Theorem lvecdim0i 33690

Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim0i	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem lvecdim0i

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
2	1	lbsex 21111	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3		n0 4302	. . . . . 6 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
7	1	dimval 33685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
8	7	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
9		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = 0)
10	8, 9	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) = 0)
11		hasheq0 14277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → ((♯‘𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = ∅))
12	11	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) ∧ (♯‘𝑏) = 0) → 𝑏 = ∅)
13	6, 10, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
14	13, 6	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
15	5, 14	exlimddv 1936	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
18	16, 1, 17	lbssp 21022	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (LBasis‘𝑉) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
19	15, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
20		lveclmod 21049	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → 𝑉 ∈ LMod)
22		lvecdim0.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
23	22, 17	lsp0 20951	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
25	19, 24	eqtr3d 2770	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  {csn 4577  ‘cfv 6489  0cc0 11017  ♯chash 14244  Basecbs 17127  0_gc0g 17350  LModclmod 20802  LSpanclspn 20913  LBasisclbs 21017  LVecclvec 21045  dimcldim 33683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-reg 9489  ax-inf2 9542  ax-ac2 10365  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-rpss 7665  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9407  df-r1 9668  df-rank 9669  df-dju 9805  df-card 9843  df-acn 9846  df-ac 10018  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ocomp 17189  df-0g 17352  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-mri 17498  df-acs 17499  df-proset 18208  df-drs 18209  df-poset 18227  df-ipo 18442  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-drng 20655  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lbs 21018  df-lvec 21046  df-dim 33684

This theorem is referenced by:  lvecdim0  33691