Theorem toponss 23052

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4908	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23039	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3982	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4876  ‘cfv 6537  TopOnctopon 23035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-topon 23036

This theorem is referenced by:  en2top  23110  neiptopreu  23258  iscnp3  23369  cnntr  23400  cncnp  23405  isreg2  23502  connsub  23546  iunconnlem  23552  conncompclo  23560  1stccnp  23587  kgenidm  23672  tx1cn  23734  tx2cn  23735  xkoccn  23744  txcnp  23745  ptcnplem  23746  xkoinjcn  23812  idqtop  23831  qtopss  23840  kqfvima  23855  kqsat  23856  kqreglem1  23866  kqreglem2  23867  qtopf1  23941  fbflim  24101  flimcf  24107  flimrest  24108  isflf  24118  fclscf  24150  subgntr  24232  ghmcnp  24240  qustgpopn  24245  qustgplem  24246  tsmsxplem1  24278  tsmsxp  24280  ressusp  24389  mopnss  24571  xrtgioo  24932  lebnumlem2  25089  cfilfcls  25401  iscmet3lem2  25419  dvres3a  26041  dvmptfsum  26102  dvcnvlem  26103  dvcnv  26104  efopn  26788  txomap  34168  cnllysconn  35635  cvmlift2lem9a  35693  icccncfext  46492  dvmptconst  46520  dvmptidg  46522  qndenserrnopnlem  46902  opnvonmbllem2  47238