Theorem toponss 23134

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4906	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23121	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3975	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  TopOnctopon 23117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topon 23118

This theorem is used by:  en2top  23192  neiptopreu  23340  iscnp3  23451  cnntr  23482  cncnp  23487  isreg2  23584  connsub  23628  iunconnlem  23634  conncompclo  23642  1stccnp  23670  kgenidm  23755  tx1cn  23817  tx2cn  23818  xkoccn  23827  txcnp  23828  ptcnplem  23829  xkoinjcn  23895  idqtop  23914  qtopss  23923  kqfvima  23938  kqsat  23939  kqreglem1  23949  kqreglem2  23950  qtopf1  24024  fbflim  24184  flimcf  24190  flimrest  24191  isflf  24201  fclscf  24233  subgntr  24315  ghmcnp  24323  qustgpopn  24328  qustgplem  24329  tsmsxplem1  24361  tsmsxp  24363  ressusp  24472  mopnss  24654  xrtgioo  25015  lebnumlem2  25172  cfilfcls  25484  iscmet3lem2  25502  dvres3a  26124  dvmptfsum  26185  dvcnvlem  26186  dvcnv  26187  efopn  26874  txomap  34288  cnllysconn  35774  cvmlift2lem9a  35832  icccncfext  46659  dvmptconst  46687  dvmptidg  46689  qndenserrnopnlem  47069  opnvonmbllem2  47405