Theorem toponss 22869

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4892	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 22856	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3969	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4861  ‘cfv 6490  TopOnctopon 22852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-topon 22853

This theorem is referenced by:  en2top  22927  neiptopreu  23075  iscnp3  23186  cnntr  23217  cncnp  23222  isreg2  23319  connsub  23363  iunconnlem  23369  conncompclo  23377  1stccnp  23404  kgenidm  23489  tx1cn  23551  tx2cn  23552  xkoccn  23561  txcnp  23562  ptcnplem  23563  xkoinjcn  23629  idqtop  23648  qtopss  23657  kqfvima  23672  kqsat  23673  kqreglem1  23683  kqreglem2  23684  qtopf1  23758  fbflim  23918  flimcf  23924  flimrest  23925  isflf  23935  fclscf  23967  subgntr  24049  ghmcnp  24057  qustgpopn  24062  qustgplem  24063  tsmsxplem1  24095  tsmsxp  24097  ressusp  24206  mopnss  24388  xrtgioo  24749  lebnumlem2  24915  cfilfcls  25228  iscmet3lem2  25246  dvres3a  25869  dvmptfsum  25933  dvcnvlem  25934  dvcnv  25935  efopn  26621  txomap  33940  cnllysconn  35388  cvmlift2lem9a  35446  icccncfext  46073  dvmptconst  46101  dvmptidg  46103  qndenserrnopnlem  46483  opnvonmbllem2  46819