Theorem isghmd 19095

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
isghmd.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
isghmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
isghmd.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isghmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
2		isghmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
3		isghmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		isghmd.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 3201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6	3, 5	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
7		isghmd.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
8		isghmd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
9		isghmd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
10		isghmd.b	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	isghm 19086	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))))
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Grpcgrp 18815   GrpHom cghm 19083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-ghm 19084

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  19097  resghm  19102  conjghm  19117  qusghm  19123  invoppggim  19220  galactghm  19265  pj1ghm  19564  frgpup1  19636  mulgghm  19688  ghmfghm  19690  invghm  19693  ghmplusg  19706  ringlghm  20114  ringrghm  20115  isrhmd  20255  lmodvsghm  20521  pwssplit2  20659  cygznlem3  21109  psgnghm  21117  frlmup1  21337  asclghm  21419  evlslem1  21627  mat1ghm  21967  scmatghm  22017  mat2pmatghm  22214  pm2mpghm  22300  reefgim  25944  lmodvslmhm  32180  ghmqusker  32494  qqhghm  32906  frlmsnic  41060  mplmapghm  41078  imasgim  41775  isrnghmd  46634  rngqiprngghm  46713  amgmlemALT  47752