Theorem ghmgrp1 19298

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19296	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17279  +_gcplusg 17320  Grpcgrp 19010   GrpHom cghm 19293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-map 8828  df-ghm 19294

This theorem is used by:  ghmid  19302  ghminv  19303  ghmsub  19304  ghmmhm  19306  ghmmulg  19308  ghmrn  19309  resghm2  19313  resghm2b  19314  ghmco  19316  ghmpreima  19318  ghmeql  19319  ghmnsgima  19320  ghmnsgpreima  19321  ghmeqker  19323  f1ghm0to0  19325  ghmf1  19326  kerf1ghm  19327  ghmf1o  19328  ghmpropd  19336  isgim  19342  giclcl  19353  ghmqusnsglem1  19360  ghmqusnsglem2  19361  ghmqusnsg  19362  ghmquskerlem1  19363  ghmquskerlem2  19365  ghmquskerlem3  19366  ghmqusker  19367  lactghmga  19485  invghm  19913  ghmplusg  19926  evladdval  22269  evlsaddval  22295  evl1addd  22516  evl1subd  22517  ghmcnp  24287  fxpsubg  33506  gicabl  43858