![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > isrnghmd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Demonstration of non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
isrnghmd.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
isrnghmd.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
isrnghmd.u | โข ร = (.rโ๐) |
isrnghmd.r | โข (๐ โ ๐ โ Rng) |
isrnghmd.s | โข (๐ โ ๐ โ Rng) |
isrnghmd.ht | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))) |
isrnghmd.c | โข ๐ถ = (Baseโ๐) |
isrnghmd.p | โข + = (+gโ๐ ) |
isrnghmd.q | โข โจฃ = (+gโ๐) |
isrnghmd.f | โข (๐ โ ๐น:๐ตโถ๐ถ) |
isrnghmd.hp | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ + ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) โจฃ (๐นโ๐ฆ))) |
Ref | Expression |
---|---|
isrnghmd | โข (๐ โ ๐น โ (๐ RngHomo ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isrnghmd.b | . 2 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
2 | isrnghmd.t | . 2 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
3 | isrnghmd.u | . 2 โข ร = (.rโ๐) | |
4 | isrnghmd.r | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Rng) | |
5 | isrnghmd.s | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Rng) | |
6 | isrnghmd.ht | . 2 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))) | |
7 | isrnghmd.c | . . 3 โข ๐ถ = (Baseโ๐) | |
8 | isrnghmd.p | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
9 | isrnghmd.q | . . 3 โข โจฃ = (+gโ๐) | |
10 | rngabl 46249 | . . . 4 โข (๐ โ Rng โ ๐ โ Abel) | |
11 | ablgrp 19574 | . . . 4 โข (๐ โ Abel โ ๐ โ Grp) | |
12 | 4, 10, 11 | 3syl 18 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
13 | rngabl 46249 | . . . 4 โข (๐ โ Rng โ ๐ โ Abel) | |
14 | ablgrp 19574 | . . . 4 โข (๐ โ Abel โ ๐ โ Grp) | |
15 | 5, 13, 14 | 3syl 18 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
16 | isrnghmd.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น:๐ตโถ๐ถ) | |
17 | isrnghmd.hp | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ + ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) โจฃ (๐นโ๐ฆ))) | |
18 | 1, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 17 | isghmd 19024 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ (๐ GrpHom ๐)) |
19 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 18 | isrnghm2d 46273 | 1 โข (๐ โ ๐น โ (๐ RngHomo ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โถwf 6497 โcfv 6501 (class class class)co 7362 Basecbs 17090 +gcplusg 17140 .rcmulr 17141 Grpcgrp 18755 Abelcabl 19570 Rngcrng 46246 RngHomo crngh 46257 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-id 5536 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-map 8774 df-ghm 19013 df-abl 19572 df-rng 46247 df-rnghomo 46259 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |