Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrnghm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrnghm2d 46285
Description: Demonstration of non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghmd.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isrnghmd.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
isrnghmd.u ร— = (.rโ€˜๐‘†)
isrnghmd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
isrnghmd.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Rng)
isrnghmd.ht ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
isrnghm2d.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
isrnghm2d (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isrnghm2d
StepHypRef Expression
1 isrnghmd.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
2 isrnghmd.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Rng)
31, 2jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng))
4 isrnghm2d.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
5 isrnghmd.ht . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
65ralrimivva 3194 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
74, 6jca 513 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
8 isrnghmd.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
9 isrnghmd.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
10 isrnghmd.u . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘†)
118, 9, 10isrnghm 46276 . 2 (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†” ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
123, 7, 11sylanbrc 584 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139   GrpHom cghm 19010  Rngcrng 46258   RngHomo crngh 46269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-ghm 19011  df-abl 19570  df-rng 46259  df-rnghomo 46271
This theorem is referenced by:  isrnghmd  46286
  Copyright terms: Public domain W3C validator