Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmmul 46272
Description: A homomorphism of non-unital rings preserves multiplication. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmmul.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐‘…)
rnghmmul.m ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rnghmmul.n ร— = (.rโ€˜๐‘†)
Assertion
Ref Expression
rnghmmul ((๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem rnghmmul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnghmmul.x . . . 4 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 rnghmmul.m . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
3 rnghmmul.n . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘†)
41, 2, 3isrnghm 46264 . . 3 (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†” ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))))
5 fvoveq1 7385 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐‘ฆ)))
6 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐ด))
76oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
85, 7eqeq12d 2753 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
9 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) = (๐ด ยท ๐ต))
109fveq2d 6851 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐‘ฆ)) = (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))
11 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐ต))
1211oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต)))
1310, 12eqeq12d 2753 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐นโ€˜(๐ด ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต))))
148, 13rspc2va 3594 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ))) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต)))
1514expcom 415 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต))))
1615ad2antll 728 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘† โˆˆ Rng) โˆง (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต))))
174, 16sylbi 216 . 2 (๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โ†’ ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต))))
18173impib 1117 1 ((๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†) โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐นโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) = ((๐นโ€˜๐ด) ร— (๐นโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  .rcmulr 17141   GrpHom cghm 19012  Rngcrng 46246   RngHomo crngh 46257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-ghm 19013  df-abl 19572  df-rng 46247  df-rnghomo 46259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator