Theorem ghmgrp1 19412

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19410	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Grpcgrp 19124   GrpHom cghm 19407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8833  df-ghm 19408

This theorem is used by:  ghmid  19416  ghminv  19417  ghmsub  19418  ghmmhm  19420  ghmmulg  19422  ghmrn  19423  resghm2  19427  resghm2b  19428  ghmco  19430  ghmpreima  19432  ghmeql  19433  ghmnsgima  19434  ghmnsgpreima  19435  ghmeqker  19437  f1ghm0to0  19439  ghmf1  19440  kerf1ghm  19441  ghmf1o  19442  ghmpropd  19450  isgim  19456  giclcl  19467  ghmqusnsglem1  19474  ghmqusnsglem2  19475  ghmqusnsg  19476  ghmquskerlem1  19477  ghmquskerlem2  19479  ghmquskerlem3  19480  ghmqusker  19481  lactghmga  19599  invghm  20027  ghmplusg  20040  evladdval  22392  evlsaddval  22418  evl1addd  22639  evl1subd  22640  ghmcnp  24414  fxpsubg  33716  gicabl  44059