Theorem lbslsp 33385

Description: Any element of a left module 𝑀 can be expressed as a linear combination of the elements of a basis 𝑉 of 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsp.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lbslsp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lbslsp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lbslsp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lbslsp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lbslsp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
lbslsp.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
lbslsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem lbslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslsp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))
2		lbslsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑀) = (LBasis‘𝑀)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
5	2, 3, 4	lbssp 21096	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		lbslsp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9		lbslsp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		lbslsp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11		lbslsp.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		lbslsp.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13	2, 3	lbsss 21094	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	4, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 14	ellspds 33376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
16	7, 15	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lbs 21092  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821

This theorem is referenced by:  extdg1id  33691