Theorem frlmup3 22002

Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup3	⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmup.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
6		frlmup.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
7		frlmup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	frlmup1 22000	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
12	11	lmodring 21041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
13	6, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
14	8, 13	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 2	uvcff 21993	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶𝐵)
17	14, 7, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶𝐵)
18	17	frnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵)
19		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
20		frlmup.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑇)
21	2, 19, 20	lmhmlsp 21222	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
22	10, 18, 21	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
23	2, 3	lmhmf 21207	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
24	10, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
25	24	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝐵)
26		fnima 6669	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → (𝐸 “ 𝐵) = ran 𝐸)
27	25, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ 𝐵) = ran 𝐸)
28		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
29	1, 15, 28	frlmlbs 21999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
30	14, 7, 29	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
31	2, 28, 19	lbssp 21252	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
32	30, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
33	32	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
34	33	imaeq2d 6064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ 𝐵) = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
35	27, 34	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
36		imaco 6254	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼))
37	9	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
38	17	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
39		fnco 6657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
40	25, 38, 18, 39	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
41		fvco2 6982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
42	38, 41	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
43	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
44	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
45	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
46	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
47		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑢 ∈ 𝐼)
48	1, 2, 3, 4, 5, 43, 44, 45, 46, 47, 15	frlmup2 22001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)) = (𝐴‘𝑢))
49	42, 48	eqtr2d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑢) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢))
50	37, 40, 49	eqfnfvd 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
51	50	imaeq1d 6063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼))
52		fnima 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐼 → (𝐴 “ 𝐼) = ran 𝐴)
53	37, 52	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐼) = ran 𝐴)
54	51, 53	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = ran 𝐴)
55		fnima 6669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
56	38, 55	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
57	56	imaeq2d 6064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼)) = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
58	36, 54, 57	3eqtr3a 2824	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
59	58	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ran 𝐴) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
60	22, 35, 59	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664   “ cima 5666   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  Basecbs 17293  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338   Σ_g cgsu 17517  Ringcrg 20361  LModclmod 21033  LSpanclspn 21144   LMHom clmhm 21192  LBasisclbs 21247   freeLMod cfrlm 21948   unitVec cuvc 21984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-nzr 20662  df-subrg 20721  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lmhm 21195  df-lbs 21248  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-dsmm 21934  df-frlm 21949  df-uvc 21985

This theorem is used by:  ellspd  22004  indlcim  22042  lnrfg  43906