Theorem isbasisrelowl 35456

Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowl	⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ico 13014	. . . . 5 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
3	2	ixxex 13019	. . . 4 ⊢ [,) ∈ V
4		imaexg 7736	. . . 4 ⊢ ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2835	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ V
7	1	icoreclin 35455	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)
8	7	rgen2 3126	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼
9		fiinbas 22010	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
10	6, 8, 9	mp2an 688	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   × cxp 5578   “ cima 5583  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941  [,)cico 13010  TopBasesctb 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ico 13014  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  istoprelowl  35458