Theorem isbasisrelowl 37353

Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowl	⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ico 13319	. . . . 5 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
3	2	ixxex 13324	. . . 4 ⊢ [,) ∈ V
4		imaexg 7892	. . . 4 ⊢ ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2825	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ V
7	1	icoreclin 37352	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)
8	7	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼
9		fiinbas 22846	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
10	6, 8, 9	mp2an 692	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   × cxp 5639   “ cima 5644  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  TopBasesctb 22839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ico 13319  df-bases 22840

This theorem is referenced by:  istoprelowl  37355