Theorem toponss 22905

Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponss	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem toponss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4882	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽)
3		toponuni 22892	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
5	2, 4	sseqtrrd 3960	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6493  TopOnctopon 22888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-topon 22889

This theorem is referenced by:  en2top  22963  neiptopreu  23111  iscnp3  23222  cnntr  23253  cncnp  23258  isreg2  23355  connsub  23399  iunconnlem  23405  conncompclo  23413  1stccnp  23440  kgenidm  23525  tx1cn  23587  tx2cn  23588  xkoccn  23597  txcnp  23598  ptcnplem  23599  xkoinjcn  23665  idqtop  23684  qtopss  23693  kqfvima  23708  kqsat  23709  kqreglem1  23719  kqreglem2  23720  qtopf1  23794  fbflim  23954  flimcf  23960  flimrest  23961  isflf  23971  fclscf  24003  subgntr  24085  ghmcnp  24093  qustgpopn  24098  qustgplem  24099  tsmsxplem1  24131  tsmsxp  24133  ressusp  24242  mopnss  24424  xrtgioo  24785  lebnumlem2  24942  cfilfcls  25254  iscmet3lem2  25272  dvres3a  25894  dvmptfsum  25955  dvcnvlem  25956  dvcnv  25957  efopn  26638  txomap  33997  cnllysconn  35446  cvmlift2lem9a  35504  icccncfext  46336  dvmptconst  46364  dvmptidg  46366  qndenserrnopnlem  46746  opnvonmbllem2  47082