Theorem frlmup4 21794

Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup4	⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		frlmup4.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))
6		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup4.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	frlmup1 21791	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)) ∈ V
13	12, 5	fnmpti 6636	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
14	8	lmodring 20857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		frlmup4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
17	16, 1, 2	uvcff 21784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
18	15, 7, 17	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
19	18	ffnd 6664	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
20	18	frnd 6671	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
21		fnco 6611	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
22	13, 19, 20, 21	mp3an2i 1469	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
23		ffn 6663	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 → 𝐴 Fn 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
25	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
26	25	ffnd 6664	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
27		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
28		fvco2 6932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
30		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
31		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
32	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
33		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
34	1, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16	frlmup2 21792	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
35	29, 34	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴‘𝑦))
36	22, 24, 35	eqfnfvd 6981	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
37		coeq1 5807	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
38	37	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
39	38	rspcev 3565	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
40	11, 36, 39	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
41	18	ffund 6667	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → Fun 𝑈)
42		funcoeqres 6806	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
44	43	ralrimivw 3134	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
47	1, 16, 46	frlmlbs 21790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
48	15, 7, 47	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
49		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
50	2, 46, 49	lbssp 21069	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
51	48, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
52	2, 49	lspextmo 21046	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
53	20, 51, 52	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
54		rmoim 3687	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
55	45, 53, 54	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
56		reu5 3345	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
57	40, 55, 56	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  ∃*wrmo 3342   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218   Σ_g cgsu 17397  Ringcrg 20208  LModclmod 20849  LSpanclspn 20960   LMHom clmhm 21009  LBasisclbs 21064   freeLMod cfrlm 21739   unitVec cuvc 21775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-nzr 20484  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lmhm 21012  df-lbs 21065  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-uvc 21776

This theorem is referenced by: (None)