Theorem toponss 23121

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23108	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3977	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4877  ‘cfv 6543  TopOnctopon 23104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topon 23105

This theorem is used by:  en2top  23179  neiptopreu  23327  iscnp3  23438  cnntr  23469  cncnp  23474  isreg2  23571  connsub  23615  iunconnlem  23621  conncompclo  23629  1stccnp  23656  kgenidm  23741  tx1cn  23803  tx2cn  23804  xkoccn  23813  txcnp  23814  ptcnplem  23815  xkoinjcn  23881  idqtop  23900  qtopss  23909  kqfvima  23924  kqsat  23925  kqreglem1  23935  kqreglem2  23936  qtopf1  24010  fbflim  24170  flimcf  24176  flimrest  24177  isflf  24187  fclscf  24219  subgntr  24301  ghmcnp  24309  qustgpopn  24314  qustgplem  24315  tsmsxplem1  24347  tsmsxp  24349  ressusp  24458  mopnss  24640  xrtgioo  25001  lebnumlem2  25158  cfilfcls  25470  iscmet3lem2  25488  dvres3a  26110  dvmptfsum  26171  dvcnvlem  26172  dvcnv  26173  efopn  26860  txomap  34255  cnllysconn  35757  cvmlift2lem9a  35815  icccncfext  46641  dvmptconst  46669  dvmptidg  46671  qndenserrnopnlem  47051  opnvonmbllem2  47387