MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs2 20444
Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islbs2 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐽

Proof of Theorem islbs2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2lbsss 20367 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
43adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
61, 2, 5lbssp 20369 . . . 4 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
76adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
8 lveclmod 20396 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
109lvecdrng 20395 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
1311, 12drngunz 20034 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
158, 14jca 511 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
162, 5, 9, 12, 11lbsind2 20371 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
1715, 16syl3an1 1161 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
18173expa 1116 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
1918ralrimiva 3137 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
204, 7, 193jca 1126 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
21 simpr1 1192 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵𝑉)
22 simpr2 1193 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
23 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
24 sneq 4574 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
2524difeq2d 4060 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∖ {𝑥}) = (𝐵 ∖ {𝑦}))
2625fveq2d 6796 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
2723, 26eleq12d 2828 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
2827notbid 317 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
29 simplr3 1215 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
30 simprl 767 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦𝐵)
3128, 29, 30rspcdva 3564 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
32 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LVec)
33 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34 eldifsn 4723 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3621adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐵𝑉)
3736, 30sseldd 3924 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦𝑉)
38 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
39 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
401, 9, 38, 39, 11, 5lspsnvs 20404 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
4132, 35, 37, 40syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
4241sseq1d 3954 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
43 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
448adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
4544adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
4636ssdifssd 4080 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
471, 43, 5lspcl 20266 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4845, 46, 47syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4935simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
501, 9, 38, 39lmodvscl 20168 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5145, 49, 37, 50syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
521, 43, 5, 45, 48, 51lspsnel5 20285 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
531, 43, 5, 45, 48, 37lspsnel5 20285 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
5442, 52, 533bitr4d 310 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
5531, 54mtbird 324 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
5655ralrimivva 3191 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
571, 9, 38, 39, 2, 5, 11islbs 20366 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
5857adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
5921, 22, 56, 58mpbir3and 1340 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵𝐽)
6020, 59impbida 797 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  wne 2938  wral 3059  cdif 3886  wss 3889  {csn 4564  cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  Scalarcsca 16993   ·𝑠 cvsca 16994  0gc0g 17178  1rcur 19765  DivRingcdr 20019  LModclmod 20151  LSubSpclss 20221  LSpanclspn 20261  LBasisclbs 20364  LVecclvec 20392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-tpos 8062  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-0g 17180  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-sbg 18610  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-oppr 19890  df-dvdsr 19911  df-unit 19912  df-invr 19942  df-drng 20021  df-lmod 20153  df-lss 20222  df-lsp 20262  df-lbs 20365  df-lvec 20393
This theorem is referenced by:  islbs3  20445  lbsacsbs  20446  lbsextlem4  20451  lbslsat  31727
  Copyright terms: Public domain W3C validator