Theorem indf 12235

Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Proof of Theorem indf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 12232	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2		1re 11219	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ifpr 4661	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0}
6		prcom 4700	. . . 4 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
7	5, 6	eleqtri 2863	. . 3 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
9	1, 8	fmpt3d 7115	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {cpr 4593  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112  𝟭cind 12229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-ind 12230

This theorem is used by:  fvindre  12237  indpi1  12243  indsumin  33210  prodindf  33211  indpreima  33214  indf1ofs  33215  indsupp  33216  indfsd  33217  elrgspnsubrunlem1  33590  gsumind  33688  mplmulmvr  33952  esplylem  33979  esplympl  33980  esplymhp  33981  esplyfv1  33982  esplyfv  33983  esplyfval3  33985  esplyfvaln  33987  esplyind  33988  vieta  33993  breprexpnat  35045  circlemethnat  35052