Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup3 20565
 Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v · = ( ·𝑠𝑇)
frlmup.e 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
frlmup.t (𝜑𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (𝜑𝐼𝑋)
frlmup.r (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
frlmup.k 𝐾 = (LSpan‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
frlmup3 (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup3
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 frlmup.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 frlmup.v . . . 4 · = ( ·𝑠𝑇)
5 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
6 frlmup.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
7 frlmup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑋)
8 frlmup.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9 frlmup.a . . . 4 (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9frlmup1 20563 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11 eqid 2758 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
1211lmodring 19710 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
136, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
148, 13eqeltrd 2852 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 2uvcff 20556 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼𝐵)
1714, 7, 16syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼𝐵)
1817frnd 6505 . . 3 (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵)
19 eqid 2758 . . . 4 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
20 frlmup.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑇)
212, 19, 20lmhmlsp 19889 . . 3 ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
2210, 18, 21syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
232, 3lmhmf 19874 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸:𝐵𝐶)
2410, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
2524ffnd 6499 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝐵)
26 fnima 6461 . . . 4 (𝐸 Fn 𝐵 → (𝐸𝐵) = ran 𝐸)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐵) = ran 𝐸)
28 eqid 2758 . . . . . . . 8 (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
291, 15, 28frlmlbs 20562 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
3014, 7, 29syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
312, 28, 19lbssp 19919 . . . . . 6 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
3332eqcomd 2764 . . . 4 (𝜑𝐵 = ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
3433imaeq2d 5901 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐵) = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
3527, 34eqtr3d 2795 . 2 (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
36 imaco 6081 . . . 4 ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼))
379ffnd 6499 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
3817ffnd 6499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
39 fnco 6448 . . . . . . . 8 ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
4025, 38, 18, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
41 fvco2 6749 . . . . . . . . 9 (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼𝑢𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
4238, 41sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
436adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
447adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝐼𝑋)
458adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
469adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝐴:𝐼𝐶)
47 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐼) → 𝑢𝐼)
481, 2, 3, 4, 5, 43, 44, 45, 46, 47, 15frlmup2 20564 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐼) → (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)) = (𝐴𝑢))
4942, 48eqtr2d 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐼) → (𝐴𝑢) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢))
5037, 40, 49eqfnfvd 6796 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
5150imaeq1d 5900 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼))
52 fnima 6461 . . . . . 6 (𝐴 Fn 𝐼 → (𝐴𝐼) = ran 𝐴)
5337, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐼) = ran 𝐴)
5451, 53eqtr3d 2795 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = ran 𝐴)
55 fnima 6461 . . . . . 6 ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5638, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5756imaeq2d 5901 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼)) = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5836, 54, 573eqtr3a 2817 . . 3 (𝜑 → ran 𝐴 = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5958fveq2d 6662 . 2 (𝜑 → (𝐾‘ran 𝐴) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
6022, 35, 593eqtr4d 2803 1 (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3858   ↦ cmpt 5112  ran crn 5525   “ cima 5527   ∘ ccom 5528   Fn wfn 6330  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  Basecbs 16541  Scalarcsca 16626   ·𝑠 cvsca 16627   Σg cgsu 16772  Ringcrg 19365  LModclmod 19702  LSpanclspn 19811   LMHom clmhm 19859  LBasisclbs 19914   freeLMod cfrlm 20511   unitVec cuvc 20547 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lmhm 19862  df-lbs 19915  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-nzr 20099  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-uvc 20548 This theorem is referenced by:  ellspd  20567  indlcim  20605  lnrfg  40458
 Copyright terms: Public domain W3C validator