Theorem toponss 23245

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4899	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23232	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3968	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6538  TopOnctopon 23228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-topon 23229

This theorem is used by:  en2top  23303  neiptopreu  23451  iscnp3  23562  cnntr  23593  cncnp  23598  isreg2  23695  connsub  23739  iunconnlem  23745  conncompclo  23753  1stccnp  23781  kgenidm  23866  tx1cn  23928  tx2cn  23929  xkoccn  23938  txcnp  23939  ptcnplem  23940  xkoinjcn  24006  idqtop  24025  qtopss  24034  kqfvima  24049  kqsat  24050  kqreglem1  24060  kqreglem2  24061  qtopf1  24135  fbflim  24295  flimcf  24301  flimrest  24302  isflf  24312  fclscf  24344  subgntr  24426  ghmcnp  24434  qustgpopn  24439  qustgplem  24440  tsmsxplem1  24472  tsmsxp  24474  ressusp  24583  mopnss  24765  xrtgioo  25126  lebnumlem2  25283  cfilfcls  25595  iscmet3lem2  25613  dvres3a  26234  dvmptfsum  26295  dvcnvlem  26296  dvcnv  26297  efopn  26986  txomap  34466  cnllysconn  36010  cvmlift2lem9a  36068  icccncfext  46896  dvmptconst  46924  dvmptidg  46926  qndenserrnopnlem  47306  opnvonmbllem2  47642