MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup4 20948
Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup4.r 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
frlmup4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup4.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3 frlmup4.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
5 eqid 2824 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))
6 simp1 1132 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7 simp2 1133 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐼𝑋)
8 frlmup4.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
98a1i 11 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10 simp3 1134 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴:𝐼𝐶)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10frlmup1 20945 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12 ovex 7192 . . . . . 6 (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)) ∈ V
1312, 5fnmpti 6494 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
148lmodring 19645 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15143ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16 frlmup4.u . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1716, 1, 2uvcff 20938 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
1815, 7, 17syl2anc 586 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
1918ffnd 6518 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
2018frnd 6524 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
21 fnco 6468 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
2213, 19, 20, 21mp3an2i 1462 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
23 ffn 6517 . . . . 5 (𝐴:𝐼𝐶𝐴 Fn 𝐼)
24233ad2ant3 1131 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
2518adantr 483 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
2625ffnd 6518 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
27 simpr 487 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
28 fvco2 6761 . . . . . 6 ((𝑈 Fn 𝐼𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
2926, 27, 28syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
30 simpl1 1187 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
31 simpl2 1188 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑋)
328a1i 11 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
33 simpl3 1189 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐴:𝐼𝐶)
341, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16frlmup2 20946 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)) = (𝐴𝑦))
3529, 34eqtrd 2859 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴𝑦))
3622, 24, 35eqfnfvd 6808 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
37 coeq1 5731 . . . . 5 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → (𝑚𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
3837eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → ((𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
3938rspcev 3626 . . 3 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
4011, 36, 39syl2anc 586 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
4118ffund 6521 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → Fun 𝑈)
42 funcoeqres 6648 . . . . . 6 ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
4342ex 415 . . . . 5 (Fun 𝑈 → ((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4443ralrimivw 3186 . . . 4 (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4541, 44syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
46 eqid 2824 . . . . . . 7 (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
471, 16, 46frlmlbs 20944 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
4815, 7, 47syl2anc 586 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
49 eqid 2824 . . . . . 6 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
502, 46, 49lbssp 19854 . . . . 5 (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
5148, 50syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
522, 49lspextmo 19831 . . . 4 ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
5320, 51, 52syl2anc 586 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
54 rmoim 3734 . . 3 (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
5545, 53, 54sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
56 reu5 3433 . 2 (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
5740, 55, 56sylanbrc 585 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wral 3141  wrex 3142  ∃!wreu 3143  ∃*wrmo 3144  wss 3939  cmpt 5149  ccnv 5557  ran crn 5559  cres 5560  ccom 5562  Fun wfun 6352   Fn wfn 6353  wf 6354  cfv 6358  (class class class)co 7159  f cof 7410  Basecbs 16486  Scalarcsca 16571   ·𝑠 cvsca 16572   Σg cgsu 16717  Ringcrg 19300  LModclmod 19637  LSpanclspn 19746   LMHom clmhm 19794  LBasisclbs 19849   freeLMod cfrlm 20893   unitVec cuvc 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lmhm 19797  df-lbs 19850  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-nzr 20034  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-uvc 20930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator