Theorem toponss 22910

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 22897	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3952	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  TopOnctopon 22893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-topon 22894

This theorem is referenced by:  en2top  22968  neiptopreu  23116  iscnp3  23227  cnntr  23258  cncnp  23263  isreg2  23360  connsub  23404  iunconnlem  23410  conncompclo  23418  1stccnp  23445  kgenidm  23530  tx1cn  23592  tx2cn  23593  xkoccn  23602  txcnp  23603  ptcnplem  23604  xkoinjcn  23670  idqtop  23689  qtopss  23698  kqfvima  23713  kqsat  23714  kqreglem1  23724  kqreglem2  23725  qtopf1  23799  fbflim  23959  flimcf  23965  flimrest  23966  isflf  23976  fclscf  24008  subgntr  24090  ghmcnp  24098  qustgpopn  24103  qustgplem  24104  tsmsxplem1  24136  tsmsxp  24138  ressusp  24247  mopnss  24429  xrtgioo  24790  lebnumlem2  24947  cfilfcls  25259  iscmet3lem2  25277  dvres3a  25899  dvmptfsum  25960  dvcnvlem  25961  dvcnv  25962  efopn  26640  txomap  34018  cnllysconn  35473  cvmlift2lem9a  35531  icccncfext  46330  dvmptconst  46358  dvmptidg  46360  qndenserrnopnlem  46740  opnvonmbllem2  47076