Theorem indf 12366

Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

Proof of Theorem indf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indval 12363	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
2		1re 11347	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11349	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ifpr 4655	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0})
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {1, 0}
6		prcom 4695	. . . 4 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
7	5, 6	eleqtri 2862	. . 3 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ {0, 1})
9	1, 8	fmpt3d 7148	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  {cpr 4590  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  𝟭cind 12360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-ind 12361

This theorem is used by:  fvindre  12368  indpi1  12374  indsumin  33524  prodindf  33525  indpreima  33528  indf1ofs  33529  indsupp  33530  indfsd  33531  elrgspnsubrunlem1  33907  gsumind  34010  mplmulmvr  34282  esplylem  34309  esplympl  34310  esplymhp  34311  esplyfv1  34312  esplyfv  34313  esplyfval3  34315  esplyfvaln  34317  esplyind  34318  vieta  34323  breprexpnat  35374  circlemethnat  35381