Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbasisrelowl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbasisrelowl 37359
Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowl 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbasisrelowl.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2 df-ico 13393 . . . . 5 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
32ixxex 13398 . . . 4 [,) ∈ V
4 imaexg 7935 . . . 4 ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
53, 4ax-mp 5 . . 3 ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
61, 5eqeltri 2837 . 2 𝐼 ∈ V
71icoreclin 37358 . . 3 ((𝑥𝐼𝑦𝐼) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐼)
87rgen2 3199 . 2 𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥𝑦) ∈ 𝐼
9 fiinbas 22959 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
106, 8, 9mp2an 692 1 𝐼 ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cin 3950   × cxp 5683  cima 5688  cr 11154   < clt 11295  cle 11296  [,)cico 13389  TopBasesctb 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  istoprelowl  37361
  Copyright terms: Public domain W3C validator