Theorem ablgrp 18914

Description: An Abelian group is a group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ablgrp	⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ablgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 18913	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Grpcgrp 18106  CMndccmn 18909  Abelcabl 18910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-v 3499  df-in 3946  df-abl 18912

This theorem is referenced by:  ablgrpd  18915  ablinvadd  18933  ablsub2inv  18934  ablsubadd  18935  ablsub4  18936  abladdsub4  18937  abladdsub  18938  ablpncan2  18939  ablpncan3  18940  ablsubsub  18941  ablsubsub4  18942  ablpnpcan  18943  ablnncan  18944  ablnnncan  18946  ablnnncan1  18947  ablsubsub23  18948  mulgdi  18950  mulgghm  18952  mulgsubdi  18953  ghmabl  18956  invghm  18957  eqgabl  18958  odadd1  18971  odadd2  18972  odadd  18973  gexexlem  18975  gexex  18976  torsubg  18977  oddvdssubg  18978  prdsabld  18985  cnaddinv  18994  cyggexb  19022  gsumsub  19071  telgsumfzslem  19111  telgsumfzs  19112  telgsums  19116  ablfacrp  19191  ablfac1lem  19193  ablfac1b  19195  ablfac1c  19196  ablfac1eulem  19197  ablfac1eu  19198  pgpfac1lem1  19199  pgpfac1lem2  19200  pgpfac1lem3a  19201  pgpfac1lem3  19202  pgpfac1lem4  19203  pgpfac1lem5  19204  pgpfac1  19205  pgpfaclem3  19208  pgpfac  19209  ablfaclem2  19211  ablfaclem3  19212  ablfac  19213  cnmsubglem  20611  zlmlmod  20673  frgpcyg  20723  efsubm  25138  dchrghm  25835  dchr1  25836  dchrinv  25840  dchr1re  25842  dchrpt  25846  dchrsum2  25847  sumdchr2  25849  dchrhash  25850  dchr2sum  25852  rpvmasumlem  26066  rpvmasum2  26091  dchrisum0re  26092  fedgmullem2  31030  dvalveclem  38165  isnumbasgrplem1  39707  isnumbasabl  39712  isnumbasgrp  39713  dfacbasgrp  39714  isringrng  44159  rnglz  44162  isrnghm  44170  isrnghmd  44180  idrnghm  44186  c0rnghm  44191  zrrnghm  44195