Theorem ghmgrp1 19351

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19349	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Grpcgrp 19063   GrpHom cghm 19346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8832  df-ghm 19347

This theorem is used by:  ghmid  19355  ghminv  19356  ghmsub  19357  ghmmhm  19359  ghmmulg  19361  ghmrn  19362  resghm2  19366  resghm2b  19367  ghmco  19369  ghmpreima  19371  ghmeql  19372  ghmnsgima  19373  ghmnsgpreima  19374  ghmeqker  19376  f1ghm0to0  19378  ghmf1  19379  kerf1ghm  19380  ghmf1o  19381  ghmpropd  19389  isgim  19395  giclcl  19406  ghmqusnsglem1  19413  ghmqusnsglem2  19414  ghmqusnsg  19415  ghmquskerlem1  19416  ghmquskerlem2  19418  ghmquskerlem3  19419  ghmqusker  19420  lactghmga  19538  invghm  19966  ghmplusg  19979  evladdval  22325  evlsaddval  22351  evl1addd  22572  evl1subd  22573  ghmcnp  24347  fxpsubg  33621  gicabl  43948