Theorem toponss 22892

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4881	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 22879	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3959	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  TopOnctopon 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-topon 22876

This theorem is referenced by:  en2top  22950  neiptopreu  23098  iscnp3  23209  cnntr  23240  cncnp  23245  isreg2  23342  connsub  23386  iunconnlem  23392  conncompclo  23400  1stccnp  23427  kgenidm  23512  tx1cn  23574  tx2cn  23575  xkoccn  23584  txcnp  23585  ptcnplem  23586  xkoinjcn  23652  idqtop  23671  qtopss  23680  kqfvima  23695  kqsat  23696  kqreglem1  23706  kqreglem2  23707  qtopf1  23781  fbflim  23941  flimcf  23947  flimrest  23948  isflf  23958  fclscf  23990  subgntr  24072  ghmcnp  24080  qustgpopn  24085  qustgplem  24086  tsmsxplem1  24118  tsmsxp  24120  ressusp  24229  mopnss  24411  xrtgioo  24772  lebnumlem2  24929  cfilfcls  25241  iscmet3lem2  25259  dvres3a  25881  dvmptfsum  25942  dvcnvlem  25943  dvcnv  25944  efopn  26622  txomap  33978  cnllysconn  35427  cvmlift2lem9a  35485  icccncfext  46315  dvmptconst  46343  dvmptidg  46345  qndenserrnopnlem  46725  opnvonmbllem2  47061