Theorem isghm3 19350

Description: Property of a group homomorphism, similar to ismhm 18899. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghm.w	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghm.x	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghm.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
isghm.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
isghm3	⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑢 + 𝑣)) = ((𝐹‘𝑢) ⨣ (𝐹‘𝑣)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑆   𝑢,𝑇,𝑣   𝑢,𝑋,𝑣   𝑢, + ,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝑢, ⨣ ,𝑣   𝑢,𝐹,𝑣

Proof of Theorem isghm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghm.w	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		isghm.x	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		isghm.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		isghm.b	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19349	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑢 + 𝑣)) = ((𝐹‘𝑢) ⨣ (𝐹‘𝑣)))))
6	5	baib 545	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑢 + 𝑣)) = ((𝐹‘𝑢) ⨣ (𝐹‘𝑣)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Grpcgrp 19063   GrpHom cghm 19346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8832  df-ghm 19347

This theorem is used by:  dfrhm2  20621