Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isrnghmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrnghmd 46274
Description: Demonstration of non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrnghmd.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isrnghmd.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
isrnghmd.u ร— = (.rโ€˜๐‘†)
isrnghmd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
isrnghmd.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Rng)
isrnghmd.ht ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
isrnghmd.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
isrnghmd.p + = (+gโ€˜๐‘…)
isrnghmd.q โจฃ = (+gโ€˜๐‘†)
isrnghmd.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
isrnghmd.hp ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โจฃ (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
Assertion
Ref Expression
isrnghmd (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, + ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, โจฃ ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isrnghmd
StepHypRef Expression
1 isrnghmd.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 isrnghmd.t . 2 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
3 isrnghmd.u . 2 ร— = (.rโ€˜๐‘†)
4 isrnghmd.r . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
5 isrnghmd.s . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Rng)
6 isrnghmd.ht . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
7 isrnghmd.c . . 3 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
8 isrnghmd.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
9 isrnghmd.q . . 3 โจฃ = (+gโ€˜๐‘†)
10 rngabl 46249 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
11 ablgrp 19574 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Abel โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
124, 10, 113syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
13 rngabl 46249 . . . 4 (๐‘† โˆˆ Rng โ†’ ๐‘† โˆˆ Abel)
14 ablgrp 19574 . . . 4 (๐‘† โˆˆ Abel โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
155, 13, 143syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
16 isrnghmd.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
17 isrnghmd.hp . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โจฃ (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
181, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 17isghmd 19024 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 18isrnghm2d 46273 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RngHomo ๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Grpcgrp 18755  Abelcabl 19570  Rngcrng 46246   RngHomo crngh 46257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-ghm 19013  df-abl 19572  df-rng 46247  df-rnghomo 46259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator