Theorem ghmgrp1 19438

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19436	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Grpcgrp 19150   GrpHom cghm 19433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-map 8853  df-ghm 19434

This theorem is used by:  ghmid  19442  ghminv  19443  ghmsub  19444  ghmmhm  19446  ghmmulg  19448  ghmrn  19449  resghm2  19453  resghm2b  19454  ghmco  19456  ghmpreima  19458  ghmeql  19459  ghmnsgima  19460  ghmnsgpreima  19461  ghmeqker  19463  f1ghm0to0  19465  ghmf1  19466  kerf1ghm  19467  ghmf1o  19468  ghmpropd  19476  isgim  19482  giclcl  19493  ghmqusnsglem1  19500  ghmqusnsglem2  19501  ghmqusnsg  19502  ghmquskerlem1  19503  ghmquskerlem2  19505  ghmquskerlem3  19506  ghmqusker  19507  lactghmga  19625  invghm  20053  ghmplusg  20066  evladdval  22418  evlsaddval  22444  evl1addd  22665  evl1subd  22666  ghmcnp  24440  fxpsubg  33781  gicabl  44195