Theorem motgrp 28564

Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}

Assertion

Ref	Expression
motgrp	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7389	. . 3 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2		motgrp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
3	2	grpbase 17207	. . 3 ⊢ ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
4	1, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼))
6		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
8		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	6, 7, 9, 2, 10, 11	motplusg 28563	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13	6, 7, 9, 10, 11	motco 28561	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	12, 13	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15		coass 6222	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ))
16	12	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
17	16	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ))
18	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
19	13	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))
21	6, 7, 18, 2, 19, 20	motplusg 28563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
22	17, 21	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
23		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
24	6, 7, 18, 2, 23, 20	motplusg 28563	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑔 ∘ ℎ))
25	24	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)))
26		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
27	6, 7, 18, 23, 20	motco 28561	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
28	6, 7, 18, 2, 26, 27	motplusg 28563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
29	25, 28	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
30	15, 22, 29	3eqtr4a 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)))
31	6, 7, 8	idmot 28558	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
32	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
33	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
35	6, 7, 32, 2, 33, 34	motplusg 28563	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
36	6, 7	ismot 28556	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑓‘𝑎) − (𝑓‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
37	36	simprbda 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
38	8, 37	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
39		f1of 6772	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝑓:𝑃⟶𝑃)
40		fcoi2 6707	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃⟶𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
42	35, 41	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = 𝑓)
43	6, 7, 32, 34	cnvmot 28562	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ◡𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
44	6, 7, 32, 2, 43, 34	motplusg 28563	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = (◡𝑓 ∘ 𝑓))
45		f1ococnv1 6801	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
46	38, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
47	44, 46	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
48	4, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47	isgrpd 18886	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438  {cpr 4580  ⟨cop 4584   I cid 5516  ^◡ccnv 5621   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  distcds 17184  Grpcgrp 18861  Ismtcismt 28553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-ismt 28554

This theorem is referenced by: (None)