MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joincl 17604
Description: Closure of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joincl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
joincl.j = (join‘𝐾)
joincl.k (𝜑𝐾𝑉)
joincl.x (𝜑𝑋𝐵)
joincl.y (𝜑𝑌𝐵)
joincl.e (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
Assertion
Ref Expression
joincl (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem joincl
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2 joincl.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 joincl.k . . 3 (𝜑𝐾𝑉)
4 joincl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 joincl.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5joinval 17603 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7 joincl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 joincl.e . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
91, 2, 3, 4, 5joindef 17602 . . . 4 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾)))
108, 9mpbid 233 . . 3 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾))
117, 1, 3, 10lubcl 17583 . 2 (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝐵)
126, 11eqeltrd 2910 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  {cpr 4559  cop 4563  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lubclub 17540  joincjn 17542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-lub 17572  df-join 17574
This theorem is referenced by:  joinle  17612  latlem  17647
  Copyright terms: Public domain W3C validator