Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isinftm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isinftm 32066
Description: Express ๐‘ฅ is infinitesimal with respect to ๐‘ฆ for a structure ๐‘Š. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
inftm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Š)
inftm.0 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
inftm.x ยท = (.gโ€˜๐‘Š)
inftm.l < = (ltโ€˜๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
isinftm ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(โ‹˜โ€˜๐‘Š)๐‘Œ โ†” ( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ)))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘Š   ๐‘›,๐‘‹   ๐‘›,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘›)   < (๐‘›)   ยท (๐‘›)   ๐‘‰(๐‘›)   0 (๐‘›)

Proof of Theorem isinftm
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ค ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
2 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
31, 2bi2anan9 638 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
4 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
54breq2d 5118 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ( 0 < ๐‘ฅ โ†” 0 < ๐‘‹))
64oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ฅ) = (๐‘› ยท ๐‘‹))
7 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
86, 7breq12d 5119 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ โ†” (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ))
98ralbidv 3171 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ))
105, 9anbi12d 632 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ) โ†” ( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ)))
113, 10anbi12d 632 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ))))
12 eqid 2733 . . . 4 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))}
1311, 12brabga 5492 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))}๐‘Œ โ†” ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ))))
14133adant1 1131 . 2 ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))}๐‘Œ โ†” ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ))))
15 elex 3462 . . . . 5 (๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘Š โˆˆ V)
16153ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Š โˆˆ V)
17 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = (Baseโ€˜๐‘Š))
18 inftm.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Š)
1917, 18eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (Baseโ€˜๐‘ค) = ๐ต)
2019eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
2119eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โ†” ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
2220, 21anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)))
23 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = (0gโ€˜๐‘Š))
24 inftm.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gโ€˜๐‘Š)
2523, 24eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (0gโ€˜๐‘ค) = 0 )
26 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (ltโ€˜๐‘ค) = (ltโ€˜๐‘Š))
27 inftm.l . . . . . . . . . 10 < = (ltโ€˜๐‘Š)
2826, 27eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (ltโ€˜๐‘ค) = < )
29 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ)
3025, 28, 29breq123d 5120 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((0gโ€˜๐‘ค)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ โ†” 0 < ๐‘ฅ))
31 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (.gโ€˜๐‘ค) = (.gโ€˜๐‘Š))
32 inftm.x . . . . . . . . . . . 12 ยท = (.gโ€˜๐‘Š)
3331, 32eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (.gโ€˜๐‘ค) = ยท )
3433oveqd 7375 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (๐‘›(.gโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ) = (๐‘› ยท ๐‘ฅ))
35 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ฆ)
3634, 28, 35breq123d 5120 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((๐‘›(.gโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฆ โ†” (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))
3736ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฆ โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))
3830, 37anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (((0gโ€˜๐‘ค)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฆ) โ†” ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ)))
3922, 38anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค)) โˆง ((0gโ€˜๐‘ค)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฆ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))))
4039opabbidv 5172 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค)) โˆง ((0gโ€˜๐‘ค)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฆ))} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))})
41 df-inftm 32063 . . . . 5 โ‹˜ = (๐‘ค โˆˆ V โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ค)) โˆง ((0gโ€˜๐‘ค)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘›(.gโ€˜๐‘ค)๐‘ฅ)(ltโ€˜๐‘ค)๐‘ฆ))})
4218fvexi 6857 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ V
4342, 42xpex 7688 . . . . . 6 (๐ต ร— ๐ต) โˆˆ V
44 opabssxp 5725 . . . . . 6 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))} โŠ† (๐ต ร— ๐ต)
4543, 44ssexi 5280 . . . . 5 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))} โˆˆ V
4640, 41, 45fvmpt 6949 . . . 4 (๐‘Š โˆˆ V โ†’ (โ‹˜โ€˜๐‘Š) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))})
4716, 46syl 17 . . 3 ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ‹˜โ€˜๐‘Š) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))})
4847breqd 5117 . 2 ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(โ‹˜โ€˜๐‘Š)๐‘Œ โ†” ๐‘‹{โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘ฅ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘ฅ) < ๐‘ฆ))}๐‘Œ))
49 3simpc 1151 . . 3 ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
5049biantrurd 534 . 2 ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ))))
5114, 48, 503bitr4d 311 1 ((๐‘Š โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(โ‹˜โ€˜๐‘Š)๐‘Œ โ†” ( 0 < ๐‘‹ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› ยท ๐‘‹) < ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3444   class class class wbr 5106  {copab 5168   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„•cn 12158  Basecbs 17088  0gc0g 17326  ltcplt 18202  .gcmg 18877  โ‹˜cinftm 32061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-inftm 32063
This theorem is referenced by:  pnfinf  32068  isarchi2  32070
  Copyright terms: Public domain W3C validator