Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islbs2 19620
 Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islbs2 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝐽

Proof of Theorem islbs2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 islbs2.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2lbsss 19543 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
43adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵𝑉)
5 islbs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
61, 2, 5lbssp 19545 . . . 4 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
76adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
8 lveclmod 19572 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
109lvecdrng 19571 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
12 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
1311, 12drngunz 19211 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
158, 14jca 512 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
162, 5, 9, 12, 11lbsind2 19547 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
1715, 16syl3an1 1156 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
18173expa 1111 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
1918ralrimiva 3151 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
204, 7, 193jca 1121 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
21 simpr1 1187 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵𝑉)
22 simpr2 1188 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁𝐵) = 𝑉)
23 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
24 sneq 4488 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
2524difeq2d 4026 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∖ {𝑥}) = (𝐵 ∖ {𝑦}))
2625fveq2d 6549 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
2723, 26eleq12d 2879 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
2827notbid 319 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
29 simplr3 1210 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
30 simprl 767 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦𝐵)
3128, 29, 30rspcdva 3567 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
32 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LVec)
33 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
34 eldifsn 4632 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3533, 34sylib 219 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
3621adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝐵𝑉)
3736, 30sseldd 3896 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑦𝑉)
38 eqid 2797 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
39 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
401, 9, 38, 39, 11, 5lspsnvs 19580 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
4132, 35, 37, 40syl3anc 1364 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) = (𝑁‘{𝑦}))
4241sseq1d 3925 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
43 eqid 2797 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
448adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
4544adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑊 ∈ LMod)
4636ssdifssd 4046 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉)
471, 43, 5lspcl 19442 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4845, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
4935simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
501, 9, 38, 39lmodvscl 19345 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5145, 49, 37, 50syl3anc 1364 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
521, 43, 5, 45, 48, 51lspsnel5 19461 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{(𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦)}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
531, 43, 5, 45, 48, 37lspsnel5 19461 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → (𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
5442, 52, 533bitr4d 312 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ((𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦}))))
5531, 54mtbird 326 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))) → ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
5655ralrimivva 3160 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))
571, 9, 38, 39, 2, 5, 11islbs 19542 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
5857adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑧( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑦})))))
5921, 22, 56, 58mpbir3and 1335 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵𝐽)
6020, 59impbida 797 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ∀wral 3107   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865  {csn 4478  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  Scalarcsca 16401   ·𝑠 cvsca 16402  0gc0g 16546  1rcur 18945  DivRingcdr 19196  LModclmod 19328  LSubSpclss 19397  LSpanclspn 19437  LBasisclbs 19540  LVecclvec 19568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-drng 19198  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-lsp 19438  df-lbs 19541  df-lvec 19569 This theorem is referenced by:  islbs3  19621  lbsacsbs  19622  lbsextlem4  19627  lbslsat  30614
 Copyright terms: Public domain W3C validator