Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbasisrelowl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbasisrelowl 37341
Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowl 𝐼 ∈ TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbasisrelowl.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
2 df-ico 13390 . . . . 5 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
32ixxex 13395 . . . 4 [,) ∈ V
4 imaexg 7936 . . . 4 ([,) ∈ V → ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V)
53, 4ax-mp 5 . . 3 ([,) “ (ℝ × ℝ)) ∈ V
61, 5eqeltri 2835 . 2 𝐼 ∈ V
71icoreclin 37340 . . 3 ((𝑥𝐼𝑦𝐼) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐼)
87rgen2 3197 . 2 𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥𝑦) ∈ 𝐼
9 fiinbas 22975 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐼𝑦𝐼 (𝑥𝑦) ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ TopBases)
106, 8, 9mp2an 692 1 𝐼 ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cin 3962   × cxp 5687  cima 5692  cr 11152   < clt 11293  cle 11294  [,)cico 13386  TopBasesctb 22968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ico 13390  df-bases 22969
This theorem is referenced by:  istoprelowl  37343
  Copyright terms: Public domain W3C validator