Theorem frlmup3 20513

Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘𝑓 · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup3	⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmup.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘𝑓 · 𝐴)))
6		frlmup.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
7		frlmup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
9		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	frlmup1 20511	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
12	11	lmodring 19234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
14	8, 13	eqeltrd 2906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
16	15, 1, 2	uvcff 20504	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶𝐵)
17	14, 7, 16	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶𝐵)
18	17	frnd 6289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵)
19		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
20		frlmup.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑇)
21	2, 19, 20	lmhmlsp 19415	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
22	10, 18, 21	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
23	2, 3	lmhmf 19400	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
24	10, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
25	24	ffnd 6283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝐵)
26		fnima 6247	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn 𝐵 → (𝐸 “ 𝐵) = ran 𝐸)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ 𝐵) = ran 𝐸)
28		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
29	1, 15, 28	frlmlbs 20510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
30	14, 7, 29	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹))
31	2, 28, 19	lbssp 19445	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐵)
33	32	eqcomd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
34	33	imaeq2d 5711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ 𝐵) = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
35	27, 34	eqtr3d 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐸 “ ((LSpan‘𝐹)‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
36		imaco 5885	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼))
37	9	ffnd 6283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
38	17	ffnd 6283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
39		fnco 6236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 Fn 𝐵 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ 𝐵) → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
40	25, 38, 18, 39	syl3anc 1494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
41		fvco2 6524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
42	38, 41	sylan 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢) = (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)))
43	6	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
44	7	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
45	8	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
46	9	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
47		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → 𝑢 ∈ 𝐼)
48	1, 2, 3, 4, 5, 43, 44, 45, 46, 47, 15	frlmup2 20512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝐸‘((𝑅 unitVec 𝐼)‘𝑢)) = (𝐴‘𝑢))
49	42, 48	eqtr2d 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑢) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))‘𝑢))
50	37, 40, 49	eqfnfvd 6568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
51	50	imaeq1d 5710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼))
52		fnima 6247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐼 → (𝐴 “ 𝐼) = ran 𝐴)
53	37, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐼) = ran 𝐴)
54	51, 53	eqtr3d 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) “ 𝐼) = ran 𝐴)
55		fnima 6247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
56	38, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
57	56	imaeq2d 5711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 “ ((𝑅 unitVec 𝐼) “ 𝐼)) = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
58	36, 54, 57	3eqtr3a 2885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 = (𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
59	58	fveq2d 6441	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘ran 𝐴) = (𝐾‘(𝐸 “ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
60	22, 35, 59	3eqtr4d 2871	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = (𝐾‘ran 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798   ↦ cmpt 4954  ran crn 5347   “ cima 5349   ∘ ccom 5350   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ∘_𝑓 cof 7160  Basecbs 16229  Scalarcsca 16315   ·_𝑠 cvsca 16316   Σ_g cgsu 16461  Ringcrg 18908  LModclmod 19226  LSpanclspn 19337   LMHom clmhm 19385  LBasisclbs 19440   freeLMod cfrlm 20460   unitVec cuvc 20495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lmhm 19388  df-lbs 19441  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-nzr 19626  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-uvc 20496

This theorem is referenced by:  ellspd  20515  indlcim  20553  lnrfg  38531