Theorem toponss 22987

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4897	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 22974	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3973	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6521  TopOnctopon 22970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-topon 22971

This theorem is referenced by:  en2top  23045  neiptopreu  23193  iscnp3  23304  cnntr  23335  cncnp  23340  isreg2  23437  connsub  23481  iunconnlem  23487  conncompclo  23495  1stccnp  23522  kgenidm  23607  tx1cn  23669  tx2cn  23670  xkoccn  23679  txcnp  23680  ptcnplem  23681  xkoinjcn  23747  idqtop  23766  qtopss  23775  kqfvima  23790  kqsat  23791  kqreglem1  23801  kqreglem2  23802  qtopf1  23876  fbflim  24036  flimcf  24042  flimrest  24043  isflf  24053  fclscf  24085  subgntr  24167  ghmcnp  24175  qustgpopn  24180  qustgplem  24181  tsmsxplem1  24213  tsmsxp  24215  ressusp  24324  mopnss  24506  xrtgioo  24867  lebnumlem2  25024  cfilfcls  25336  iscmet3lem2  25354  dvres3a  25976  dvmptfsum  26037  dvcnvlem  26038  dvcnv  26039  efopn  26723  txomap  34131  cnllysconn  35595  cvmlift2lem9a  35653  icccncfext  46461  dvmptconst  46489  dvmptidg  46491  qndenserrnopnlem  46871  opnvonmbllem2  47207