Theorem frlmup4 21821

Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup4	⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		frlmup4.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))
6		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup4.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	frlmup1 21818	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)) ∈ V
13	12, 5	fnmpti 6711	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
14	8	lmodring 20866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		frlmup4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
17	16, 1, 2	uvcff 21811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
18	15, 7, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
19	18	ffnd 6737	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
20	18	frnd 6744	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
21		fnco 6686	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
22	13, 19, 20, 21	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
23		ffn 6736	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 → 𝐴 Fn 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
25	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
26	25	ffnd 6737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
28		fvco2 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
30		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
31		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
32	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
33		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
34	1, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16	frlmup2 21819	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
35	29, 34	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴‘𝑦))
36	22, 24, 35	eqfnfvd 7054	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
37		coeq1 5868	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
38	37	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
39	38	rspcev 3622	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
40	11, 36, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
41	18	ffund 6740	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → Fun 𝑈)
42		funcoeqres 6879	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
44	43	ralrimivw 3150	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
47	1, 16, 46	frlmlbs 21817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
48	15, 7, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
49		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
50	2, 46, 49	lbssp 21078	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
51	48, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
52	2, 49	lspextmo 21055	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
53	20, 51, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
54		rmoim 3746	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
55	45, 53, 54	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
56		reu5 3382	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
57	40, 55, 56	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684  ran crn 5686   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301   Σ_g cgsu 17485  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969   LMHom clmhm 21018  LBasisclbs 21073   freeLMod cfrlm 21766   unitVec cuvc 21802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lbs 21074  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803

This theorem is referenced by: (None)