MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup4 21752
Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup4.r 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
frlmup4.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
frlmup4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐹   𝑇,𝑚   𝑈,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚)   𝑅(𝑚)   𝐼(𝑚)   𝑋(𝑚)

Proof of Theorem frlmup4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup4.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
3 frlmup4.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
4 eqid 2725 . . . 4 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
5 eqid 2725 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))
6 simp1 1133 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
7 simp2 1134 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐼𝑋)
8 frlmup4.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑇)
98a1i 11 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
10 simp3 1135 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴:𝐼𝐶)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10frlmup1 21749 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12 ovex 7452 . . . . . 6 (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)) ∈ V
1312, 5fnmpti 6699 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹)
148lmodring 20763 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16 frlmup4.u . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1716, 1, 2uvcff 21742 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
1815, 7, 17syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
1918ffnd 6724 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
2018frnd 6731 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
21 fnco 6673 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) Fn (Base‘𝐹) ∧ 𝑈 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
2213, 19, 20, 21mp3an2i 1462 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) Fn 𝐼)
23 ffn 6723 . . . . 5 (𝐴:𝐼𝐶𝐴 Fn 𝐼)
24233ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → 𝐴 Fn 𝐼)
2518adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
2625ffnd 6724 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
27 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
28 fvco2 6994 . . . . . 6 ((𝑈 Fn 𝐼𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)))
30 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
31 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑋)
328a1i 11 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
33 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐴:𝐼𝐶)
341, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16frlmup2 21750 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴)))‘(𝑈𝑦)) = (𝐴𝑦))
3529, 34eqtrd 2765 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈)‘𝑦) = (𝐴𝑦))
3622, 24, 35eqfnfvd 7042 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴)
37 coeq1 5860 . . . . 5 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → (𝑚𝑈) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈))
3837eqeq1d 2727 . . . 4 (𝑚 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) → ((𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴))
3938rspcev 3606 . . 3 (((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↦ (𝑇 Σg (𝑥f ( ·𝑠𝑇)𝐴))) ∘ 𝑈) = 𝐴) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
4011, 36, 39syl2anc 582 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
4118ffund 6727 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → Fun 𝑈)
42 funcoeqres 6869 . . . . . 6 ((Fun 𝑈 ∧ (𝑚𝑈) = 𝐴) → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
4342ex 411 . . . . 5 (Fun 𝑈 → ((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4443ralrimivw 3139 . . . 4 (Fun 𝑈 → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
4541, 44syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)))
46 eqid 2725 . . . . . . 7 (LBasis‘𝐹) = (LBasis‘𝐹)
471, 16, 46frlmlbs 21748 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
4815, 7, 47syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹))
49 eqid 2725 . . . . . 6 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
502, 46, 49lbssp 20976 . . . . 5 (ran 𝑈 ∈ (LBasis‘𝐹) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
5148, 50syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
522, 49lspextmo 20953 . . . 4 ((ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹)) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
5320, 51, 52syl2anc 582 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈))
54 rmoim 3732 . . 3 (∀𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((𝑚𝑈) = 𝐴 → (𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈)) → (∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚 ↾ ran 𝑈) = (𝐴𝑈) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
5545, 53, 54sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
56 reu5 3365 . 2 (∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ↔ (∃𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴 ∧ ∃*𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴))
5740, 55, 56sylanbrc 581 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑋𝐴:𝐼𝐶) → ∃!𝑚 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(𝑚𝑈) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  ∃!wreu 3361  ∃*wrmo 3362  wss 3944  cmpt 5232  ccnv 5677  ran crn 5679  cres 5680  ccom 5682  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240   Σg cgsu 17425  Ringcrg 20185  LModclmod 20755  LSpanclspn 20867   LMHom clmhm 20916  LBasisclbs 20971   freeLMod cfrlm 21697   unitVec cuvc 21733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-nzr 20464  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lmhm 20919  df-lbs 20972  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-uvc 21734
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator