Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbasisrelowl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbasisrelowl 34689
Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowl 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbasisrelowl.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2 df-ico 12739 . . . . 5 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
32ixxex 12744 . . . 4 [,) ∈ V
4 imaexg 7612 . . . 4 ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
53, 4ax-mp 5 . . 3 ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
61, 5eqeltri 2912 . 2 𝐼 ∈ V
71icoreclin 34688 . . 3 ((𝑥𝐼𝑦𝐼) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐼)
87rgen2 3198 . 2 𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥𝑦) ∈ 𝐼
9 fiinbas 21555 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
106, 8, 9mp2an 691 1 𝐼 ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  Vcvv 3480  cin 3918   × cxp 5541  cima 5546  cr 10530   < clt 10669  cle 10670  [,)cico 12735  TopBasesctb 21548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12739  df-bases 21549
This theorem is referenced by:  istoprelowl  34691
  Copyright terms: Public domain W3C validator