Theorem toponss 23300

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4904	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23287	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3950	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  TopOnctopon 23283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-topon 23284

This theorem is used by:  en2top  23358  neiptopreu  23506  iscnp3  23617  cnntr  23648  cncnp  23653  isreg2  23750  connsub  23794  iunconnlem  23800  conncompclo  23808  1stccnp  23836  kgenidm  23921  tx1cn  23983  tx2cn  23984  xkoccn  23993  txcnp  23994  ptcnplem  23995  xkoinjcn  24061  idqtop  24080  qtopss  24089  kqfvima  24104  kqsat  24105  kqreglem1  24115  kqreglem2  24116  qtopf1  24190  fbflim  24350  flimcf  24356  flimrest  24357  isflf  24367  fclscf  24399  subgntr  24481  ghmcnp  24489  qustgpopn  24494  qustgplem  24495  tsmsxplem1  24527  tsmsxp  24529  ressusp  24638  mopnss  24820  xrtgioo  25181  lebnumlem2  25338  cfilfcls  25650  iscmet3lem2  25668  dvres3a  26289  dvmptfsum  26350  dvcnvlem  26351  dvcnv  26352  efopn  27043  txomap  34577  cnllysconn  36218  cvmlift2lem9a  36276  icccncfext  47170  dvmptconst  47198  dvmptidg  47200  qndenserrnopnlem  47580  opnvonmbllem2  47916