Theorem indf 12165

Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Proof of Theorem indf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 12162	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2		1re 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ifpr 4637	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0}
6		prcom 4676	. . . 4 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
7	5, 6	eleqtri 2834	. . 3 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
9	1, 8	fmpt3d 7068	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {cpr 4569  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-ind 12160

This theorem is referenced by:  fvindre  12167  indpi1  12173  indsumin  32921  prodindf  32922  indpreima  32925  indf1ofs  32926  indsupp  32927  indfsd  32928  elrgspnsubrunlem1  33308  gsumind  33405  mplmulmvr  33683  esplylem  33710  esplympl  33711  esplymhp  33712  esplyfv1  33713  esplyfv  33714  esplyfval3  33716  esplyfvaln  33718  esplyind  33719  vieta  33724  breprexpnat  34778  circlemethnat  34785