![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 324 of 480) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30438) |
![]() (30439-31961) |
![]() (31962-47939) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | fsumub 32301* | An upper bound for a term of a positive finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.) |
โข (๐ = ๐พ โ ๐ต = ๐ท) & โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ด ๐ต = ๐ถ) & โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ+) & โข (๐ โ ๐พ โ ๐ด) โ โข (๐ โ ๐ท โค ๐ถ) | ||
Theorem | fsumiunle 32302* | Upper bound for a sum of nonnegative terms over an indexed union. The inequality may be strict if the indexed union is non-disjoint, since in the right hand side, a summand may be counted several times. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2021.) |
โข (๐ โ ๐ด โ Fin) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โ ๐ต โ Fin) & โข (((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ถ โ โ) & โข (((๐ โง ๐ฅ โ ๐ด) โง ๐ โ ๐ต) โ 0 โค ๐ถ) โ โข (๐ โ ฮฃ๐ โ โช ๐ฅ โ ๐ด ๐ต๐ถ โค ฮฃ๐ฅ โ ๐ด ฮฃ๐ โ ๐ต ๐ถ) | ||
Theorem | dfdec100 32303 | Split the hundreds from a decimal value. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ โ โข ;;๐ด๐ต๐ถ = ((;;100 ยท ๐ด) + ;๐ต๐ถ) | ||
Define a decimal expansion constructor. The decimal expansions built with this constructor are not meant to be used alone outside of this chapter. Rather, they are meant to be used exclusively as part of a decimal number with a decimal fraction, for example (3._1_4_1_59). That decimal point operator is defined in the next section. The bulk of these constructions have originally been proposed by David A. Wheeler on 12-May-2015, and discussed with Mario Carneiro in this thread: https://groups.google.com/g/metamath/c/2AW7T3d2YiQ. | ||
Syntax | cdp2 32304 | Constant used for decimal fraction constructor. See df-dp2 32305. |
class _๐ด๐ต | ||
Definition | df-dp2 32305 | Define the "decimal fraction constructor", which is used to build up "decimal fractions" in base 10. This is intentionally similar to df-dec 12682. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) |
โข _๐ด๐ต = (๐ด + (๐ต / ;10)) | ||
Theorem | dp2eq1 32306 | Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข (๐ด = ๐ต โ _๐ด๐ถ = _๐ต๐ถ) | ||
Theorem | dp2eq2 32307 | Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข (๐ด = ๐ต โ _๐ถ๐ด = _๐ถ๐ต) | ||
Theorem | dp2eq1i 32308 | Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต โ โข _๐ด๐ถ = _๐ต๐ถ | ||
Theorem | dp2eq2i 32309 | Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต โ โข _๐ถ๐ด = _๐ถ๐ต | ||
Theorem | dp2eq12i 32310 | Equality theorem for the decimal expansion constructor. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต & โข ๐ถ = ๐ท โ โข _๐ด๐ถ = _๐ต๐ท | ||
Theorem | dp20u 32311 | Add a zero in the tenths (lower) place. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 โ โข _๐ด0 = ๐ด | ||
Theorem | dp20h 32312 | Add a zero in the unit places. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ+ โ โข _0๐ด = (๐ด / ;10) | ||
Theorem | dp2cl 32313 | Closure for the decimal fraction constructor if both values are reals. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ _๐ด๐ต โ โ) | ||
Theorem | dp2clq 32314 | Closure for a decimal fraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข _๐ด๐ต โ โ | ||
Theorem | rpdp2cl 32315 | Closure for a decimal fraction in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ โ โข _๐ด๐ต โ โ+ | ||
Theorem | rpdp2cl2 32316 | Closure for a decimal fraction with no decimal expansion in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ โ โข _๐ด0 โ โ+ | ||
Theorem | dp2lt10 32317 | Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ด < ;10 & โข ๐ต < ;10 โ โข _๐ด๐ต < ;10 | ||
Theorem | dp2lt 32318 | Comparing two decimal fractions (equal unit places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ถ โ โ+ & โข ๐ต < ๐ถ โ โข _๐ด๐ต < _๐ด๐ถ | ||
Theorem | dp2ltsuc 32319 | Comparing a decimal fraction with the next integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ต < ;10 & โข (๐ด + 1) = ๐ถ โ โข _๐ด๐ต < ๐ถ | ||
Theorem | dp2ltc 32320 | Comparing two decimal expansions (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ+ & โข ๐ต < ;10 & โข ๐ด < ๐ถ โ โข _๐ด๐ต < _๐ถ๐ท | ||
Define the decimal point operator and the decimal fraction constructor. This can model traditional decimal point notation, and serve as a convenient way to write some fractional numbers. See df-dp 32322 and df-dp2 32305 for more information; dpval2 32326 and dpfrac1 32325 provide a more convenient way to obtain a value. This is intentionally similar to df-dec 12682. | ||
Syntax | cdp 32321 | Decimal point operator. See df-dp 32322. |
class . | ||
Definition | df-dp 32322* |
Define the . (decimal point) operator. For example,
(1.5) = (3 / 2), and
-(;32._7_18) =
-(;;;;32718 / ;;;1000)
Unary minus, if applied, should normally be applied in front of the
parentheses.
