Theorem joincl 18337

Description: Closure of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joincl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
joincl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
joincl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
joincl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
joincl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
joincl.e	⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )

Assertion

Ref	Expression
joincl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem joincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		joincl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		joincl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
4		joincl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		joincl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	joinval 18336	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7		joincl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		joincl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
9	1, 2, 3, 4, 5	joindef 18335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾)))
10	8, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾))
11	7, 1, 3, 10	lubcl 18316	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ⟨cop 4574  dom cdm 5626  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  lubclub 18270  joincjn 18272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-lub 18305  df-join 18307

This theorem is referenced by:  joinle  18345  latlem  18398