Theorem lvecdim0i 34119

Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim0i	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem lvecdim0i

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
2	1	lbsex 21355	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3		n0 4300	. . . . . 6 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
6		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
7	1	dimval 34114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
8	7	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
9		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = 0)
10	8, 9	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) = 0)
11		hasheq0 14430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → ((♯‘𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = ∅))
12	11	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) ∧ (♯‘𝑏) = 0) → 𝑏 = ∅)
13	6, 10, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
14	13, 6	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
15	5, 14	exlimddv 1968	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
18	16, 1, 17	lbssp 21266	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (LBasis‘𝑉) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
19	15, 18	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
20		lveclmod 21293	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → 𝑉 ∈ LMod)
22		lvecdim0.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
23	22, 17	lsp0 21196	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
24	21, 23	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
25	19, 24	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  {csn 4584  ‘cfv 6533  0cc0 11127  ♯chash 14397  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  LModclmod 21047  LSpanclspn 21158  LBasisclbs 21261  LVecclvec 21289  dimcldim 34112

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9567  ax-inf2 9623  ax-ac2 10468  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rpss 7725  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-oi 9485  df-r1 9749  df-rank 9750  df-scott 9871  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-ac 10122  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ocomp 17366  df-0g 17529  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-mri 17675  df-acs 17676  df-proset 18385  df-drs 18386  df-poset 18404  df-ipo 18619  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-lbs 21262  df-lvec 21290  df-dim 34113

This theorem is used by:  lvecdim0  34120