Theorem toponss 23153

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4899	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 23140	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3968	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  TopOnctopon 23136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-topon 23137

This theorem is used by:  en2top  23211  neiptopreu  23359  iscnp3  23470  cnntr  23501  cncnp  23506  isreg2  23603  connsub  23647  iunconnlem  23653  conncompclo  23661  1stccnp  23689  kgenidm  23774  tx1cn  23836  tx2cn  23837  xkoccn  23846  txcnp  23847  ptcnplem  23848  xkoinjcn  23914  idqtop  23933  qtopss  23942  kqfvima  23957  kqsat  23958  kqreglem1  23968  kqreglem2  23969  qtopf1  24043  fbflim  24203  flimcf  24209  flimrest  24210  isflf  24220  fclscf  24252  subgntr  24334  ghmcnp  24342  qustgpopn  24347  qustgplem  24348  tsmsxplem1  24380  tsmsxp  24382  ressusp  24491  mopnss  24673  xrtgioo  25034  lebnumlem2  25191  cfilfcls  25503  iscmet3lem2  25521  dvres3a  26142  dvmptfsum  26203  dvcnvlem  26204  dvcnv  26205  efopn  26896  txomap  34345  cnllysconn  35825  cvmlift2lem9a  35883  icccncfext  46716  dvmptconst  46744  dvmptidg  46746  qndenserrnopnlem  47126  opnvonmbllem2  47462