Theorem joincl 18409

Description: Closure of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joincl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
joincl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
joincl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
joincl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
joincl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
joincl.e	⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )

Assertion

Ref	Expression
joincl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem joincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		joincl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		joincl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
4		joincl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		joincl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	joinval 18408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7		joincl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		joincl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
9	1, 2, 3, 4, 5	joindef 18407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾)))
10	8, 9	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾))
11	7, 1, 3, 10	lubcl 18388	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {cpr 4585  ⟨cop 4589  dom cdm 5648  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  lubclub 18342  joincjn 18344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-lub 18377  df-join 18379

This theorem is referenced by:  joinle  18417  latlem  18470