MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnghmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmf1o 20452
Description: A non-unital ring homomorphism is bijective iff its converse is also a non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnghmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rnghmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)))

Proof of Theorem rnghmf1o
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 20438 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng))
21ancomd 461 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
32adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
4 simpr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
5 rnghmghm 20447 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7 rnghmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 rnghmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
97, 8ghmf1o 19266 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
109bicomd 223 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
116, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
124, 11mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
13 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
14 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1514, 7mgpbas 20142 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1817, 8mgpbas 20142 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2013, 16, 19f1oeq123d 6842 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2120biimpa 476 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2214, 17rnghmmgmhm 20443 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2624, 25mgmhmf1o 18713 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
2726bicomd 223 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2823, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2921, 28mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))
3012, 29jca 511 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
3117, 14isrnghmmul 20442 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))))
323, 30, 31sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅))
337, 8rnghmf 20448 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3433adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
3534ffnd 6737 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
368, 7rnghmf 20448 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3736adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
3837ffnd 6737 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
39 dff1o4 6856 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4035, 38, 39sylanbrc 583 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4132, 40impbida 801 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHom 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ccnv 5684   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   MgmHom cmgmhm 18703   GrpHom cghm 19230  mulGrpcmgp 20137  Rngcrng 20149   RngHom crnghm 20434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mgm 18653  df-mgmhm 18705  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-rnghm 20436
This theorem is referenced by:  isrngim2  20453
  Copyright terms: Public domain W3C validator