Metamath intentionally does not have a built-in construct for numbers, so it can show that numbers are something you can build based on set theory. However, that means that Metamath has no built-in way to parse and handle decimal numbers as traditionally written, e.g., "2.54". Here we create a system for modeling traditional decimal point notation; it is not syntactically identical, but it is sufficiently similar so it is a reasonable model of decimal point notation. It should also serve as a convenient way to write some fractional numbers. The RHS is โ, not โ; this should simplify some proofs. The LHS is โ0, since that is what is used in practice. The definition intentionally does not allow negative numbers on the LHS; if it did, nonzero fractions would produce the wrong results. (It would be possible to define the decimal point to do this, but using it would be more complicated, and the expression -(๐ด.๐ต) is just as convenient.) (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข . = (๐ฅ โ โ0, ๐ฆ โ โ โฆ _๐ฅ๐ฆ) | ||
Theorem | dpval 32323 | Define the value of the decimal point operator. See df-dp 32322. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = _๐ด๐ต) | ||
Theorem | dpcl 32324 | Prove that the closure of the decimal point is โ as we have defined it. See df-dp 32322. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) โ โ) | ||
Theorem | dpfrac1 32325 | Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 32322 and dpcl 32324. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = (;๐ด๐ต / ;10)) | ||
Theorem | dpval2 32326 | Value of the decimal point construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข (๐ด.๐ต) = (๐ด + (๐ต / ;10)) | ||
Theorem | dpval3 32327 | Value of the decimal point construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข (๐ด.๐ต) = _๐ด๐ต | ||
Theorem | dpmul10 32328 | Multiply by 10 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข ((๐ด.๐ต) ยท ;10) = ;๐ด๐ต | ||
Theorem | decdiv10 32329 | Divide a decimal number by 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข (;๐ด๐ต / ;10) = (๐ด.๐ต) | ||
Theorem | dpmul100 32330 | Multiply by 100 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ โ โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;;100) = ;;๐ด๐ต๐ถ | ||
Theorem | dp3mul10 32331 | Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ โ โข ((๐ด._๐ต๐ถ) ยท ;10) = (;๐ด๐ต.๐ถ) | ||
Theorem | dpmul1000 32332 | Multiply by 1000 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ โ โข ((๐ด._๐ต_๐ถ๐ท) ยท ;;;1000) = ;;;๐ด๐ต๐ถ๐ท | ||
Theorem | dpval3rp 32333 | Value of the decimal point construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ โ โข (๐ด.๐ต) = _๐ด๐ต | ||
Theorem | dp0u 32334 | Add a zero in the tenths place. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 โ โข (๐ด.0) = ๐ด | ||
Theorem | dp0h 32335 | Remove a zero in the units places. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ+ โ โข (0.๐ด) = (๐ด / ;10) | ||
Theorem | rpdpcl 32336 | Closure of the decimal point in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ โ โข (๐ด.๐ต) โ โ+ | ||
Theorem | dplt 32337 | Comparing two decimal expansions (equal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ถ โ โ+ & โข ๐ต < ๐ถ โ โข (๐ด.๐ต) < (๐ด.๐ถ) | ||
Theorem | dplti 32338 | Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ต < ;10 & โข (๐ด + 1) = ๐ถ โ โข (๐ด.๐ต) < ๐ถ | ||
