Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindflem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem matunitlindflem2 36474
Description: One direction of matunitlindf 36475. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem2 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
Proof of Theorem matunitlindflem2
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
31, 2matrcl 21904 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43simpld 496 . . . . 5 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
54ad3antlr 730 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6 isfld 20319 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
76simplbi 499 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
87anim1i 616 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
94ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
10 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
11 xpfi 9314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
1211anidms 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1513, 14frlmfibas 21309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
1612, 15sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
171, 13matbas 21905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
1817ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
1916, 18eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
2019eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
214, 20sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
22 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
234, 4, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
24 elmapg 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2522, 23, 24sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2721, 26bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2810, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
2928adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
30 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…))
3130biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
324, 31sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
34 curf 36455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
3522, 34mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
3629, 33, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
379, 36jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)))
3837ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
3938imdistani 570 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
4039anassrs 469 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
41 anass 470 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))))
4240, 41sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)))
43 drngring 20315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
4744, 45, 46uvcff 21338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4843, 47sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4948ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
5049ad4ant14 751 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
51 ffn 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
52 fnima 6678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (curry 𝑀 Fn 𝐼 β†’ (curry 𝑀 β€œ 𝐼) = ran curry 𝑀)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry 𝑀 β€œ 𝐼) = ran curry 𝑀)
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (curry 𝑀 β€œ 𝐼) = ran curry 𝑀)
5554fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀))
57 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
58 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5945frlmlmod 21296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6043, 59sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
62 lindfrn 21368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
6361, 62sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
6445frlmsca 21300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
65 drngnzr 20328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
6764, 66eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
6860, 67jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
69 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
7046, 69lindff1 21367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
71703expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
7268, 71sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
73 fdm 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ dom curry 𝑀 = 𝐼)
74 f1eq2 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (dom curry 𝑀 = 𝐼 β†’ (curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
7574biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry 𝑀:dom curry 𝑀–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ dom curry 𝑀 = 𝐼) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
7672, 73, 75syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
7776an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
78 f1f1orn 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (curry 𝑀:𝐼–1-1β†’(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1-ontoβ†’ran curry 𝑀)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼–1-1-ontoβ†’ran curry 𝑀)
80 f1oeng 8964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ Fin ∧ curry 𝑀:𝐼–1-1-ontoβ†’ran curry 𝑀) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran curry 𝑀)
8158, 79, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran curry 𝑀)
8281ensymd 8998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 β‰ˆ 𝐼)
83 lindsenlbs 36472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ ran curry 𝑀 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ran curry 𝑀 β‰ˆ 𝐼) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
8457, 58, 63, 82, 83syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ran curry 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
85 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
86 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
8746, 85, 86lbssp 20683 . . . . . . . . . . . . 13 (ran curry 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
8884, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran curry 𝑀) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
8956, 88eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9089adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9150, 90eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)))
92 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
93 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
94 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
9545, 14frlmfibas 21309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9695feq3d 6702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
9796biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9859adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
99 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
10086, 46, 92, 69, 93, 94, 97, 98, 99elfilspd 21350 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀))))
10145frlmsca 21300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
102101fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
103102oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼))
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼))
105 elmapi 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
106 ffn 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑛 Fn 𝐼)
107106adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑛 Fn 𝐼)
10851ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
109 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
110 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
111 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) = (π‘›β€˜π‘˜))
112 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) = (curry π‘€β€˜π‘˜))
113107, 108, 109, 109, 110, 111, 112offval 7676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜))))
114 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
115 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
116115adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
117 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
118117ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
11995ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
120118, 119eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
121 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
12245, 46, 14, 114, 116, 120, 94, 121frlmvscafval 21313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜)) = ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘˜)))
123 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘›β€˜π‘˜) ∈ V
124 fnconstg 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘›β€˜π‘˜) ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) Fn 𝐼)
125123, 124mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) Fn 𝐼)
126 elmapfn 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) Fn 𝐼)
127117, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) Fn 𝐼)
128127ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜) Fn 𝐼)
129123fvconst2 7202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)})β€˜π‘—) = (π‘›β€˜π‘˜))
130129adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)})β€˜π‘—) = (π‘›β€˜π‘˜))
131 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))
132125, 128, 114, 114, 110, 130, 131offval 7676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘›β€˜π‘˜)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))
