MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmup4 21575
Description: Universal property of the free module by existential uniqueness. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup4.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡)
frlmup4.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup4.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmup4.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
frlmup4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   π‘š,𝐹   𝑇,π‘š   π‘ˆ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘š)   𝑅(π‘š)   𝐼(π‘š)   𝑋(π‘š)
Proof of Theorem frlmup4
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup4.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
3 frlmup4.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
4 eqid 2730 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5 eqid 2730 . . . 4 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))
6 simp1 1134 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
7 simp2 1135 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup4.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡)
98a1i 11 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
10 simp3 1136 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10frlmup1 21572 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
12 ovex 7444 . . . . . 6 (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)) ∈ V
1312, 5fnmpti 6692 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) Fn (Baseβ€˜πΉ)
148lmodring 20622 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15143ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 frlmup4.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
1716, 1, 2uvcff 21565 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΉ))
1815, 7, 17syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΉ))
1918ffnd 6717 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ π‘ˆ Fn 𝐼)
2018frnd 6724 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ran π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
21 fnco 6666 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) Fn (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘ˆ Fn 𝐼 ∧ ran π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) Fn 𝐼)
2213, 19, 20, 21mp3an2i 1464 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) Fn 𝐼)
23 ffn 6716 . . . . 5 (𝐴:𝐼⟢𝐢 β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
24233ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
2518adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΉ))
2625ffnd 6717 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘ˆ Fn 𝐼)
27 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
28 fvco2 6987 . . . . . 6 ((π‘ˆ Fn 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦)))
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ)β€˜π‘¦) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦)))
30 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
31 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
328a1i 11 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
33 simpl3 1191 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
341, 2, 3, 4, 5, 30, 31, 32, 33, 27, 16frlmup2 21573 . . . . 5 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴)))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘¦)) = (π΄β€˜π‘¦))
3529, 34eqtrd 2770 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ)β€˜π‘¦) = (π΄β€˜π‘¦))
3622, 24, 35eqfnfvd 7034 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
37 coeq1 5856 . . . . 5 (π‘š = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) β†’ (π‘š ∘ π‘ˆ) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ))
3837eqeq1d 2732 . . . 4 (π‘š = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴))
3938rspcev 3611 . . 3 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘‡)𝐴))) ∘ π‘ˆ) = 𝐴) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
4011, 36, 39syl2anc 582 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
4118ffund 6720 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ Fun π‘ˆ)
42 funcoeqres 6863 . . . . . 6 ((Fun π‘ˆ ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴) β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ))
4342ex 411 . . . . 5 (Fun π‘ˆ β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)))
4443ralrimivw 3148 . . . 4 (Fun π‘ˆ β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)))
4541, 44syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)))
46 eqid 2730 . . . . . . 7 (LBasisβ€˜πΉ) = (LBasisβ€˜πΉ)
471, 16, 46frlmlbs 21571 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ ran π‘ˆ ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
4815, 7, 47syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ran π‘ˆ ∈ (LBasisβ€˜πΉ))
49 eqid 2730 . . . . . 6 (LSpanβ€˜πΉ) = (LSpanβ€˜πΉ)
502, 46, 49lbssp 20834 . . . . 5 (ran π‘ˆ ∈ (LBasisβ€˜πΉ) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran π‘ˆ) = (Baseβ€˜πΉ))
5148, 50syl 17 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran π‘ˆ) = (Baseβ€˜πΉ))
522, 49lspextmo 20811 . . . 4 ((ran π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ∧ ((LSpanβ€˜πΉ)β€˜ran π‘ˆ) = (Baseβ€˜πΉ)) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ))
5320, 51, 52syl2anc 582 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ))
54 rmoim 3735 . . 3 (βˆ€π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 β†’ (π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ)) β†’ (βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š β†Ύ ran π‘ˆ) = (𝐴 ∘ β—‘π‘ˆ) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴))
5545, 53, 54sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
56 reu5 3376 . 2 (βˆƒ!π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ↔ (βˆƒπ‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴 ∧ βˆƒ*π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴))
5740, 55, 56sylanbrc 581 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝐹 LMHom 𝑇)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  βˆƒ!wreu 3372  βˆƒ*wrmo 3373   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205   Ξ£g cgsu 17390  Ringcrg 20127  LModclmod 20614  LSpanclspn 20726   LMHom clmhm 20774  LBasisclbs 20829   freeLMod cfrlm 21520   unitVec cuvc 21556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-nzr 20404  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lmhm 20777  df-lbs 20830  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-uvc 21557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator