Theorem motgrp 28778

Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}

Assertion

Ref	Expression
motgrp	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7444	. . 3 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2		motgrp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
3	2	grpbase 17342	. . 3 ⊢ ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
4	1, 3	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼))
6		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
8		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	8	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	6, 7, 9, 2, 10, 11	motplusg 28777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13	6, 7, 9, 10, 11	motco 28775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	12, 13	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15		coass 6268	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ))
16	12	3adant3r3 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
17	16	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ))
18	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
19	13	3adant3r3 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))
21	6, 7, 18, 2, 19, 20	motplusg 28777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
22	17, 21	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
23		simpr2 1212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
24	6, 7, 18, 2, 23, 20	motplusg 28777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑔 ∘ ℎ))
25	24	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)))
26		simpr1 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
27	6, 7, 18, 23, 20	motco 28775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
28	6, 7, 18, 2, 26, 27	motplusg 28777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
29	25, 28	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
30	15, 22, 29	3eqtr4a 2830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)))
31	6, 7, 8	idmot 28772	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
32	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
33	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
35	6, 7, 32, 2, 33, 34	motplusg 28777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
36	6, 7	ismot 28770	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑓‘𝑎) − (𝑓‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
37	36	simprbda 503	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
38	8, 37	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
39		f1of 6821	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝑓:𝑃⟶𝑃)
40		fcoi2 6754	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃⟶𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
41	38, 39, 40	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
42	35, 41	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = 𝑓)
43	6, 7, 32, 34	cnvmot 28776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ◡𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
44	6, 7, 32, 2, 43, 34	motplusg 28777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = (◡𝑓 ∘ 𝑓))
45		f1ococnv1 6851	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
46	38, 45	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
47	44, 46	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
48	4, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47	isgrpd 19025	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463  {cpr 4596  ⟨cop 4600   I cid 5556  ^◡ccnv 5661   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  distcds 17319  Grpcgrp 19000  Ismtcismt 28767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-ismt 28768

This theorem is referenced by: (None)