Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindflem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem matunitlindflem2 36975
Description: One direction of matunitlindf 36976. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem2 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
Proof of Theorem matunitlindflem2
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
2 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
31, 2matrcl 22234 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 494 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
54ad3antlr 728 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6 isfld 20588 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
76simplbi 497 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
87anim1i 614 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
94ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
11 xpfi 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
1211anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
13 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))
14 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1513, 14frlmfibas 21625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
1612, 15sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
171, 13matbas 22235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
1817ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
1916, 18eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
2019eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
214, 20sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
22 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
234, 4, 11syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
24 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2522, 23, 24sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2721, 26bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2810, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
2928adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
30 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…))
3130biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
324, 31sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
34 curf 36956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
3522, 34mp3an3 1446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
3629, 33, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
379, 36jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)))
3837ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
3938imdistani 568 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
4039anassrs 467 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
41 anass 468 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
4240, 41sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)))
43 drngring 20584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
44 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
45 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
46 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
4744, 45, 46uvcff 21654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4843, 47sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4948ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
5049ad4ant14 749 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
51 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
52 fnima 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (curry 𝑀 Fn 𝐼 β†’ (curry 𝑀 β€œ 𝐼) = ran curry 𝑀)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry 𝑀 β€œ 𝐼) = ran curry 𝑀)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (curry 𝑀 β€œ 𝐼) = ran curry 𝑀)
5554fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀))
57 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
58 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5945frlmlmod 21612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6043, 59sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
62 lindfrn 21684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
6361, 62sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
6445frlmsca 21616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
65 drngnzr 20597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
6764, 66eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
6860, 67jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
69 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
7046, 69lindff1 21683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
71703expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
7268, 71sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
73 fdm 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ dom curry 𝑀 = 𝐼)
74 f1eq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (dom curry 𝑀 = 𝐼 β†’ (curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
7574biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ dom curry 𝑀 = 𝐼) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
7672, 73, 75syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
7776an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
78 f1f1orn 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1-ontoβ†’ran curry 𝑀)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1-ontoβ†’ran curry 𝑀)
80 f1oeng 8963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼–1-1-ontoβ†’ran curry 𝑀) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran curry 𝑀)
8158, 79, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran curry 𝑀)
8281ensymd 8997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 β‰ˆ 𝐼)
83 lindsenlbs 36973 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ ran curry 𝑀 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ran curry 𝑀 β‰ˆ 𝐼) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
8457, 58, 63, 82, 83syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
85 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
86 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
8746, 85, 86lbssp 20917 . . . . . . . . . . . . 13 (ran curry 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
8884, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
8956, 88eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9089adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9150, 90eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)))
92 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
93 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
94 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
9545, 14frlmfibas 21625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9695feq3d 6694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
9796biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9859adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
99 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
10086, 46, 92, 69, 93, 94, 97, 98, 99elfilspd 21666 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀))))
10145frlmsca 21616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
102101fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
103102oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼))
105 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
106 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑛 Fn 𝐼)
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑛 Fn 𝐼)
10851ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
109 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
110 inidm 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
111 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) = (π‘›β€˜π‘˜))
112 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) = (curry π‘€β€˜π‘˜))
113107, 108, 109, 109, 110, 111, 112offval 7672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜))))
114 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
115 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
116115adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
117 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
118117ad4ant24 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
11995ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
120118, 119eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
121 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
12245, 46, 14, 114, 116, 120, 94, 121frlmvscafval 21629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜)) = ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘˜)))
123 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘›β€˜π‘˜) ∈ V
124 fnconstg 6769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘›β€˜π‘˜) ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) Fn 𝐼)
125123, 124mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) Fn 𝐼)
126 elmapfn 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) Fn 𝐼)
