Theorem toponss 23084

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4904	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23071	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3974	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  TopOnctopon 23067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-topon 23068

This theorem is referenced by:  en2top  23142  neiptopreu  23290  iscnp3  23401  cnntr  23432  cncnp  23437  isreg2  23534  connsub  23578  iunconnlem  23584  conncompclo  23592  1stccnp  23619  kgenidm  23704  tx1cn  23766  tx2cn  23767  xkoccn  23776  txcnp  23777  ptcnplem  23778  xkoinjcn  23844  idqtop  23863  qtopss  23872  kqfvima  23887  kqsat  23888  kqreglem1  23898  kqreglem2  23899  qtopf1  23973  fbflim  24133  flimcf  24139  flimrest  24140  isflf  24150  fclscf  24182  subgntr  24264  ghmcnp  24272  qustgpopn  24277  qustgplem  24278  tsmsxplem1  24310  tsmsxp  24312  ressusp  24421  mopnss  24603  xrtgioo  24964  lebnumlem2  25121  cfilfcls  25433  iscmet3lem2  25451  dvres3a  26073  dvmptfsum  26134  dvcnvlem  26135  dvcnv  26136  efopn  26823  txomap  34224  cnllysconn  35737  cvmlift2lem9a  35795  icccncfext  46601  dvmptconst  46629  dvmptidg  46631  qndenserrnopnlem  47011  opnvonmbllem2  47347