Theorem lvecdim0i 33665

Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim0i	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem lvecdim0i

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
2	1	lbsex 21194	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3		n0 4362	. . . . . 6 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
7	1	dimval 33660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
8	7	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
9		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = 0)
10	8, 9	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) = 0)
11		hasheq0 14408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → ((♯‘𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = ∅))
12	11	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) ∧ (♯‘𝑏) = 0) → 𝑏 = ∅)
13	6, 10, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
14	13, 6	eqeltrrd 2842	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
15	5, 14	exlimddv 1935	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
18	16, 1, 17	lbssp 21105	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (LBasis‘𝑉) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
19	15, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
20		lveclmod 21132	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → 𝑉 ∈ LMod)
22		lvecdim0.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
23	22, 17	lsp0 21034	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
25	19, 24	eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4342  {csn 4634  ‘cfv 6569  0cc0 11162  ♯chash 14375  Basecbs 17254  0_gc0g 17495  LModclmod 20884  LSpanclspn 20996  LBasisclbs 21100  LVecclvec 21128  dimcldim 33658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-reg 9639  ax-inf2 9688  ax-ac2 10510  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-rpss 7749  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-oi 9557  df-r1 9811  df-rank 9812  df-dju 9948  df-card 9986  df-acn 9989  df-ac 10163  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-hash 14376  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ocomp 17328  df-0g 17497  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-mri 17642  df-acs 17643  df-proset 18361  df-drs 18362  df-poset 18380  df-ipo 18595  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20757  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lsp 20997  df-lbs 21101  df-lvec 21129  df-dim 33659

This theorem is referenced by:  lvecdim0  33666