Theorem toponss 22871

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4894	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 22858	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3971	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863  ‘cfv 6492  TopOnctopon 22854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topon 22855

This theorem is referenced by:  en2top  22929  neiptopreu  23077  iscnp3  23188  cnntr  23219  cncnp  23224  isreg2  23321  connsub  23365  iunconnlem  23371  conncompclo  23379  1stccnp  23406  kgenidm  23491  tx1cn  23553  tx2cn  23554  xkoccn  23563  txcnp  23564  ptcnplem  23565  xkoinjcn  23631  idqtop  23650  qtopss  23659  kqfvima  23674  kqsat  23675  kqreglem1  23685  kqreglem2  23686  qtopf1  23760  fbflim  23920  flimcf  23926  flimrest  23927  isflf  23937  fclscf  23969  subgntr  24051  ghmcnp  24059  qustgpopn  24064  qustgplem  24065  tsmsxplem1  24097  tsmsxp  24099  ressusp  24208  mopnss  24390  xrtgioo  24751  lebnumlem2  24917  cfilfcls  25230  iscmet3lem2  25248  dvres3a  25871  dvmptfsum  25935  dvcnvlem  25936  dvcnv  25937  efopn  26623  txomap  33991  cnllysconn  35439  cvmlift2lem9a  35497  icccncfext  46131  dvmptconst  46159  dvmptidg  46161  qndenserrnopnlem  46541  opnvonmbllem2  46877