Theorem | dpgti 32339 | Comparing a decimal expansions with the next lower integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ โ โข ๐ด < (๐ด.๐ต) | ||
Theorem | dpltc 32340 | Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ+ & โข ๐ด < ๐ถ & โข ๐ต < ;10 โ โข (๐ด.๐ต) < (๐ถ.๐ท) | ||
Theorem | dpexpp1 32341 | Add one zero to the mantisse, and a one to the exponent in a scientific notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข (๐ + 1) = ๐ & โข ๐ โ โค & โข ๐ โ โค โ โข ((๐ด.๐ต) ยท (;10โ๐)) = ((0._๐ด๐ต) ยท (;10โ๐)) | ||
Theorem | 0dp2dp 32342 | Multiply by 10 a decimal expansion which starts with a zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ โ โข ((0._๐ด๐ต) ยท ;10) = (๐ด.๐ต) | ||
Theorem | dpadd2 32343 | Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ+ & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ+ & โข ๐ธ โ โ0 & โข ๐น โ โ+ & โข ๐บ โ โ0 & โข ๐ป โ โ0 & โข (๐บ + ๐ป) = ๐ผ & โข ((๐ด.๐ต) + (๐ถ.๐ท)) = (๐ธ.๐น) โ โข ((๐บ._๐ด๐ต) + (๐ป._๐ถ๐ท)) = (๐ผ._๐ธ๐น) | ||
Theorem | dpadd 32344 | Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ๐น โ โ0 & โข (;๐ด๐ต + ;๐ถ๐ท) = ;๐ธ๐น โ โข ((๐ด.๐ต) + (๐ถ.๐ท)) = (๐ธ.๐น) | ||
Theorem | dpadd3 32345 | Addition with two decimals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ๐บ โ โ0 & โข ๐น โ โ0 & โข ๐ป โ โ0 & โข ๐ผ โ โ0 & โข (;;๐ด๐ต๐ถ + ;;๐ท๐ธ๐น) = ;;๐บ๐ป๐ผ โ โข ((๐ด._๐ต๐ถ) + (๐ท._๐ธ๐น)) = (๐บ._๐ป๐ผ) | ||
Theorem | dpmul 32346 | Multiplication with one decimal point. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ๐บ โ โ0 & โข ๐ฝ โ โ0 & โข ๐พ โ โ0 & โข (๐ด ยท ๐ถ) = ๐น & โข (๐ด ยท ๐ท) = ๐ & โข (๐ต ยท ๐ถ) = ๐ฟ & โข (๐ต ยท ๐ท) = ;๐ธ๐พ & โข ((๐ฟ + ๐) + ๐ธ) = ;๐บ๐ฝ & โข (๐น + ๐บ) = ๐ผ โ โข ((๐ด.๐ต) ยท (๐ถ.๐ท)) = (๐ผ._๐ฝ๐พ) | ||
Theorem | dpmul4 32347 | An upper bound to multiplication of decimal numbers with 4 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ๐บ โ โ0 & โข ๐ฝ โ โ0 & โข ๐พ โ โ0 & โข ๐น โ โ0 & โข ๐ป โ โ0 & โข ๐ผ โ โ0 & โข ๐ฟ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ < ;10 & โข ๐ < ;10 & โข ๐ < ;10 & โข (;;๐ฟ๐๐ + ๐) = ;;;๐ ๐๐๐ & โข ((๐ด.๐ต) ยท (๐ธ.๐น)) = (๐ผ._๐ฝ๐พ) & โข ((๐ถ.๐ท) ยท (๐บ.๐ป)) = (๐._๐๐) & โข (;;;๐ผ๐ฝ๐พ1 + ;;๐ ๐๐) = ;;;๐๐๐๐ & โข (((๐ด.๐ต) + (๐ถ.๐ท)) ยท ((๐ธ.๐น) + (๐บ.๐ป))) = (((๐ผ._๐ฝ๐พ) + (๐ฟ._๐๐)) + (๐._๐๐)) โ โข ((๐ด._๐ต_๐ถ๐ท) ยท (๐ธ._๐น_๐บ๐ป)) < (๐._๐_๐๐) | ||
Theorem | threehalves 32348 | Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.) |
โข (3 / 2) = (1.5) | ||
Theorem | 1mhdrd 32349 | Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.) |
โข ((0._99) + (0._01)) = 1 | ||
Syntax | cxdiv 32350 | Extend class notation to include division of extended reals. |
class /๐ | ||
Definition | df-xdiv 32351* | Define division over extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) |
โข /๐ = (๐ฅ โ โ*, ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ (โฉ๐ง โ โ* (๐ฆ ยทe ๐ง) = ๐ฅ)) | ||
Theorem | xdivval 32352* | Value of division: the (unique) element ๐ฅ such that (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด. This is meaningful only when ๐ต is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด)) | ||
Theorem | xrecex 32353* | Existence of reciprocal of nonzero real number. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด ยทe ๐ฅ) = 1) | ||