127117, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) Fn 𝐼)
128127ad4ant24 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) Fn 𝐼)
129123fvconst2 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)})β€˜π‘—) = (π‘›β€˜π‘˜))
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)})β€˜π‘—) = (π‘›β€˜π‘˜))
131 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))
132125, 128, 114, 114, 110, 130, 131offval 7672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))
133122, 132eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))
134133mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))
135113, 134eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))
136135oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
137 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
138 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
139 simp-5l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
140115ad4ant23 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
141 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
142 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
143117, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
144143ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
145141, 144sylanl1 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14614, 121ringcl 20145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
147139, 140, 145, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
148147fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
149 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
15022, 149mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
151150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
15295eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
153151, 152bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
154153ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
155148, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
156 mptexg 7214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ V)
157156ralrimivw 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ V)
158 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))
159158fnmpt 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) Fn 𝐼)
160157, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) Fn 𝐼)
161 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
162 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ Fin β†’ (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
163160, 161, 162fndmfifsupp 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
164163ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
16545, 46, 137, 109, 109, 138, 155, 164frlmgsum 21635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
166136, 165eqtr2d 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
167105, 166sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
168167eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀))))
169104, 168rexeqbidva 3320 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀))))
170100, 169bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))))
17143, 170sylanl1 677 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))))
172171ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))))
17391, 172mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
174173ralrimiva 3138 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
17542, 174sylan 579 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
17610, 21mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
177 elmapfn 8855 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
178176, 177syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
1794adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
180 an32 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ↔ ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼))
181 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼))
182180, 181bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ↔ (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼))
183 curfv 36958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = (π‘˜π‘€π‘—))
184182, 183sylanb 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = (π‘˜π‘€π‘—))
185184an32s 649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = (π‘˜π‘€π‘—))
186185oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)) = ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))
187186mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))
188187an32s 649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))
189188oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
190189mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
191190eqeq2d 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
192191rexbidv 3170 . . . . . . . . 9 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
193192ralbidv 3169 . . . . . . . 8 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
194178, 179, 193syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
195194ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
196175, 195mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
1978, 196sylanl1 677 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
198 fveq1 6880 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘–)β€˜π‘˜))
199 uncov 36959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ V ∧ π‘˜ ∈ V) β†’ (𝑖uncurry π‘“π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘–)β€˜π‘˜))
200199el2v 3474 . . . . . . . . . . 11 (𝑖uncurry π‘“π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘–)β€˜π‘˜)
201198, 200eqtr4di 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) = (𝑖uncurry π‘“π‘˜))
202201oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)) = ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))
203202mpteq2dv 5240 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))
204203oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
205204mpteq2dv 5240 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
206205eqeq2d 2735 . . . . 5 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) ↔ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
207206ac6sfi 9283 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
2085, 197, 207syl2anc 583 . . 3 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
209 uncf 36957 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
21013, 14frlmfibas 21625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
21112, 210sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
2121, 13matbas 22235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
213212ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
214211, 213eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
2154, 214sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
216215eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
217 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
21822, 23, 217sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
219218adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
220216, 219bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
221220biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
222221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
223 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗(((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)
224 nfmpt1 5246 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
225224nfeq2 2912 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
226 fveq1 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—))
2277, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Ring)
228227, 4anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin))
229228adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin))
230 equcom 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖)
231 ifbi 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖) β†’ if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))
233 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
234 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
235 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
236 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
237 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
238 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑗 ∈ 𝐼)
239 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
2401, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239mat1ov 22272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
241 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
24244, 233, 234uvcvval 21649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
243241, 242sylanbr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
244232, 240, 2433eqtr4a 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—))
245229, 244sylanl1 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—))
