MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnghmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmf1o 20469
Description: A non-unital ring homomorphism is bijective iff its converse is also a non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnghmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rnghmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)))

Proof of Theorem rnghmf1o
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 20455 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng))
21ancomd 461 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
32adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
4 simpr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
5 rnghmghm 20464 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7 rnghmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 rnghmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
97, 8ghmf1o 19279 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
109bicomd 223 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
116, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
124, 11mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
13 eqidd 2736 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
14 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1514, 7mgpbas 20158 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1817, 8mgpbas 20158 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2013, 16, 19f1oeq123d 6843 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2120biimpa 476 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2214, 17rnghmmgmhm 20460 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
24 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2624, 25mgmhmf1o 18726 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
2726bicomd 223 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2823, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2921, 28mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))
3012, 29jca 511 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
3117, 14isrnghmmul 20459 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))))
323, 30, 31sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅))
337, 8rnghmf 20465 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3433adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
3534ffnd 6738 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
368, 7rnghmf 20465 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3736adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
3837ffnd 6738 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
39 dff1o4 6857 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4035, 38, 39sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4132, 40impbida 801 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  ccnv 5688   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   MgmHom cmgmhm 18716   GrpHom cghm 19243  mulGrpcmgp 20152  Rngcrng 20170   RngHom crnghm 20451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mgm 18666  df-mgmhm 18718  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-rnghm 20453
This theorem is referenced by:  isrngim2  20470
  Copyright terms: Public domain W3C validator