Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indf 31348
Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Proof of Theorem indf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indval 31346 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
2 1re 10630 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 0re 10632 . . . . 5 0 ∈ ℝ
4 ifpr 4603 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
52, 3, 4mp2an 691 . . . 4 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0}
6 prcom 4642 . . . 4 {1, 0} = {0, 1}
75, 6eleqtri 2912 . . 3 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
87a1i 11 . 2 (((𝑂𝑉𝐴𝑂) ∧ 𝑥𝑂) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
91, 8fmpt3d 6862 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114  wss 3908  ifcif 4439  {cpr 4541  wf 6330  cfv 6334  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  𝟭cind 31343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-ind 31344
This theorem is referenced by:  indpi1  31353  indsum  31354  indsumin  31355  prodindf  31356  indpreima  31358  indf1ofs  31359  breprexpnat  31979  circlemethnat  31986
  Copyright terms: Public domain W3C validator