133122, 132eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜)) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))
134133mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))
135113, 134eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))
136135oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
137 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
138 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
139 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
140115ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
141 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
142 elmapi 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((curry π‘€β€˜π‘˜) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
143117, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘˜):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
144143ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
145141, 144sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14614, 121ringcl 20067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘›β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
147139, 140, 145, 146syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
148147fmpttd 7112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
149 elmapg 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
15022, 149mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
151150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
15295eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
153151, 152bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
154153ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
155148, 154mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
156 mptexg 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ V)
157156ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ V)
158 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))
159158fnmpt 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) Fn 𝐼)
160157, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) Fn 𝐼)
161 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
162 fvexd 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ Fin β†’ (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
163160, 161, 162fndmfifsupp 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
164163ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
16545, 46, 137, 109, 109, 138, 155, 164frlmgsum 21319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
166136, 165eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
167105, 166sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
168167eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀))))
169104, 168rexeqbidva 3329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀))))
170100, 169bitr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))))
17143, 170sylanl1 679 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))))
172171ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(curry 𝑀 β€œ 𝐼)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))))))
17391, 172mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
174173ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
17542, 174sylan 581 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))))
17610, 21mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
177 elmapfn 8856 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
178176, 177syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
1794adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
180 an32 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ↔ ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼))
181 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼))
182180, 181bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ↔ (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼))
183 curfv 36457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = (π‘˜π‘€π‘—))
184182, 183sylanb 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = (π‘˜π‘€π‘—))
185184an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—) = (π‘˜π‘€π‘—))
186185oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)) = ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))
187186mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))
188187an32s 651 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))
189188oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
190189mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
191190eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
192191rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
193192ralbidv 3178 . . . . . . . 8 ((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
194178, 179, 193syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
195194ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)((curry π‘€β€˜π‘˜)β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
196175, 195mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
1978, 196sylanl1 679 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
198 fveq1 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘–)β€˜π‘˜))
199 uncov 36458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ V ∧ π‘˜ ∈ V) β†’ (𝑖uncurry π‘“π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘–)β€˜π‘˜))
200199el2v 3483 . . . . . . . . . . 11 (𝑖uncurry π‘“π‘˜) = ((π‘“β€˜π‘–)β€˜π‘˜)
201198, 200eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (π‘›β€˜π‘˜) = (𝑖uncurry π‘“π‘˜))
202201oveq1d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)) = ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))
203202mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))
204203oveq2d 7422 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
205204mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))
206205eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑛 = (π‘“β€˜π‘–) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) ↔ ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
207206ac6sfi 9284 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆƒπ‘› ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘›β€˜π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
2085, 197, 207syl2anc 585 . . 3 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))))
209 uncf 36456 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
21013, 14frlmfibas 21309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
21112, 210sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
2121, 13matbas 21905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
213212ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
214211, 213eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
2154, 214sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
216215eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
217 elmapg 8830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
21822, 23, 217sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
219218adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
220216, 219bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
221220biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
222221adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
223 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗(((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)
224 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
225224nfeq2 2921 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
226 fveq1 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—))
2277, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Ring)
228227, 4anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin))
229228adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin))
230 equcom 2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖)
231 ifbi 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖) β†’ if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
232230, 231ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))
233 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
234 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
235 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
236 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
237 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
238 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑗 ∈ 𝐼)
239 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
2401, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239mat1ov 21942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
241 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
24244, 233, 234uvcvval 21333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
243241, 242sylanbr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = if(𝑗 = 𝑖, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
244232, 240, 2433eqtr4a 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—))
245229, 244sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—))
246 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))) ∈ V
247 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
248247fvmpt2 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))) ∈ V) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
249246, 248mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
250249adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
251 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)
252 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Field)
