Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecdim0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdim0i 33504
Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim0.1 0 = (0g𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecdim0i ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem lvecdim0i
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . 7 (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
21lbsex 21140 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3 n0 4347 . . . . . 6 ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
54adantr 479 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
6 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
71dimval 33499 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
87adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
9 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = 0)
108, 9eqtr3d 2768 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) = 0)
11 hasheq0 14373 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → ((♯‘𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = ∅))
1211biimpa 475 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) ∧ (♯‘𝑏) = 0) → 𝑏 = ∅)
136, 10, 12syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
1413, 6eqeltrrd 2827 . . . 4 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
155, 14exlimddv 1931 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
16 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
17 eqid 2726 . . . 4 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
1816, 1, 17lbssp 21051 . . 3 (∅ ∈ (LBasis‘𝑉) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
1915, 18syl 17 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
20 lveclmod 21078 . . . 4 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
2120adantr 479 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → 𝑉 ∈ LMod)
22 lvecdim0.1 . . . 4 0 = (0g𝑉)
2322, 17lsp0 20980 . . 3 (𝑉 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
2421, 23syl 17 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
2519, 24eqtr3d 2768 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  c0 4323  {csn 4624  cfv 6544  0cc0 11147  chash 14340  Basecbs 17206  0gc0g 17447  LModclmod 20830  LSpanclspn 20942  LBasisclbs 21046  LVecclvec 21074  dimcldim 33497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-reg 9626  ax-inf2 9675  ax-ac2 10495  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rpss 7724  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9544  df-r1 9798  df-rank 9799  df-dju 9935  df-card 9973  df-acn 9976  df-ac 10150  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-fz 13531  df-hash 14341  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ocomp 17280  df-0g 17449  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-mri 17594  df-acs 17595  df-proset 18313  df-drs 18314  df-poset 18331  df-ipo 18546  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-oppr 20310  df-dvdsr 20333  df-unit 20334  df-invr 20364  df-drng 20703  df-lmod 20832  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-lbs 21047  df-lvec 21075  df-dim 33498
This theorem is referenced by:  lvecdim0  33505
  Copyright terms: Public domain W3C validator