Theorem frlmup4 22116

Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup4	⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		frlmup4.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))
6		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup4.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	frlmup1 22113	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12		ovex 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)) ∈ V
13	12, 5	fnmpti 6687	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
14	8	lmodring 21152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		frlmup4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
17	16, 1, 2	uvcff 22106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
18	15, 7, 17	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
19	18	ffnd 6715	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
20	18	frnd 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
21		fnco 6662	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
22	13, 19, 20, 21	mp3an2i 1495	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
23		ffn 6714	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 → 𝐴 Fn 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
25	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
26	25	ffnd 6715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
27		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
28		fvco2 6987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
30		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
31		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
32	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
33		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
34	1, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16	frlmup2 22114	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
35	29, 34	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴‘𝑦))
36	22, 24, 35	eqfnfvd 7037	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
37		coeq1 5836	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
38	37	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
39	38	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
40	11, 36, 39	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
41	18	ffund 6719	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → Fun 𝑈)
42		funcoeqres 6861	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
43	42	ex 418	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
44	43	ralrimivw 3158	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
45	41, 44	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
46		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
47	1, 16, 46	frlmlbs 22112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
48	15, 7, 47	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
49		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
50	2, 46, 49	lbssp 21363	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
51	48, 50	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
52	2, 49	lspextmo 21340	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
53	20, 51, 52	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
54		rmoim 3697	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
55	45, 53, 54	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
56		reu5 3367	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
57	40, 55, 56	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  ∃*wrmo 3364   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695  Basecbs 17396  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441   Σ_g cgsu 17620  Ringcrg 20468  LModclmod 21144  LSpanclspn 21255   LMHom clmhm 21303  LBasisclbs 21358   freeLMod cfrlm 22061   unitVec cuvc 22097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-nzr 20772  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lmhm 21306  df-lbs 21359  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-uvc 22098

This theorem is used by: (None)