Theorem joindmss 18552

Description: Subset property of domain of join. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joindmss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
joindmss.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
joindmss.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
joindmss	⊢ (𝜑 → dom ∨ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem joindmss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabv 5798	. . 3 ⊢ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)}
2		joindmss.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
4		joindmss.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	3, 4	joindm 18548	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → dom ∨ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)})
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ∨ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)})
7	6	releqd 5754	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Rel dom ∨ ↔ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)}))
8	1, 7	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel dom ∨ )
9		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ V)
11		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
13	3, 4, 2, 10, 12	joindef 18549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)))
14		joindmss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
18	14, 15, 3, 16, 17	lubelss 18527	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
19	18	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
20	9, 11	prss 4780	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
21		opelxpi 5687	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
22	20, 21	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
23	19, 22	syl6 36	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
24	13, 23	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
25	8, 24	relssdv 5763	1 ⊢ (𝜑 → dom ∨ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {cpr 4585  ⟨cop 4589  {copab 5166   × cxp 5648  dom cdm 5650  Rel wrel 5655  ‘cfv 6538  Basecbs 17388  lecple 17436  lubclub 18484  joincjn 18486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-oprab 7424  df-lub 18519  df-join 18521

This theorem is used by:  clatl  18683  joindm2  50152