MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmup4 21356
Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup4.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡)
frlmup4.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
frlmup4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   π‘š,𝐹   𝑇,π‘š   π‘ˆ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘š)   𝑅(π‘š)   𝐼(π‘š)   𝑋(π‘š)
Proof of Theorem frlmup4
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup4.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
3 frlmup4.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5 eqid 2733 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))
6 simp1 1137 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7 simp2 1138 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup4.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡)
98a1i 11 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
10 simp3 1139 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10frlmup1 21353 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12 ovex 7442 . . . . . 6 (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)) ∈ V
1312, 5fnmpti 6694 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) Fn (Baseβ€˜πΉ)
148lmodring 20479 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15143ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 frlmup4.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
1716, 1, 2uvcff 21346 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΉ))
1815, 7, 17syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΉ))
1918ffnd 6719 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ π‘ˆ Fn 𝐼)
2018frnd 6726 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ran π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
21 fnco 6668 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) Fn (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘ˆ Fn 𝐼 ∧ ran π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) Fn 𝐼)
2213, 19, 20, 21mp3an2i 1467 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) Fn 𝐼)
23 ffn 6718 . . . . 5 (𝐴:𝐼⟢𝐢 β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
24233ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
2518adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΉ))
2625ffnd 6719 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ Fn 𝐼)
27 simpr 486 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
28 fvco2 6989 . . . . . 6 ((π‘ˆ Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦)))
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦)))
30 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
31 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
328a1i 11 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
33 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
341, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16frlmup2 21354 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦)) = (π΄β€˜π‘¦))
3529, 34eqtrd 2773 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ)β€˜π‘¦) = (π΄β€˜π‘¦))
3622, 24, 35eqfnfvd 7036 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
37 coeq1 5858 . . . . 5 (π‘š = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) β†’ (π‘š ∘ π‘ˆ) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ))
3837eqeq1d 2735 . . . 4 (π‘š = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴))
3938rspcev 3613 . . 3 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
4011, 36, 39syl2anc 585 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
4118ffund 6722 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ Fun π‘ˆ)
42 funcoeqres 6865 . . . . . 6 ((Fun π‘ˆ ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴) β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ))
4342ex 414 . . . . 5 (Fun π‘ˆ β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)))
4443ralrimivw 3151 . . . 4 (Fun π‘ˆ β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)))
4541, 44syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)))
46 eqid 2733 . . . . . . 7 (LBasisβ€˜πΉ) = (LBasisβ€˜πΉ)
471, 16, 46frlmlbs 21352 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ ran π‘ˆ ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
4815, 7, 47syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ran π‘ˆ ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
49 eqid 2733 . . . . . 6 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
502, 46, 49lbssp 20690 . . . . 5 (ran π‘ˆ ∈ (LBasisβ€˜πΉ) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran π‘ˆ) = (Baseβ€˜πΉ))
5148, 50syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran π‘ˆ) = (Baseβ€˜πΉ))
522, 49lspextmo 20667 . . . 4 ((ran π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran π‘ˆ) = (Baseβ€˜πΉ)) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ))
5320, 51, 52syl2anc 585 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ))
54 rmoim 3737 . . 3 (βˆ€π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)) β†’ (βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴))
5545, 53, 54sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
56 reu5 3379 . 2 (βˆƒ!π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ↔ (βˆƒπ‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ∧ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴))
5740, 55, 56sylanbrc 584 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆƒ!wreu 3375  βˆƒ*wrmo 3376   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201   Ξ£g cgsu 17386  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  LSpanclspn 20582   LMHom clmhm 20630  LBasisclbs 20685   freeLMod cfrlm 21301   unitVec cuvc 21337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lmhm 20633  df-lbs 20686  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-uvc 21338
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator