Theorem lbslsp 33334

Description: Any element of a left module 𝑀 can be expressed as a linear combination of the elements of a basis 𝑉 of 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsp.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lbslsp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lbslsp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lbslsp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lbslsp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lbslsp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
lbslsp.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
lbslsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem lbslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslsp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))
2		lbslsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑀) = (LBasis‘𝑀)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
5	2, 3, 4	lbssp 21008	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		lbslsp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9		lbslsp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		lbslsp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11		lbslsp.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		lbslsp.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13	2, 3	lbsss 21006	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	4, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 14	ellspds 33325	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
16	7, 15	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745   finSupp cfsupp 9240  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  0_gc0g 17338   Σ_g cgsu 17339  LModclmod 20788  LSpanclspn 20899  LBasisclbs 21003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-nzr 20423  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lmhm 20951  df-lbs 21004  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-uvc 21715

This theorem is referenced by:  extdg1id  33671