Theorem indfval 32935

Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indfval	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))

Proof of Theorem indfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 32932	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
5	4	ifbid 4503	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
7		1re 11132	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		0re 11134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	ifcli 4527	. . 3 ⊢ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
11	2, 5, 6, 10	fvmptd 6948	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ifcif 4479   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  𝟭cind 32929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-ind 32930

This theorem is referenced by:  ind1  32936  ind0  32937  ind1a  32938  esplyfv1  33727  eulerpartlemgvv  34533