246 ovex 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))) ∈ V
247 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
248247fvmpt2 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))) ∈ V) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
249246, 248mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
250249adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
251 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)
252 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Field)
2534ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
254218biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
255254ad5ant23 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
256 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
257256, 215eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
258257ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
259 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
260 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑗 ∈ 𝐼)
261251, 14, 121, 252, 253, 253, 253, 255, 258, 259, 260mamufv 22211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
2621, 251matmulr 22262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩) = (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
263262ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩) = (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
264263oveqd 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀))
265264oveqd 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))
2664, 265sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))
267266ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))
268250, 261, 2673eqtr2rd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗) = ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—))
269245, 268eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗) ↔ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—)))
270226, 269imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
271270ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))))
272271com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))))
273223, 225, 272ralrimd 3253 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
274273ralimdva 3159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
2751, 2, 239mat1bas 22273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
27613, 14frlmfibas 21625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
27712, 276sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
2781, 13matbas 22235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
279278ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
280277, 279eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
281275, 280eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
282 elmapfn 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
283281, 282syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
284227, 4, 283syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
285284adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
2861matring 22267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring)
2874, 227, 286syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring)
288287adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring)
289 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
290 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
2912, 290ringcl 20145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring ∧ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
292288, 221, 289, 291syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
293215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
294292, 293eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
295 elmapfn 8855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
296294, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
297 eqfnov2 7531 . . . . . . . . . . . . 13 (((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) Fn (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ ((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
298285, 296, 297syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
299274, 298sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)))
300299imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀))
301300eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
302 oveq1 7408 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = uncurry 𝑓 β†’ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀))
303302eqeq1d 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = uncurry 𝑓 β†’ ((𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
304303rspcev 3604 . . . . . . . . 9 ((uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
305222, 301, 304syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
306305expl 457 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
307209, 306sylani 603 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
308307exlimdv 1928 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
309308imp 406 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
310309adantlr 712 . . 3 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
311208, 310syldan 590 . 2 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
3126simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ CRing)
313 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
314313, 1, 2, 14mdetcl 22420 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
315313, 1, 2, 14mdetcl 22420 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
316 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
31714, 316, 121dvdsrmul 20256 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
318314, 315, 317syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
319318anandis 675 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
320319anassrs 467 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
321320adantrr 714 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
322 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 ((𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
3231, 2, 313, 121, 290mdetmul 22447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
3243233expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
325324an32s 649 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
326313, 1, 239, 233mdet1 22425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) = (1rβ€˜π‘…))
3274, 326sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) = (1rβ€˜π‘…))
328327adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) = (1rβ€˜π‘…))
329325, 328eqeq12d 2740 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) = (1rβ€˜π‘…)))
330322, 329imbitrid 243 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) = (1rβ€˜π‘…)))
331330impr 454 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) = (1rβ€˜π‘…))
332331breq2d 5150 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
333 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
334333, 233, 316crngunit 20270 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
335334ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
336332, 335bitr4d 282 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
337321, 336mpbid 231 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
338312, 337sylanl1 677 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
339338ad4ant14 749 . 2 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
340311, 339rexlimddv 3153 1 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937  βˆ…c0 4314  ifcif 4520  {csn 4620  βŸ¨cotp 4628   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667   β€œ cima 5669   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“1-1β†’wf1 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661  curry ccur 8245  uncurry cunc 8246   ↑m cmap 8816   β‰ˆ cen 8932  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  βˆ₯rcdsr 20246  Unitcui 20247  NzRingcnzr 20404  DivRingcdr 20577  Fieldcfield 20578  LModclmod 20696  LSpanclspn 20808  LBasisclbs 20912   freeLMod cfrlm 21609   unitVec cuvc 21645   LIndF clindf 21667  LIndSclinds 21668   maMul cmmul 22207   Mat cmat 22229   maDet cmdat 22408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-cur 8247  df-unc 8248  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-mri 17531  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-efmnd 18784  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-evpm 19402  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-field 20580  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lmhm 20860  df-lbs 20913  df-lvec 20941  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-uvc 21646  df-lindf 21669  df-linds 21670  df-mamu 22208  df-mat 22230  df-mdet 22409
This theorem is referenced by:  matunitlindf  36976
  Copyright terms: Public domain W3C validator