Theorem joindmss 18437

Description: Subset property of domain of join. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joindmss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
joindmss.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
joindmss.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
joindmss	⊢ (𝜑 → dom ∨ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem joindmss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopabv 5834	. . 3 ⊢ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)}
2		joindmss.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
4		joindmss.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	3, 4	joindm 18433	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → dom ∨ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)})
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ∨ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)})
7	6	releqd 5791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Rel dom ∨ ↔ Rel {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)}))
8	1, 7	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel dom ∨ )
9		vex 3482	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ V)
11		vex 3482	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
13	3, 4, 2, 10, 12	joindef 18434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)))
14		joindmss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
16	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾))
18	14, 15, 3, 16, 17	lubelss 18412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
19	18	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
20	9, 11	prss 4825	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
21		opelxpi 5726	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
22	20, 21	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
23	19, 22	syl6 35	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom (lub‘𝐾) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
24	13, 23	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵)))
25	8, 24	relssdv 5801	1 ⊢ (𝜑 → dom ∨ ⊆ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  {cpr 4633  ⟨cop 4637  {copab 5210   × cxp 5687  dom cdm 5689  Rel wrel 5694  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  lubclub 18367  joincjn 18369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-oprab 7435  df-lub 18404  df-join 18406

This theorem is referenced by:  clatl  18566  joindm2  48765