Theorem ghmgrp1 19258

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19255	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 18973   GrpHom cghm 19252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-ghm 19253

This theorem is referenced by:  ghmid  19262  ghminv  19263  ghmsub  19264  ghmmhm  19266  ghmmulg  19268  ghmrn  19269  resghm2  19273  resghm2b  19274  ghmco  19276  ghmpreima  19278  ghmeql  19279  ghmnsgima  19280  ghmnsgpreima  19281  ghmeqker  19283  f1ghm0to0  19285  ghmf1  19286  kerf1ghm  19287  ghmf1o  19288  ghmpropd  19296  isgim  19302  giclcl  19313  ghmqusnsglem1  19320  ghmqusnsglem2  19321  ghmqusnsg  19322  ghmquskerlem1  19323  ghmquskerlem2  19325  ghmquskerlem3  19326  ghmqusker  19327  lactghmga  19447  invghm  19875  ghmplusg  19888  evl1addd  22366  evl1subd  22367  ghmcnp  24144  evlsaddval  42523  evladdval  42530  gicabl  43056