MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup3 21222
Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmup.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
frlmup.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
frlmup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
frlmup.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
frlmup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
frlmup.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
frlmup3 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (πΎβ€˜ran 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem frlmup3
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmup.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 frlmup.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 frlmup.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
6 frlmup.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7 frlmup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
9 frlmup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9frlmup1 21220 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
1211lmodring 20344 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
136, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
148, 13eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 2uvcff 21213 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢𝐡)
1714, 7, 16syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢𝐡)
1817frnd 6677 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡)
19 eqid 2733 . . . 4 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
20 frlmup.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘‡)
212, 19, 20lmhmlsp 20525 . . 3 ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
2210, 18, 21syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
232, 3lmhmf 20510 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) β†’ 𝐸:𝐡⟢𝐢)
2410, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢𝐢)
2524ffnd 6670 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝐡)
26 fnima 6632 . . . 4 (𝐸 Fn 𝐡 β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = ran 𝐸)
2725, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = ran 𝐸)
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LBasisβ€˜πΉ) = (LBasisβ€˜πΉ)
291, 15, 28frlmlbs 21219 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
3014, 7, 29syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
312, 28, 19lbssp 20555 . . . . . 6 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐡)
3332eqcomd 2739 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
3433imaeq2d 6014 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
3527, 34eqtr3d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
36 imaco 6204 . . . 4 ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼) = (𝐸 β€œ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼))
379ffnd 6670 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
3817ffnd 6670 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
39 fnco 6619 . . . . . . . 8 ((𝐸 Fn 𝐡 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
4025, 38, 18, 39syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
41 fvco2 6939 . . . . . . . . 9 (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’) = (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)))
4238, 41sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’) = (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)))
436adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
447adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
458adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
469adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
47 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑒 ∈ 𝐼)
481, 2, 3, 4, 5, 43, 44, 45, 46, 47, 15frlmup2 21221 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)) = (π΄β€˜π‘’))
4942, 48eqtr2d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘’) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’))
5037, 40, 49eqfnfvd 6986 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
5150imaeq1d 6013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼))
52 fnima 6632 . . . . . 6 (𝐴 Fn 𝐼 β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
5337, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
5451, 53eqtr3d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
55 fnima 6632 . . . . . 6 ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5638, 55syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5756imaeq2d 6014 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼)) = (𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5836, 54, 573eqtr3a 2797 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 = (𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5958fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜ran 𝐴) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
6022, 35, 593eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (πΎβ€˜ran 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142   Ξ£g cgsu 17327  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447   LMHom clmhm 20495  LBasisclbs 20550   freeLMod cfrlm 21168   unitVec cuvc 21204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lbs 20551  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205
This theorem is referenced by:  ellspd  21224  indlcim  21262  lnrfg  41489
  Copyright terms: Public domain W3C validator