Theorem indfval 12331

Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indfval	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))

Proof of Theorem indfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 12327	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
5	4	ifbid 4505	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
6		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
7		1re 11312	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		0re 11314	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	ifcli 4529	. . 3 ⊢ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
11	2, 5, 6, 10	fvmptd 7002	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205  𝟭cind 12324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-ind 12325

This theorem is used by:  ind1  12333  ind0  12334  ind1a  12335  esplyfv1  34248  esplyfvaln  34253  eulerpartlemgvv  35055