Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brabga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brabga 5424
 Description: The law of concretion for a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
opelopabga.1 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝜑𝜓))
brabga.2 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
Assertion
Ref Expression
brabga ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝑅𝐵𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem brabga
StepHypRef Expression
1 df-br 5070 . . 3 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2 brabga.2 . . . 4 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
32eleq2i 2907 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
41, 3bitri 277 . 2 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
5 opelopabga.1 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝜑𝜓))
65opelopabga 5423 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜓))
74, 6syl5bb 285 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝑅𝐵𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4576   class class class wbr 5069  {copab 5131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-rab 3150  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-br 5070  df-opab 5132 This theorem is referenced by:  braba  5427  brabg  5429  epelg  5469  epelgOLD  5470  brcog  5740  fmptco  6894  ofrfval  7420  isfsupp  8840  wemaplem1  9013  oemapval  9149  wemapwe  9163  fpwwe2lem2  10057  fpwwelem  10070  clim  14854  rlim  14855  vdwmc  16317  isstruct2  16496  brssc  17087  isfunc  17137  isfull  17183  isfth  17187  ipole  17771  eqgval  18332  frgpuplem  18901  dvdsr  19399  islindf  20959  ulmval  24971  hpgbr  26549  isausgr  26952  issubgr  27056  isrgr  27344  isrusgr  27346  istrlson  27491  upgrwlkdvspth  27523  ispthson  27526  isspthson  27527  erclwwlkeq  27799  erclwwlkneq  27849  hlimi  28968  isinftm  30814  brfldext  31041  brfinext  31047  metidv  31136  ismntoplly  31270  brae  31504  braew  31505  brfae  31511  satfbrsuc  32617  prv  32679  bj-epelg  34364  bj-ideqgALT  34454  bj-idreseq  34458  bj-idreseqb  34459  bj-ideqg1ALT  34461  brcoss  35680  brcoels  35684  brdmqss  35885  climf  41909  climf2  41953  nelbr  43480  isomgr  43995  iscllaw  44103  iscomlaw  44104  isasslaw  44106  islininds  44508  lindepsnlininds  44514
 Copyright terms: Public domain W3C validator