Theorem islbs2 21179

Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islbs2	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐽

Proof of Theorem islbs2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islbs2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 21099	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
5		islbs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 5	lbssp 21101	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
8		lveclmod 21128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	lvecdrng 21127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
12		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
13	11, 12	drngunz 20769	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
15	8, 14	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
16	2, 5, 9, 12, 11	lbsind2 21103	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
17	15, 16	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
18	17	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
19	18	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
20	4, 7, 19	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
21		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
22		simpr2 1195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
23		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
24		sneq 4658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
25	24	difeq2d 4149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∖ {𝑥}) = (𝐵 ∖ {𝑦}))
26	25	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
27	23, 26	eleq12d 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
28	27	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
29		simplr3 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
30		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	28, 29, 30	rspcdva 3636	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
32		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LVec)
33		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34		eldifsn 4811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
35	33, 34	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
36	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
37	36, 30	sseldd 4009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
38		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
39		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40	1, 9, 38, 39, 11, 5	lspsnvs 21139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
41	32, 35, 37, 40	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
42	41	sseq1d 4040	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
43		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
44	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
46	36	ssdifssd 4170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
47	1, 43, 5	lspcl 20997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
48	45, 46, 47	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
49	35	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
50	1, 9, 38, 39	lmodvscl 20898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
51	45, 49, 37, 50	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
52	1, 43, 5, 45, 48, 51	ellspsn5b 21016	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
53	1, 43, 5, 45, 48, 37	ellspsn5b 21016	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
54	42, 52, 53	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
55	31, 54	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
56	55	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
57	1, 9, 38, 39, 2, 5, 11	islbs 21098	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
58	57	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
59	21, 22, 56, 58	mpbir3and 1342	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
60	20, 59	impbida 800	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  DivRingcdr 20751  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LBasisclbs 21096  LVecclvec 21124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lbs 21097  df-lvec 21125

This theorem is referenced by:  islbs3  21180  lbsacsbs  21181  lbsextlem4  21186  lbslsat  33629