MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs2 19363
Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islbs2 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐽

Proof of Theorem islbs2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2lbsss 19284 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
43adantl 469 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
61, 2, 5lbssp 19286 . . . 4 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
76adantl 469 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
8 lveclmod 19313 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
109lvecdrng 19312 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
12 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
1311, 12drngunz 18966 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
158, 14jca 503 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
162, 5, 9, 12, 11lbsind2 19288 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
1715, 16syl3an1 1195 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
18173expa 1140 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
1918ralrimiva 3154 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
204, 7, 193jca 1151 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
21 simpr1 1241 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵𝑉)
22 simpr2 1243 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
23 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
24 sneq 4380 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
2524difeq2d 3927 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∖ {𝑥}) = (𝐵 ∖ {𝑦}))
2625fveq2d 6412 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
2723, 26eleq12d 2879 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
2827notbid 309 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
29 simplr3 1272 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
30 simprl 778 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦𝐵)
3128, 29, 30rspcdva 3508 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
32 simpll 774 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LVec)
33 simprr 780 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34 eldifsn 4508 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3533, 34sylib 209 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3621adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐵𝑉)
3736, 30sseldd 3799 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦𝑉)
38 eqid 2806 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
39 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
401, 9, 38, 39, 11, 5lspsnvs 19321 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
4132, 35, 37, 40syl3anc 1483 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
4241sseq1d 3829 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
43 eqid 2806 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
448adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
4544adantr 468 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
4636ssdifssd 3947 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
471, 43, 5lspcl 19183 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4845, 46, 47syl2anc 575 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4935simpld 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
501, 9, 38, 39lmodvscl 19084 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5145, 49, 37, 50syl3anc 1483 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
521, 43, 5, 45, 48, 51lspsnel5 19202 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
531, 43, 5, 45, 48, 37lspsnel5 19202 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
5442, 52, 533bitr4d 302 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
5531, 54mtbird 316 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
5655ralrimivva 3159 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
571, 9, 38, 39, 2, 5, 11islbs 19283 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
5857adantr 468 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
5921, 22, 56, 58mpbir3and 1435 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵𝐽)
6020, 59impbida 826 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  cdif 3766  wss 3769  {csn 4370  cfv 6101  (class class class)co 6874  Basecbs 16068  Scalarcsca 16156   ·𝑠 cvsca 16157  0gc0g 16305  1rcur 18703  DivRingcdr 18951  LModclmod 19067  LSubSpclss 19136  LSpanclspn 19178  LBasisclbs 19281  LVecclvec 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-0g 16307  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-drng 18953  df-lmod 19069  df-lss 19137  df-lsp 19179  df-lbs 19282  df-lvec 19310
This theorem is referenced by:  islbs3  19364  lbsacsbs  19365  lbsextlem4  19370
  Copyright terms: Public domain W3C validator