Theorem isghmd 19419

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
isghmd.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
isghmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
isghmd.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isghmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
2		isghmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
3		isghmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		isghmd.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6	3, 5	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
7		isghmd.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
8		isghmd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
9		isghmd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
10		isghmd.b	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	isghm 19410	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))))
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Grpcgrp 19124   GrpHom cghm 19407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8833  df-ghm 19408

This theorem is used by:  ghmmhmb  19421  resghm  19426  conjghm  19443  qusghm  19449  ghmqusnsg  19476  ghmquskerlem3  19480  invoppggim  19554  galactghm  19598  pj1ghm  19897  frgpup1  19969  mulgghm  20022  ghmfghm  20024  invghm  20027  ghmplusg  20040  ringlghm  20523  ringrghm  20524  isrnghmd  20661  isrhmd  20702  lmodvsghm  21178  pwssplit2  21315  rngqiprngghm  21575  cygznlem3  21855  psgnghm  21866  frlmup1  22084  asclghm  22170  evlslem1  22371  mplmapghm  22411  mat1ghm  22778  scmatghm  22828  mat2pmatghm  23028  pm2mpghm  23114  reefgim  26759  lmodvslmhm  33593  imasghm  33898  qqhghm  34602  aks6d1c6isolem2  43193  frlmsnic  43566  imasgim  44060  amgmlemALT  50932