Theorem lbslsp 32481

Description: Any element of a left module 𝑀 can be expressed as a linear combination of the elements of a basis 𝑉 of 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsp.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lbslsp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lbslsp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lbslsp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lbslsp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lbslsp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
lbslsp.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
lbslsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem lbslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslsp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))
2		lbslsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑀) = (LBasis‘𝑀)
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
5	2, 3, 4	lbssp 20682	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		lbslsp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9		lbslsp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		lbslsp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11		lbslsp.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		lbslsp.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13	2, 3	lbsss 20680	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	4, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 14	ellspds 32469	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
16	7, 15	bitr3d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LBasisclbs 20677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lbs 20678  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329

This theorem is referenced by:  extdg1id  32730