Theorem isbasisrelowl 37324

Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowl	⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ico 13413	. . . . 5 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
3	2	ixxex 13418	. . . 4 ⊢ [,) ∈ V
4		imaexg 7953	. . . 4 ⊢ ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2840	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ V
7	1	icoreclin 37323	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)
8	7	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼
9		fiinbas 22980	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
10	6, 8, 9	mp2an 691	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   × cxp 5698   “ cima 5703  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  TopBasesctb 22973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13413  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  istoprelowl  37326