Theorem frlmup4 21748

Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup4	⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		frlmup4.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))
6		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup4.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	frlmup1 21745	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12		ovex 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)) ∈ V
13	12, 5	fnmpti 6678	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
14	8	lmodring 20812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		frlmup4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
17	16, 1, 2	uvcff 21738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
18	15, 7, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
19	18	ffnd 6704	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
20	18	frnd 6711	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
21		fnco 6653	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
22	13, 19, 20, 21	mp3an2i 1467	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
23		ffn 6703	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 → 𝐴 Fn 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
25	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
26	25	ffnd 6704	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
28		fvco2 6973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
30		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
31		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
32	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
33		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
34	1, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16	frlmup2 21746	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
35	29, 34	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴‘𝑦))
36	22, 24, 35	eqfnfvd 7021	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
37		coeq1 5835	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
38	37	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
39	38	rspcev 3599	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
40	11, 36, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
41	18	ffund 6707	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → Fun 𝑈)
42		funcoeqres 6846	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
44	43	ralrimivw 3134	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
46		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
47	1, 16, 46	frlmlbs 21744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
48	15, 7, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
49		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
50	2, 46, 49	lbssp 21024	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
51	48, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
52	2, 49	lspextmo 21001	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
53	20, 51, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
54		rmoim 3721	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
55	45, 53, 54	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
56		reu5 3359	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
57	40, 55, 56	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∃!wreu 3355  ∃*wrmo 3356   ⊆ wss 3924   ↦ cmpt 5199  ^◡ccnv 5651  ran crn 5653   ↾ cres 5654   ∘ ccom 5656  Fun wfun 6522   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7664  Basecbs 17215  Scalarcsca 17261   ·_𝑠 cvsca 17262   Σ_g cgsu 17441  Ringcrg 20180  LModclmod 20804  LSpanclspn 20915   LMHom clmhm 20964  LBasisclbs 21019   freeLMod cfrlm 21693   unitVec cuvc 21729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7666  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-supp 8155  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-map 8837  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-fsupp 9369  df-sup 9449  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14010  df-hash 14339  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20460  df-subrg 20517  df-lmod 20806  df-lss 20876  df-lsp 20916  df-lmhm 20967  df-lbs 21020  df-sra 21118  df-rgmod 21119  df-dsmm 21679  df-frlm 21694  df-uvc 21730

This theorem is referenced by: (None)