓(+g𝐼)(𝑔(+g𝐼))))
316, 7, 8idmot 26237 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
328adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺𝑉)
3331adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
356, 7, 32, 2, 33, 34motplusg 26242 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
366, 7ismot 26235 . . . . . 6 (𝐺𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝑓𝑎) (𝑓𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
3736simprbda 499 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃1-1-onto𝑃)
388, 37sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃1-1-onto𝑃)
39 f1of 6612 . . . 4 (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃𝑓:𝑃𝑃)
40 fcoi2 6550 . . . 4 (𝑓:𝑃𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4138, 39, 403syl 18 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4235, 41eqtrd 2861 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g𝐼)𝑓) = 𝑓)
436, 7, 32, 34cnvmot 26241 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
446, 7, 32, 2, 43, 34motplusg 26242 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑓) = (𝑓𝑓))
45 f1ococnv1 6640 . . . 4 (𝑓:𝑃1-1-onto𝑃 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
4638, 45syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
4744, 46eqtrd 2861 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
484, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47isgrpd 18055 1 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  {cpr 4566  cop 4570   I cid 5458  ccnv 5553  cres 5556  ccom 5558  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  (class class class)co 7148  cmpo 7150  ndxcnx 16470  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  distcds 16564  Grpcgrp 18033  Ismtcismt 26232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-ismt 26233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator