Theorem frlmup4 21752

Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup4.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
frlmup4	⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3		frlmup4.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))
6		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup4.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	frlmup1 21749	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)) ∈ V
13	12, 5	fnmpti 6699	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
14	8	lmodring 20763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		frlmup4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
17	16, 1, 2	uvcff 21742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
18	15, 7, 17	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
19	18	ffnd 6724	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
20	18	frnd 6731	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
21		fnco 6673	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
22	13, 19, 20, 21	mp3an2i 1462	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
23		ffn 6723	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝐼⟶𝐶 → 𝐴 Fn 𝐼)
24	23	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
25	18	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
26	25	ffnd 6724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
27		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
28		fvco2 6994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
29	26, 27, 28	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)))
30		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
31		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
32	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
33		simpl3 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
34	1, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16	frlmup2 21750	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴)))‘(𝑈‘𝑦)) = (𝐴‘𝑦))
35	29, 34	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴‘𝑦))
36	22, 24, 35	eqfnfvd 7042	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
37		coeq1 5860	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → (𝑚 ∘ 𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
38	37	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
39	38	rspcev 3606	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
40	11, 36, 39	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
41	18	ffund 6727	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → Fun 𝑈)
42		funcoeqres 6869	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
43	42	ex 411	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
44	43	ralrimivw 3139	. . . 4 ⊢ (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
45	41, 44	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)))
46		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
47	1, 16, 46	frlmlbs 21748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
48	15, 7, 47	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
49		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
50	2, 46, 49	lbssp 20976	. . . . 5 ⊢ (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
51	48, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
52	2, 49	lspextmo 20953	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
53	20, 51, 52	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈))
54		rmoim 3732	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴 ∘ ◡𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
55	45, 53, 54	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)
56		reu5 3365	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴))
57	40, 55, 56	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  ∃!wreu 3361  ∃*wrmo 3362   ⊆ wss 3944   ↦ cmpt 5232  ^◡ccnv 5677  ran crn 5679   ↾ cres 5680   ∘ ccom 5682  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7683  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240   Σ_g cgsu 17425  Ringcrg 20185  LModclmod 20755  LSpanclspn 20867   LMHom clmhm 20916  LBasisclbs 20971   freeLMod cfrlm 21697   unitVec cuvc 21733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-nzr 20464  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lmhm 20919  df-lbs 20972  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-uvc 21734

This theorem is referenced by: (None)