Theorem toponss 22842

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4887	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 22829	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3967	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-topon 22826

This theorem is referenced by:  en2top  22900  neiptopreu  23048  iscnp3  23159  cnntr  23190  cncnp  23195  isreg2  23292  connsub  23336  iunconnlem  23342  conncompclo  23350  1stccnp  23377  kgenidm  23462  tx1cn  23524  tx2cn  23525  xkoccn  23534  txcnp  23535  ptcnplem  23536  xkoinjcn  23602  idqtop  23621  qtopss  23630  kqfvima  23645  kqsat  23646  kqreglem1  23656  kqreglem2  23657  qtopf1  23731  fbflim  23891  flimcf  23897  flimrest  23898  isflf  23908  fclscf  23940  subgntr  24022  ghmcnp  24030  qustgpopn  24035  qustgplem  24036  tsmsxplem1  24068  tsmsxp  24070  ressusp  24179  mopnss  24361  xrtgioo  24722  lebnumlem2  24888  cfilfcls  25201  iscmet3lem2  25219  dvres3a  25842  dvmptfsum  25906  dvcnvlem  25907  dvcnv  25908  efopn  26594  txomap  33847  cnllysconn  35289  cvmlift2lem9a  35347  icccncfext  45933  dvmptconst  45961  dvmptidg  45963  qndenserrnopnlem  46343  opnvonmbllem2  46679