2534ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
254218biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
255254ad5ant23 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ uncurry 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
256 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
257256, 215eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ 𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
258257ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
259 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
260 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ 𝑗 ∈ 𝐼)
261251, 14, 121, 252, 253, 253, 253, 255, 258, 259, 260mamufv 21881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))
2621, 251matmulr 21932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩) = (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
263262ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩) = (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
264263oveqd 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀))
265264oveqd 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))
2664, 265sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))
267266ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝐼, 𝐼⟩)𝑀)𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))
268250, 261, 2673eqtr2rd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗) = ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—))
269245, 268eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗) ↔ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–)β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))β€˜π‘—)))
270226, 269imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
271270ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))))
272271com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼 β†’ (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗))))
273223, 225, 272ralrimd 3262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
274273ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
2751, 2, 239mat1bas 21943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
27613, 14frlmfibas 21309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
27712, 276sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
2781, 13matbas 21905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
279278ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
280277, 279eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
281275, 280eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
282 elmapfn 8856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
283281, 282syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
284227, 4, 283syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
285284adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
2861matring 21937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring)
2874, 227, 286syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring)
288287adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring)
289 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
290 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
2912, 290ringcl 20067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 Mat 𝑅) ∈ Ring ∧ uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
292288, 221, 289, 291syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
293215adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
294292, 293eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)))
295 elmapfn 8856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
296294, 295syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
297 eqfnov2 7536 . . . . . . . . . . . . 13 (((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) Fn (𝐼 Γ— 𝐼)) β†’ ((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
298285, 296, 297syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝑖(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑗) = (𝑖(uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)𝑗)))
299274, 298sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)))
300299imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀))
301300eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
302 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = uncurry 𝑓 β†’ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀))
303302eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = uncurry 𝑓 β†’ ((𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
304303rspcev 3613 . . . . . . . . 9 ((uncurry 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (uncurry 𝑓(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
305222, 301, 304syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
306305expl 459 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((uncurry 𝑓:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
307209, 306sylani 605 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
308307exlimdv 1937 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—)))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
309308imp 408 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
310309adantlr 714 . . 3 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 ((𝑅 unitVec 𝐼)β€˜π‘–) = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((𝑖uncurry π‘“π‘˜)(.rβ€˜π‘…)(π‘˜π‘€π‘—))))))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
311208, 310syldan 592 . 2 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
3126simprbi 498 . . . 4 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ CRing)
313 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
314313, 1, 2, 14mdetcl 22090 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
315313, 1, 2, 14mdetcl 22090 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
316 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
31714, 316, 121dvdsrmul 20171 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
318314, 315, 317syl2an 597 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
319318anandis 677 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
320319anassrs 469 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
321320adantrr 716 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
322 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 ((𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
3231, 2, 313, 121, 290mdetmul 22117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
3243233expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
325324an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)))
326313, 1, 239, 233mdet1 22095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) = (1rβ€˜π‘…))
3274, 326sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) = (1rβ€˜π‘…))
328327adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) = (1rβ€˜π‘…))
329325, 328eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀)) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) = (1rβ€˜π‘…)))
330322, 329imbitrid 243 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) = (1rβ€˜π‘…)))
331330impr 456 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) = (1rβ€˜π‘…))
332331breq2d 5160 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
333 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
334333, 233, 316crngunit 20185 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
335334ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
336332, 335bitr4d 282 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
337321, 336mpbid 231 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
338312, 337sylanl1 679 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
339338ad4ant14 751 . 2 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑛 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ (𝑛(.rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))𝑀) = (1rβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
340311, 339rexlimddv 3162 1 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cotp 4636   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€“1-1β†’wf1 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘f cof 7665  curry ccur 8247  uncurry cunc 8248   ↑m cmap 8817   β‰ˆ cen 8933  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17141  .rcmulr 17195  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  1rcur 19999  Ringcrg 20050  CRingccrg 20051  βˆ₯rcdsr 20161  Unitcui 20162  NzRingcnzr 20284  DivRingcdr 20308  Fieldcfield 20309  LModclmod 20464  LSpanclspn 20575  LBasisclbs 20678   freeLMod cfrlm 21293   unitVec cuvc 21329   LIndF clindf 21351  LIndSclinds 21352   maMul cmmul 21877   Mat cmat 21899   maDet cmdat 22078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-cur 8249  df-unc 8250  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-mri 17529  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-efmnd 18747  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-gim 19128  df-cntz 19176  df-oppg 19205  df-symg 19230  df-pmtr 19305  df-psgn 19354  df-evpm 19355  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-srg 20004  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lmhm 20626  df-lbs 20679  df-lvec 20707  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-dsmm 21279  df-frlm 21294  df-uvc 21330  df-lindf 21353  df-linds 21354  df-mamu 21878  df-mat 21900  df-mdet 22079
This theorem is referenced by:  matunitlindf  36475
  Copyright terms: Public domain W3C validator