Theorem indfval 32945

Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indfval	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))

Proof of Theorem indfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 32942	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
5	4	ifbid 4505	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → 𝑋 ∈ 𝑂)
7		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	ifcli 4529	. . 3 ⊢ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
11	2, 5, 6, 10	fvmptd 6957	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 32939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-ind 32940

This theorem is referenced by:  ind1  32946  ind0  32947  ind1a  32948  esplyfv1  33745  esplyfvaln  33750  eulerpartlemgvv  34553