Theorem isbasisrelowl 38249

Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowl	⊢ 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2		df-ico 13463	. . . . 5 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
3	2	ixxex 13468	. . . 4 ⊢ [,) ∈ V
4		imaexg 7914	. . . 4 ⊢ ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2857	. 2 ⊢ 𝐼 ∈ V
7	1	icoreclin 38248	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)
8	7	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼
9		fiinbas 23250	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
10	6, 8, 9	mp2an 705	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopBases

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   × cxp 5649   “ cima 5654  ℝcr 11180   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13459  TopBasesctb 23243

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13463  df-bases 23244

This theorem is used by:  istoprelowl  38251