Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecdim0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdim0i 33198
Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim0.1 0 = (0gβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
lvecdim0i ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 })

Proof of Theorem lvecdim0i
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . . 7 (LBasisβ€˜π‘‰) = (LBasisβ€˜π‘‰)
21lbsex 21012 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec β†’ (LBasisβ€˜π‘‰) β‰  βˆ…)
3 n0 4339 . . . . . 6 ((LBasisβ€˜π‘‰) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
54adantr 480 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
6 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
71dimval 33193 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (dimβ€˜π‘‰) = (β™―β€˜π‘))
87adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (dimβ€˜π‘‰) = (β™―β€˜π‘))
9 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (dimβ€˜π‘‰) = 0)
108, 9eqtr3d 2766 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜π‘) = 0)
11 hasheq0 14324 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰) β†’ ((β™―β€˜π‘) = 0 ↔ 𝑏 = βˆ…))
1211biimpa 476 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰) ∧ (β™―β€˜π‘) = 0) β†’ 𝑏 = βˆ…)
136, 10, 12syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 = βˆ…)
1413, 6eqeltrrd 2826 . . . 4 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ βˆ… ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
155, 14exlimddv 1930 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ βˆ… ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
16 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
17 eqid 2724 . . . 4 (LSpanβ€˜π‘‰) = (LSpanβ€˜π‘‰)
1816, 1, 17lbssp 20923 . . 3 (βˆ… ∈ (LBasisβ€˜π‘‰) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜βˆ…) = (Baseβ€˜π‘‰))
1915, 18syl 17 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜βˆ…) = (Baseβ€˜π‘‰))
20 lveclmod 20950 . . . 4 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
2120adantr 480 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
22 lvecdim0.1 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘‰)
2322, 17lsp0 20852 . . 3 (𝑉 ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜βˆ…) = { 0 })
2421, 23syl 17 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ ((LSpanβ€˜π‘‰)β€˜βˆ…) = { 0 })
2519, 24eqtr3d 2766 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ…c0 4315  {csn 4621  β€˜cfv 6534  0cc0 11107  β™―chash 14291  Basecbs 17149  0gc0g 17390  LModclmod 20702  LSpanclspn 20814  LBasisclbs 20918  LVecclvec 20946  dimcldim 33191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-rpss 7707  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-r1 9756  df-rank 9757  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-mri 17537  df-acs 17538  df-proset 18256  df-drs 18257  df-poset 18274  df-ipo 18489  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lbs 20919  df-lvec 20947  df-dim 33192
This theorem is referenced by:  lvecdim0  33199
  Copyright terms: Public domain W3C validator