Theorem motgrp 28523

Description: The motions of a geometry form a group with respect to function composition, called the Isometry group. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}

Assertion

Ref	Expression
motgrp	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝐼,𝑔   𝑃,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7402	. . 3 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
2		motgrp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
3	2	grpbase 17228	. . 3 ⊢ ((𝐺Ismt𝐺) ∈ V → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
4	1, 3	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺Ismt𝐺) = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐼) = (+g‘𝐼))
6		ismot.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ismot.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
8		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
10		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
12	6, 7, 9, 2, 10, 11	motplusg 28522	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13	6, 7, 9, 10, 11	motco 28520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
14	12, 13	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
15		coass 6226	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ))
16	12	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
17	16	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ))
18	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑉)
19	13	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
20		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))
21	6, 7, 18, 2, 19, 20	motplusg 28522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓 ∘ 𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
22	17, 21	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ))
23		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
24	6, 7, 18, 2, 23, 20	motplusg 28522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑔 ∘ ℎ))
25	24	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)))
26		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
27	6, 7, 18, 23, 20	motco 28520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
28	6, 7, 18, 2, 26, 27	motplusg 28522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
29	25, 28	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)) = (𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ)))
30	15, 22, 29	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝐺Ismt𝐺))) → ((𝑓(+g‘𝐼)𝑔)(+g‘𝐼)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐼)(𝑔(+g‘𝐼)ℎ)))
31	6, 7, 8	idmot 28517	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
32	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝑉)
33	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ( I ↾ 𝑃) ∈ (𝐺Ismt𝐺))
34		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
35	6, 7, 32, 2, 33, 34	motplusg 28522	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓))
36	6, 7	ismot 28515	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑓‘𝑎) − (𝑓‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
37	36	simprbda 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
38	8, 37	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → 𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃)
39		f1of 6782	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → 𝑓:𝑃⟶𝑃)
40		fcoi2 6717	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃⟶𝑃 → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃) ∘ 𝑓) = 𝑓)
42	35, 41	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (( I ↾ 𝑃)(+g‘𝐼)𝑓) = 𝑓)
43	6, 7, 32, 34	cnvmot 28521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → ◡𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
44	6, 7, 32, 2, 43, 34	motplusg 28522	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = (◡𝑓 ∘ 𝑓))
45		f1ococnv1 6811	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝑃–1-1-onto→𝑃 → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
46	38, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓 ∘ 𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
47	44, 46	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (◡𝑓(+g‘𝐼)𝑓) = ( I ↾ 𝑃))
48	4, 5, 14, 30, 31, 42, 43, 47	isgrpd 18872	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444  {cpr 4587  ⟨cop 4591   I cid 5525  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  distcds 17205  Grpcgrp 18847  Ismtcismt 28512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-ismt 28513

This theorem is referenced by: (None)