MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motgrp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem motgrp 27784
Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismot.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
motgrp.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
Assertion
Ref Expression
motgrp (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Grp)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   βˆ’ (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)
Proof of Theorem motgrp
Dummy variables π‘Ž 𝑏 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7439 . . 3 (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2 motgrp.i . . . 4 𝐼 = {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
32grpbase 17228 . . 3 ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V β†’ (𝐺Ismt𝐺) = (Baseβ€˜πΌ))
41, 3mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺Ismt𝐺) = (Baseβ€˜πΌ))
5 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜πΌ) = (+gβ€˜πΌ))
6 ismot.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
7 ismot.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
8 motgrp.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
983ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
10 simp2 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11 simp3 1139 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
126, 7, 9, 2, 10, 11motplusg 27783 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
136, 7, 9, 10, 11motco 27781 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
1412, 13eqeltrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15 coass 6262 . . 3 ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ β„Ž) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ β„Ž))
16123adant3r3 1185 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
1716oveq1d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑔)(+gβ€˜πΌ)β„Ž) = ((𝑓 ∘ 𝑔)(+gβ€˜πΌ)β„Ž))
188adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
19133adant3r3 1185 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20 simpr3 1197 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))
216, 7, 18, 2, 19, 20motplusg 27783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ ((𝑓 ∘ 𝑔)(+gβ€˜πΌ)β„Ž) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ β„Ž))
2217, 21eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑔)(+gβ€˜πΌ)β„Ž) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ β„Ž))
23 simpr2 1196 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
246, 7, 18, 2, 23, 20motplusg 27783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ (𝑔(+gβ€˜πΌ)β„Ž) = (𝑔 ∘ β„Ž))
2524oveq2d 7422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΌ)(𝑔(+gβ€˜πΌ)β„Ž)) = (𝑓(+gβ€˜πΌ)(𝑔 ∘ β„Ž)))
26 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
276, 7, 18, 23, 20motco 27781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ (𝑔 ∘ β„Ž) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
286, 7, 18, 2, 26, 27motplusg 27783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΌ)(𝑔 ∘ β„Ž)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ β„Ž)))
2925, 28eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΌ)(𝑔(+gβ€˜πΌ)β„Ž)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ β„Ž)))
3015, 22, 293eqtr4a 2799 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ β„Ž ∈ (𝐺Ismt𝐺))) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑔)(+gβ€˜πΌ)β„Ž) = (𝑓(+gβ€˜πΌ)(𝑔(+gβ€˜πΌ)β„Ž)))
316, 7, 8idmot 27778 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
328adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
3331adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
356, 7, 32, 2, 33, 34motplusg 27783 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (( I β†Ύ 𝑃)(+gβ€˜πΌ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝑃) ∘ 𝑓))
366, 7ismot 27776 . . . . . 6 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑃 βˆ€π‘ ∈ 𝑃 ((π‘“β€˜π‘Ž) βˆ’ (π‘“β€˜π‘)) = (π‘Ž βˆ’ 𝑏))))
3736simprbda 500 . . . . 5 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
388, 37sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
39 f1of 6831 . . . 4 (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ 𝑓:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ)
40 fcoi2 6764 . . . 4 (𝑓:π‘ƒβŸΆπ‘ƒ β†’ (( I β†Ύ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4138, 39, 403syl 18 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (( I β†Ύ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
4235, 41eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (( I β†Ύ 𝑃)(+gβ€˜πΌ)𝑓) = 𝑓)
436, 7, 32, 34cnvmot 27782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ ◑𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
446, 7, 32, 2, 43, 34motplusg 27783 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (◑𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑓) = (◑𝑓 ∘ 𝑓))
45 f1ococnv1 6860 . . . 4 (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 β†’ (◑𝑓 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ 𝑃))
4638, 45syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (◑𝑓 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ 𝑃))
4744, 46eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) β†’ (◑𝑓(+gβ€˜πΌ)𝑓) = ( I β†Ύ 𝑃))
484, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47isgrpd 18841 1 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  ndxcnx 17123  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  distcds 17203  Grpcgrp 18816  Ismtcismt 27773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-ismt 27774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator