Theorem lvecdim0i 33610

Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim0i	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Proof of Theorem lvecdim0i

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
2	1	lbsex 21097	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
3		n0 4298	. . . . . 6 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
7	1	dimval 33605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
8	7	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘𝑏))
9		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = 0)
10	8, 9	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (♯‘𝑏) = 0)
11		hasheq0 14265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → ((♯‘𝑏) = 0 ↔ 𝑏 = ∅))
12	11	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) ∧ (♯‘𝑏) = 0) → 𝑏 = ∅)
13	6, 10, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
14	13, 6	eqeltrrd 2832	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
15	5, 14	exlimddv 1936	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
18	16, 1, 17	lbssp 21008	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (LBasis‘𝑉) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
19	15, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = (Base‘𝑉))
20		lveclmod 21035	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → 𝑉 ∈ LMod)
22		lvecdim0.1	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
23	22, 17	lsp0 20937	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → ((LSpan‘𝑉)‘∅) = { 0 })
25	19, 24	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4278  {csn 4571  ‘cfv 6476  0cc0 11001  ♯chash 14232  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  LModclmod 20788  LSpanclspn 20899  LBasisclbs 21003  LVecclvec 21031  dimcldim 33603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526  ax-ac2 10349  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-rpss 7651  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-oi 9391  df-r1 9652  df-rank 9653  df-dju 9789  df-card 9827  df-acn 9830  df-ac 10002  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ocomp 17177  df-0g 17340  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-mri 17485  df-acs 17486  df-proset 18195  df-drs 18196  df-poset 18214  df-ipo 18429  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-drng 20641  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lbs 21004  df-lvec 21032  df-dim 33604

This theorem is referenced by:  lvecdim0  33611