Theorem islbs2 19929

Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islbs2	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐽

Proof of Theorem islbs2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islbs2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 19852	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
5		islbs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 5	lbssp 19854	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
8		lveclmod 19881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	lvecdrng 19880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
12		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13	11, 12	drngunz 19520	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
15	8, 14	jca 514	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
16	2, 5, 9, 12, 11	lbsind2 19856	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
17	15, 16	syl3an1 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
18	17	3expa 1114	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
19	18	ralrimiva 3185	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
20	4, 7, 19	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
21		simpr1 1190	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
22		simpr2 1191	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
23		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
24		sneq 4580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
25	24	difeq2d 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∖ {𝑥}) = (𝐵 ∖ {𝑦}))
26	25	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
27	23, 26	eleq12d 2910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
28	27	notbid 320	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
29		simplr3 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
30		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	28, 29, 30	rspcdva 3628	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
32		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LVec)
33		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34		eldifsn 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
35	33, 34	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
36	21	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
37	36, 30	sseldd 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
38		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
39		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40	1, 9, 38, 39, 11, 5	lspsnvs 19889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
41	32, 35, 37, 40	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
42	41	sseq1d 4001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
43		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
44	8	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
45	44	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
46	36	ssdifssd 4122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
47	1, 43, 5	lspcl 19751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
48	45, 46, 47	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
49	35	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
50	1, 9, 38, 39	lmodvscl 19654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
51	45, 49, 37, 50	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
52	1, 43, 5, 45, 48, 51	lspsnel5 19770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
53	1, 43, 5, 45, 48, 37	lspsnel5 19770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
54	42, 52, 53	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
55	31, 54	mtbird 327	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
56	55	ralrimivva 3194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
57	1, 9, 38, 39, 2, 5, 11	islbs 19851	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
58	57	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
59	21, 22, 56, 58	mpbir3and 1338	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
60	20, 59	impbida 799	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  {csn 4570  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  Scalarcsca 16571   ·_𝑠 cvsca 16572  0_gc0g 16716  1_rcur 19254  DivRingcdr 19505  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  LSpanclspn 19746  LBasisclbs 19849  LVecclvec 19877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lbs 19850  df-lvec 19878

This theorem is referenced by:  islbs3  19930  lbsacsbs  19931  lbsextlem4  19936  lbslsat  31018