MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmgrp1 18969
Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ghmgrp1 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑇) = (+g𝑇)
51, 2, 3, 4isghm 18967 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g𝑆)𝑥)) = ((𝐹𝑦)(+g𝑇)(𝐹𝑥)))))
65simplbi 498 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
76simpld 495 1 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  Grpcgrp 18708   GrpHom cghm 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-ghm 18965
This theorem is referenced by:  ghmid  18973  ghminv  18974  ghmsub  18975  ghmmhm  18977  ghmmulg  18979  ghmrn  18980  resghm2  18984  resghm2b  18985  ghmco  18987  ghmpreima  18989  ghmeql  18990  ghmnsgima  18991  ghmnsgpreima  18992  ghmeqker  18994  ghmf1  18996  ghmf1o  18997  ghmpropd  19005  isgim  19011  giclcl  19021  lactghmga  19146  invghm  19571  ghmplusg  19583  f1ghm0to0  20127  kerf1ghm  20130  evl1addd  21659  evl1subd  21660  ghmcnp  23418  evlsaddval  40672  gicabl  41335
  Copyright terms: Public domain W3C validator