Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmf1o 42572
Description: A non-unital ring homomorphism is bijective iff its converse is also a non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnghmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rnghmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)))

Proof of Theorem rnghmf1o
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 42558 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng))
21ancomd 453 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
32adantr 472 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
4 simpr 477 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
5 rnghmghm 42567 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
65adantr 472 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7 rnghmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 rnghmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
97, 8ghmf1o 17954 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
109bicomd 214 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
116, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
124, 11mpbird 248 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
13 eqidd 2766 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
14 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1514, 7mgpbas 18762 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1817, 8mgpbas 18762 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2013, 16, 19f1oeq123d 6316 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2120biimpa 468 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2214, 17rnghmmgmhm 42563 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
2322adantr 472 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
24 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2624, 25mgmhmf1o 42456 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
2726bicomd 214 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2823, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2921, 28mpbird 248 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))
3012, 29jca 507 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
3117, 14isrnghmmul 42562 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))))
323, 30, 31sylanbrc 578 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅))
337, 8rnghmf 42568 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3433adantr 472 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
3534ffnd 6224 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
368, 7rnghmf 42568 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3736adantl 473 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
3837ffnd 6224 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
39 dff1o4 6328 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4035, 38, 39sylanbrc 578 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4132, 40impbida 835 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  ccnv 5276   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130   GrpHom cghm 17921  mulGrpcmgp 18756   MgmHom cmgmhm 42446  Rngcrng 42543   RngHomo crngh 42554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-plusg 16227  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-ghm 17922  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-mgmhm 42448  df-rng0 42544  df-rnghomo 42556
This theorem is referenced by:  isrngim  42573
  Copyright terms: Public domain W3C validator