Theorem frlmup3 21346

Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup3	⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmup.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
6		frlmup.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
7		frlmup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	frlmup1 21344	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
12	11	lmodring 20471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
14	8, 13	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 2	uvcff 21337	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶𝐵)
17	14, 7, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶𝐵)
18	17	frnd 6722	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵)
19		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
20		frlmup.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑇)
21	2, 19, 20	lmhmlsp 20652	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
22	10, 18, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
23	2, 3	lmhmf 20637	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
24	10, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
25	24	ffnd 6715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝐵)
26		fnima 6677	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → (𝐸 “ 𝐵) = ran 𝐸)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ 𝐵) = ran 𝐸)
28		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
29	1, 15, 28	frlmlbs 21343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
30	14, 7, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
31	2, 28, 19	lbssp 20682	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
33	32	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
34	33	imaeq2d 6057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ 𝐵) = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
35	27, 34	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
36		imaco 6247	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼))
37	9	ffnd 6715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
38	17	ffnd 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
39		fnco 6664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
40	25, 38, 18, 39	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
41		fvco2 6985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
42	38, 41	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
43	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
44	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
45	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
46	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
47		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑢 ∈ 𝐼)
48	1, 2, 3, 4, 5, 43, 44, 45, 46, 47, 15	frlmup2 21345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)) = (𝐴‘𝑢))
49	42, 48	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑢) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢))
50	37, 40, 49	eqfnfvd 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
51	50	imaeq1d 6056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼))
52		fnima 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐼 → (𝐴 “ 𝐼) = ran 𝐴)
53	37, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐼) = ran 𝐴)
54	51, 53	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = ran 𝐴)
55		fnima 6677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
56	38, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
57	56	imaeq2d 6057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼)) = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
58	36, 54, 57	3eqtr3a 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
59	58	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ran 𝐴) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
60	22, 35, 59	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   “ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197   Σ_g cgsu 17382  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574   LMHom clmhm 20622  LBasisclbs 20677   freeLMod cfrlm 21292   unitVec cuvc 21328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lbs 20678  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329

This theorem is referenced by:  ellspd  21348  indlcim  21386  lnrfg  41846