MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joincl 18193
Description: Closure of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joincl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
joincl.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
joincl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
joincl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
joincl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
joincl.e (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
Assertion
Ref Expression
joincl (πœ‘ β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem joincl
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (lubβ€˜πΎ) = (lubβ€˜πΎ)
2 joincl.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 joincl.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
4 joincl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 joincl.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5joinval 18192 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
7 joincl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 joincl.e . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
91, 2, 3, 4, 5joindef 18191 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ↔ {𝑋, π‘Œ} ∈ dom (lubβ€˜πΎ)))
108, 9mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑋, π‘Œ} ∈ dom (lubβ€˜πΎ))
117, 1, 3, 10lubcl 18172 . 2 (πœ‘ β†’ ((lubβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ 𝐡)
126, 11eqeltrd 2837 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cpr 4575  βŸ¨cop 4579  dom cdm 5620  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lubclub 18124  joincjn 18126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-lub 18161  df-join 18163
This theorem is referenced by:  joinle  18201  latlem  18252
  Copyright terms: Public domain W3C validator