MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscnp3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iscnp3 22970
Description: The predicate "the class 𝐹 is a continuous function from topology 𝐽 to topology 𝐾 at point 𝑃". (Contributed by NM, 15-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
iscnp3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦
Proof of Theorem iscnp3
StepHypRef Expression
1 iscnp 22963 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)))))
2 ffun 6721 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ Fun 𝐹)
32ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ Fun 𝐹)
4 toponss 22651 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
54adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
6 fdm 6727 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
76ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
85, 7sseqtrrd 4024 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝐹)
9 funimass3 7056 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦 ↔ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
103, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦 ↔ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))
1110anbi2d 627 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ ((𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦) ↔ (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))
1211rexbidva 3174 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))
1312imbi2d 339 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))))
1413ralbidv 3175 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦)))))
1514pm5.32da 577 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))))
16153ad2ant1 1131 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦))) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))))
171, 16bitrd 278 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑦))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3949  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  TopOnctopon 22634   CnP ccnp 22951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8826  df-top 22618  df-topon 22635  df-cnp 22954
This theorem is referenced by:  cncnpi  23004  cnpdis  23019
  Copyright terms: Public domain W3C validator