Theorem | xmulcand 32354 | Cancellation law for extended multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ*) & โข (๐ โ ๐ต โ โ*) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ 0) โ โข (๐ โ ((๐ถ ยทe ๐ด) = (๐ถ ยทe ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) | ||
Theorem | xreceu 32355* | Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ โ!๐ฅ โ โ* (๐ต ยทe ๐ฅ) = ๐ด) | ||
Theorem | xdivcld 32356 | Closure law for the extended division. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ*) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ 0) โ โข (๐ โ (๐ด /๐ ๐ต) โ โ*) | ||
Theorem | xdivcl 32357 | Closure law for the extended division. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ต) โ โ*) | ||
Theorem | xdivmul 32358 | Relationship between division and multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด /๐ ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยทe ๐ต) = ๐ด)) | ||
Theorem | rexdiv 32359 | The extended real division operation when both arguments are real. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ต) = (๐ด / ๐ต)) | ||
Theorem | xdivrec 32360 | Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐ ๐ต))) | ||
Theorem | xdivid 32361 | A number divided by itself is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ (๐ด /๐ ๐ด) = 1) | ||
Theorem | xdiv0 32362 | Division into zero is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โ (0 /๐ ๐ด) = 0) | ||
Theorem | xdiv0rp 32363 | Division into zero is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข (๐ด โ โ+ โ (0 /๐ ๐ด) = 0) | ||
Theorem | eliccioo 32364 | Membership in a closed interval of extended reals versus the same open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข ((๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ถ โ (๐ด[,]๐ต) โ (๐ถ = ๐ด โจ ๐ถ โ (๐ด(,)๐ต) โจ ๐ถ = ๐ต))) | ||
Theorem | elxrge02 32365 | Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข (๐ด โ (0[,]+โ) โ (๐ด = 0 โจ ๐ด โ โ+ โจ ๐ด = +โ)) | ||
Theorem | xdivpnfrp 32366 | Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข (๐ด โ โ+ โ (+โ /๐ ๐ด) = +โ) | ||
Theorem | rpxdivcld 32367 | Closure law for extended division of positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ+) & โข (๐ โ ๐ต โ โ+) โ โข (๐ โ (๐ด /๐ ๐ต) โ โ+) | ||
Theorem | xrpxdivcld 32368 | Closure law for extended division of positive extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ (0[,]+โ)) & โข (๐ โ ๐ต โ โ+) โ โข (๐ โ (๐ด /๐ ๐ต) โ (0[,]+โ)) | ||
Theorem | wrdfd 32369 | A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit, deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.) |
โข (๐ โ ๐ = (โฏโ๐)) & โข (๐ โ ๐ โ Word ๐) โ โข (๐ โ ๐:(0..^๐)โถ๐) | ||
Theorem | wrdres 32370 | Condition for the restriction of a word to be a word itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ โ (0...(โฏโ๐))) โ (๐ โพ (0..^๐)) โ Word ๐) | ||
Theorem | wrdsplex 32371* | Existence of a split of a word at a given index. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ โ (0...(โฏโ๐))) โ โ๐ฃ โ Word ๐๐ = ((๐ โพ (0..^๐)) ++ ๐ฃ)) | ||
Theorem | pfx1s2 32372 | The prefix of length 1 of a length 2 word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (โจโ๐ด๐ตโโฉ prefix 1) = โจโ๐ดโโฉ) | ||
Theorem | pfxrn2 32373 | The range of a prefix of a word is a subset of the range of that word. Stronger version of pfxrn 14639. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ฟ โ (0...(โฏโ๐))) โ ran (๐ prefix ๐ฟ) โ ran ๐) | ||
