MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isghmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isghmd 17877
Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isghmd.x 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a + = (+g𝑆)
isghmd.b = (+g𝑇)
isghmd.s (𝜑𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t (𝜑𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
isghmd.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isghmd (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd
StepHypRef Expression
1 isghmd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
2 isghmd.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
31, 2jca 495 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
4 isghmd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
5 isghmd.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
65ralrimivva 3120 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
74, 6jca 495 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
8 isghmd.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑆)
9 isghmd.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑇)
10 isghmd.a . . 3 + = (+g𝑆)
11 isghmd.b . . 3 = (+g𝑇)
128, 9, 10, 11isghm 17868 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
133, 7, 12sylanbrc 564 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Grpcgrp 17630   GrpHom cghm 17865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-ghm 17866
This theorem is referenced by:  ghmmhmb  17879  resghm  17884  conjghm  17899  qusghm  17905  invoppggim  17997  galactghm  18030  pj1ghm  18323  frgpup1  18395  mulgghm  18441  ghmfghm  18443  invghm  18446  ghmplusg  18456  ringlghm  18812  ringrghm  18813  isrhmd  18939  lmodvsghm  19134  pwssplit2  19273  asclghm  19553  evlslem1  19730  cygznlem3  20133  psgnghm  20141  frlmup1  20354  mat1ghm  20507  scmatghm  20557  mat2pmatghm  20755  pm2mpghm  20841  reefgim  24424  qqhghm  30372  imasgim  38196  isrnghmd  42430  amgmlemALT  43080
  Copyright terms: Public domain W3C validator