Theorem indf 32811

Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Proof of Theorem indf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 32809	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2		1re 11134	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ifpr 4647	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0}
6		prcom 4686	. . . 4 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
7	5, 6	eleqtri 2826	. . 3 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
9	1, 8	fmpt3d 7054	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ifcif 4478  {cpr 4581  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  𝟭cind 32806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-ind 32807

This theorem is referenced by:  indpi1  32816  indsum  32817  indsumin  32818  prodindf  32819  indpreima  32821  indf1ofs  32822  indsupp  32823  elrgspnsubrunlem1  33200  breprexpnat  34604  circlemethnat  34611