Theorem ghmgrp1 19289

Description: A group homomorphism is only defined when the domain is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ghmgrp1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem ghmgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19287	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
7	6	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 19001   GrpHom cghm 19284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827  df-ghm 19285

This theorem is referenced by:  ghmid  19293  ghminv  19294  ghmsub  19295  ghmmhm  19297  ghmmulg  19299  ghmrn  19300  resghm2  19304  resghm2b  19305  ghmco  19307  ghmpreima  19309  ghmeql  19310  ghmnsgima  19311  ghmnsgpreima  19312  ghmeqker  19314  f1ghm0to0  19316  ghmf1  19317  kerf1ghm  19318  ghmf1o  19319  ghmpropd  19327  isgim  19333  giclcl  19344  ghmqusnsglem1  19351  ghmqusnsglem2  19352  ghmqusnsg  19353  ghmquskerlem1  19354  ghmquskerlem2  19356  ghmquskerlem3  19357  ghmqusker  19358  lactghmga  19476  invghm  19904  ghmplusg  19917  evladdval  22235  evlsaddval  22261  evl1addd  22482  evl1subd  22483  ghmcnp  24253  fxpsubg  33474  gicabl  43809