Theorem | pfxrn3 32374 | Express the range of a prefix of a word. Stronger version of pfxrn2 32373. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ฟ โ (0...(โฏโ๐))) โ ran (๐ prefix ๐ฟ) = (๐ โ (0..^๐ฟ))) | ||
Theorem | pfxf1 32375 | Condition for a prefix to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.) |
โข (๐ โ ๐ โ Word ๐) & โข (๐ โ ๐:dom ๐โ1-1โ๐) & โข (๐ โ ๐ฟ โ (0...(โฏโ๐))) โ โข (๐ โ (๐ prefix ๐ฟ):dom (๐ prefix ๐ฟ)โ1-1โ๐) | ||
Theorem | s1f1 32376 | Conditions for a length 1 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.) |
โข (๐ โ ๐ผ โ ๐ท) โ โข (๐ โ โจโ๐ผโโฉ:dom โจโ๐ผโโฉโ1-1โ๐ท) | ||
Theorem | s2rn 32377 | Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) |
โข (๐ โ ๐ผ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ท) โ โข (๐ โ ran โจโ๐ผ๐ฝโโฉ = {๐ผ, ๐ฝ}) | ||
Theorem | s2f1 32378 | Conditions for a length 2 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) |
โข (๐ โ ๐ผ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐ฝ) โ โข (๐ โ โจโ๐ผ๐ฝโโฉ:dom โจโ๐ผ๐ฝโโฉโ1-1โ๐ท) | ||
Theorem | s3rn 32379 | Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) |
โข (๐ โ ๐ผ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐พ โ ๐ท) โ โข (๐ โ ran โจโ๐ผ๐ฝ๐พโโฉ = {๐ผ, ๐ฝ, ๐พ}) | ||
Theorem | s3f1 32380 | Conditions for a length 3 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) |
โข (๐ โ ๐ผ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐พ โ ๐ท) & โข (๐ โ ๐ผ โ ๐ฝ) & โข (๐ โ ๐ฝ โ ๐พ) & โข (๐ โ ๐พ โ ๐ผ) โ โข (๐ โ โจโ๐ผ๐ฝ๐พโโฉ:dom โจโ๐ผ๐ฝ๐พโโฉโ1-1โ๐ท) | ||
Theorem | s3clhash 32381 | Closure of the words of length 3 in a preimage using the hash function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2023.) |
โข โจโ๐ผ๐ฝ๐พโโฉ โ (โกโฏ โ {3}) | ||
Theorem | ccatf1 32382 | Conditions for a concatenation to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.) |
โข (๐ โ ๐ โ ๐) & โข (๐ โ ๐ด โ Word ๐) & โข (๐ โ ๐ต โ Word ๐) & โข (๐ โ ๐ด:dom ๐ดโ1-1โ๐) & โข (๐ โ ๐ต:dom ๐ตโ1-1โ๐) & โข (๐ โ (ran ๐ด โฉ ran ๐ต) = โ ) โ โข (๐ โ (๐ด ++ ๐ต):dom (๐ด ++ ๐ต)โ1-1โ๐) | ||
Theorem | pfxlsw2ccat 32383 | Reconstruct a word from its prefix and its last two symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.) |
โข ๐ = (โฏโ๐) โ โข ((๐ โ Word ๐ โง 2 โค ๐) โ ๐ = ((๐ prefix (๐ โ 2)) ++ โจโ(๐โ(๐ โ 2))(๐โ(๐ โ 1))โโฉ)) | ||
Theorem | wrdt2ind 32384* | Perform an induction over the structure of a word of even length. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.) |
โข (๐ฅ = โ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ ++ โจโ๐๐โโฉ) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข ((๐ฆ โ Word ๐ต โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ด โ Word ๐ต โง 2 โฅ (โฏโ๐ด)) โ ๐) | ||
Theorem | swrdrn2 32385 | The range of a subword is a subset of the range of that word. Stronger version of swrdrn 14606. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(โฏโ๐))) โ ran (๐ substr โจ๐, ๐โฉ) โ ran ๐) | ||
Theorem | swrdrn3 32386 | Express the range of a subword. Stronger version of swrdrn2 32385. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ โ (0...๐) โง ๐ โ (0...(โฏโ๐))) โ ran (๐ substr โจ๐, ๐โฉ) = (๐ โ (๐..^๐))) | ||
Theorem | swrdf1 32387 | Condition for a subword to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2023.) |
