![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > isrnghm2d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Demonstration of non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
isrnghmd.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
isrnghmd.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
isrnghmd.u | โข ร = (.rโ๐) |
isrnghmd.r | โข (๐ โ ๐ โ Rng) |
isrnghmd.s | โข (๐ โ ๐ โ Rng) |
isrnghmd.ht | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))) |
isrnghm2d.f | โข (๐ โ ๐น โ (๐ GrpHom ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
isrnghm2d | โข (๐ โ ๐น โ (๐ RngHomo ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isrnghmd.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Rng) | |
2 | isrnghmd.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Rng) | |
3 | 1, 2 | jca 513 | . 2 โข (๐ โ (๐ โ Rng โง ๐ โ Rng)) |
4 | isrnghm2d.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ (๐ GrpHom ๐)) | |
5 | isrnghmd.ht | . . . 4 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))) | |
6 | 5 | ralrimivva 3194 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))) |
7 | 4, 6 | jca 513 | . 2 โข (๐ โ (๐น โ (๐ GrpHom ๐) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ)))) |
8 | isrnghmd.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
9 | isrnghmd.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
10 | isrnghmd.u | . . 3 โข ร = (.rโ๐) | |
11 | 8, 9, 10 | isrnghm 46276 | . 2 โข (๐น โ (๐ RngHomo ๐) โ ((๐ โ Rng โง ๐ โ Rng) โง (๐น โ (๐ GrpHom ๐) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))))) |
12 | 3, 7, 11 | sylanbrc 584 | 1 โข (๐ โ ๐น โ (๐ RngHomo ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3061 โcfv 6497 (class class class)co 7358 Basecbs 17088 .rcmulr 17139 GrpHom cghm 19010 Rngcrng 46258 RngHomo crngh 46269 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-map 8770 df-ghm 19011 df-abl 19570 df-rng 46259 df-rnghomo 46271 |
This theorem is referenced by: isrnghmd 46286 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |