Theorem isghmd 19286

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
isghmd.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
isghmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
isghmd.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isghmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
2		isghmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
3		isghmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		isghmd.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6	3, 5	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
7		isghmd.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
8		isghmd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
9		isghmd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
10		isghmd.b	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	isghm 19277	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))))
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Grpcgrp 18990   GrpHom cghm 19274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814  df-ghm 19275

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  19288  resghm  19293  conjghm  19310  qusghm  19316  ghmqusnsg  19343  ghmquskerlem3  19347  invoppggim  19421  galactghm  19465  pj1ghm  19764  frgpup1  19836  mulgghm  19889  ghmfghm  19891  invghm  19894  ghmplusg  19907  ringlghm  20386  ringrghm  20387  isrnghmd  20524  isrhmd  20561  lmodvsghm  21013  pwssplit2  21150  rngqiprngghm  21401  cygznlem3  21679  psgnghm  21690  frlmup1  21908  asclghm  21992  evlslem1  22193  mplmapghm  22233  mat1ghm  22601  scmatghm  22651  mat2pmatghm  22848  pm2mpghm  22934  reefgim  26571  lmodvslmhm  33283  imasghm  33590  qqhghm  34295  aks6d1c6isolem2  42804  frlmsnic  43170  imasgim  43689  amgmlemALT  50432