Theorem toponss 23254

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4898	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23241	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3946	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6543  TopOnctopon 23237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topon 23238

This theorem is used by:  en2top  23312  neiptopreu  23460  iscnp3  23571  cnntr  23602  cncnp  23607  isreg2  23704  connsub  23748  iunconnlem  23754  conncompclo  23762  1stccnp  23790  kgenidm  23875  tx1cn  23937  tx2cn  23938  xkoccn  23947  txcnp  23948  ptcnplem  23949  xkoinjcn  24015  idqtop  24034  qtopss  24043  kqfvima  24058  kqsat  24059  kqreglem1  24069  kqreglem2  24070  qtopf1  24144  fbflim  24304  flimcf  24310  flimrest  24311  isflf  24321  fclscf  24353  subgntr  24435  ghmcnp  24443  qustgpopn  24448  qustgplem  24449  tsmsxplem1  24481  tsmsxp  24483  ressusp  24592  mopnss  24774  xrtgioo  25135  lebnumlem2  25292  cfilfcls  25604  iscmet3lem2  25622  dvres3a  26243  dvmptfsum  26304  dvcnvlem  26305  dvcnv  26306  efopn  26995  txomap  34516  cnllysconn  36128  cvmlift2lem9a  36186  icccncfext  47033  dvmptconst  47061  dvmptidg  47063  qndenserrnopnlem  47443  opnvonmbllem2  47779