MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup3 21690
Description: The range of such an evaluation map is the finite linear combinations of the target vectors and also the span of the target vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmup.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
frlmup.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
frlmup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
frlmup.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
frlmup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
frlmup.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
frlmup3 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (πΎβ€˜ran 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem frlmup3
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmup.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 frlmup.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 frlmup.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
6 frlmup.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7 frlmup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
9 frlmup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9frlmup1 21688 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
1211lmodring 20711 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
136, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
148, 13eqeltrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 2uvcff 21681 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢𝐡)
1714, 7, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢𝐡)
1817frnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡)
19 eqid 2726 . . . 4 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
20 frlmup.k . . . 4 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘‡)
212, 19, 20lmhmlsp 20894 . . 3 ((𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
2210, 18, 21syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
232, 3lmhmf 20879 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) β†’ 𝐸:𝐡⟢𝐢)
2410, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸:𝐡⟢𝐢)
2524ffnd 6711 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝐡)
26 fnima 6673 . . . 4 (𝐸 Fn 𝐡 β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = ran 𝐸)
2725, 26syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = ran 𝐸)
28 eqid 2726 . . . . . . . 8 (LBasisβ€˜πΉ) = (LBasisβ€˜πΉ)
291, 15, 28frlmlbs 21687 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
3014, 7, 29syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
312, 28, 19lbssp 20924 . . . . . 6 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜πΉ) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = 𝐡)
3332eqcomd 2732 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
3433imaeq2d 6052 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ 𝐡) = (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
3527, 34eqtr3d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (𝐸 β€œ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
36 imaco 6243 . . . 4 ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼) = (𝐸 β€œ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼))
379ffnd 6711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
3817ffnd 6711 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼)
39 fnco 6660 . . . . . . . 8 ((𝐸 Fn 𝐡 ∧ (𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
4025, 38, 18, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) Fn 𝐼)
41 fvco2 6981 . . . . . . . . 9 (((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’) = (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)))
4238, 41sylan 579 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’) = (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)))
436adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
447adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
458adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
469adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
47 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ 𝑒 ∈ 𝐼)
481, 2, 3, 4, 5, 43, 44, 45, 46, 47, 15frlmup2 21689 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ (πΈβ€˜((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘’)) = (π΄β€˜π‘’))
4942, 48eqtr2d 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘’) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼))β€˜π‘’))
5037, 40, 49eqfnfvd 7028 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)))
5150imaeq1d 6051 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼))
52 fnima 6673 . . . . . 6 (𝐴 Fn 𝐼 β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
5337, 52syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
5451, 53eqtr3d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐸 ∘ (𝑅 unitVec 𝐼)) β€œ 𝐼) = ran 𝐴)
55 fnima 6673 . . . . . 6 ((𝑅 unitVec 𝐼) Fn 𝐼 β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5638, 55syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼) = ran (𝑅 unitVec 𝐼))
5756imaeq2d 6052 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 β€œ ((𝑅 unitVec 𝐼) β€œ 𝐼)) = (𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5836, 54, 573eqtr3a 2790 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐴 = (𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
5958fveq2d 6888 . 2 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜ran 𝐴) = (πΎβ€˜(𝐸 β€œ ran (𝑅 unitVec 𝐼))))
6022, 35, 593eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = (πΎβ€˜ran 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207   Ξ£g cgsu 17392  Ringcrg 20135  LModclmod 20703  LSpanclspn 20815   LMHom clmhm 20864  LBasisclbs 20919   freeLMod cfrlm 21636   unitVec cuvc 21672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-nzr 20412  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lmhm 20867  df-lbs 20920  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-uvc 21673
This theorem is referenced by:  ellspd  21692  indlcim  21730  lnrfg  42421
  Copyright terms: Public domain W3C validator