MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup3 21741
Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmup.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
frlmup.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
frlmup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
frlmup.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
frlmup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
frlmup.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
frlmup3 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (πΎβ€˜ran 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem frlmup3
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmup.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 frlmup.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 frlmup.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
6 frlmup.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7 frlmup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
9 frlmup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9frlmup1 21739 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
1211lmodring 20758 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
136, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
148, 13eqeltrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 2uvcff 21732 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢𝐡)
1714, 7, 16syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢𝐡)
1817frnd 6735 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡)
19 eqid 2728 . . . 4 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
20 frlmup.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘‡)
212, 19, 20lmhmlsp 20941 . . 3 ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
2210, 18, 21syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
232, 3lmhmf 20926 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) β†’ 𝐸:𝐡⟢𝐢)
2410, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢𝐢)
2524ffnd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝐡)
26 fnima 6690 . . . 4 (𝐸 Fn 𝐡 β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = ran 𝐸)
2725, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = ran 𝐸)
28 eqid 2728 . . . . . . . 8 (LBasisβ€˜πΉ) = (LBasisβ€˜πΉ)
291, 15, 28frlmlbs 21738 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
3014, 7, 29syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
312, 28, 19lbssp 20971 . . . . . 6 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐡)
3332eqcomd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
3433imaeq2d 6068 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
3527, 34eqtr3d 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
36 imaco 6260 . . . 4 ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼) = (𝐸 β€œ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼))
379ffnd 6728 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
3817ffnd 6728 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
39 fnco 6677 . . . . . . . 8 ((𝐸 Fn 𝐡 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
4025, 38, 18, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
41 fvco2 7000 . . . . . . . . 9 (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’) = (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)))
4238, 41sylan 578 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’) = (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)))
436adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
447adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
458adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
469adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
47 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑒 ∈ 𝐼)
481, 2, 3, 4, 5, 43, 44, 45, 46, 47, 15frlmup2 21740 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)) = (π΄β€˜π‘’))
4942, 48eqtr2d 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘’) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’))
5037, 40, 49eqfnfvd 7048 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
5150imaeq1d 6067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼))
52 fnima 6690 . . . . . 6 (𝐴 Fn 𝐼 β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
5337, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
5451, 53eqtr3d 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
55 fnima 6690 . . . . . 6 ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5638, 55syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5756imaeq2d 6068 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼)) = (𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5836, 54, 573eqtr3a 2792 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 = (𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5958fveq2d 6906 . 2 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜ran 𝐴) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
6022, 35, 593eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (πΎβ€˜ran 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683   β€œ cima 5685   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244   Ξ£g cgsu 17429  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862   LMHom clmhm 20911  LBasisclbs 20966   freeLMod cfrlm 21687   unitVec cuvc 21723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20459  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lmhm 20914  df-lbs 20967  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-uvc 21724
This theorem is referenced by:  ellspd  21743  indlcim  21781  lnrfg  42574
  Copyright terms: Public domain W3C validator