โข (๐ โ ๐ โ Word ๐ท) & โข (๐ โ ๐ โ (0...๐)) & โข (๐ โ ๐ โ (0...(โฏโ๐))) & โข (๐ โ ๐:dom ๐โ1-1โ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ substr โจ๐, ๐โฉ):dom (๐ substr โจ๐, ๐โฉ)โ1-1โ๐ท) | ||
Theorem | swrdrndisj 32388 | Condition for the range of two subwords of an injective word to be disjoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2023.) |
โข (๐ โ ๐ โ Word ๐ท) & โข (๐ โ ๐ โ (0...๐)) & โข (๐ โ ๐ โ (0...(โฏโ๐))) & โข (๐ โ ๐:dom ๐โ1-1โ๐ท) & โข (๐ โ ๐ โ (๐...๐)) & โข (๐ โ ๐ โ (๐...(โฏโ๐))) โ โข (๐ โ (ran (๐ substr โจ๐, ๐โฉ) โฉ ran (๐ substr โจ๐, ๐โฉ)) = โ ) | ||
Theorem | splfv3 32389 | Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.) |
โข (๐ โ ๐ โ Word ๐ด) & โข (๐ โ ๐น โ (0...๐)) & โข (๐ โ ๐ โ (0...(โฏโ๐))) & โข (๐ โ ๐ โ Word ๐ด) & โข (๐ โ ๐ โ (0..^((โฏโ๐) โ ๐))) & โข (๐ โ ๐พ = (๐น + (โฏโ๐ ))) โ โข (๐ โ ((๐ splice โจ๐น, ๐, ๐ โฉ)โ(๐ + ๐พ)) = (๐โ(๐ + ๐))) | ||
Theorem | 1cshid 32390 | Cyclically shifting a single letter word keeps it unchanged. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Nov-2023.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ โ โค โง (โฏโ๐) = 1) โ (๐ cyclShift ๐) = ๐) | ||
Theorem | cshw1s2 32391 | Cyclically shifting a length 2 word swaps its symbols. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) |
โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (โจโ๐ด๐ตโโฉ cyclShift 1) = โจโ๐ต๐ดโโฉ) | ||
Theorem | cshwrnid 32392 | Cyclically shifting a word preserves its range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) |
โข ((๐ โ Word ๐ โง ๐ โ โค) โ ran (๐ cyclShift ๐) = ran ๐) | ||
Theorem | cshf1o 32393 | Condition for the cyclic shift to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2023.) |
โข ((๐ โ Word ๐ท โง ๐:dom ๐โ1-1โ๐ท โง ๐ โ โค) โ (๐ cyclShift ๐):dom ๐โ1-1-ontoโran ๐) | ||
Theorem | ressplusf 32394 | The group operation function +๐ of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐บ) & โข ๐ป = (๐บ โพs ๐ด) & โข โจฃ = (+gโ๐บ) & โข โจฃ Fn (๐ต ร ๐ต) & โข ๐ด โ ๐ต โ โข (+๐โ๐ป) = ( โจฃ โพ (๐ด ร ๐ด)) | ||
Theorem | ressnm 32395 | The norm in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.) |
โข ๐ป = (๐บ โพs ๐ด) & โข ๐ต = (Baseโ๐บ) & โข 0 = (0gโ๐บ) & โข ๐ = (normโ๐บ) โ โข ((๐บ โ Mnd โง 0 โ ๐ด โง ๐ด โ ๐ต) โ (๐ โพ ๐ด) = (normโ๐ป)) | ||
Theorem | abvpropd2 32396 | Weaker version of abvpropd 20593. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) |
โข (๐ โ (Baseโ๐พ) = (Baseโ๐ฟ)) & โข (๐ โ (+gโ๐พ) = (+gโ๐ฟ)) & โข (๐ โ (.rโ๐พ) = (.rโ๐ฟ)) โ โข (๐ โ (AbsValโ๐พ) = (AbsValโ๐ฟ)) | ||
Theorem | oppgle 32397 | less-than relation of an opposite group. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.) |
โข ๐ = (oppgโ๐ ) & โข โค = (leโ๐ ) โ โข โค = (leโ๐) | ||
Theorem | oppgleOLD 32398 | Obsolete version of oppgle 32397 as of 27-Oct-2024. less-than relation of an opposite group. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข ๐ = (oppgโ๐ ) & โข โค = (leโ๐ ) โ โข โค = (leโ๐) | ||
Theorem | oppglt 32399 | less-than relation of an opposite group. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.) |
โข ๐ = (oppgโ๐ ) & โข < = (ltโ๐ ) โ โข (๐ โ ๐ โ < = (ltโ๐)) | ||
Theorem | ressprs 32400 | The restriction of a proset is a proset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.) |
โข ๐ต = (Baseโ๐พ) โ โข ((๐พ โ Proset โง ๐ด โ ๐ต) โ (๐พ โพs ๐ด) โ Proset ) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |