Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslsp 33092
Description: Any element of a left module 𝑀 can be expressed as a linear combination of the elements of a basis 𝑉 of 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslsp.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
lbslsp.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
lbslsp.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lbslsp.z 0 = (0g𝑆)
lbslsp.t · = ( ·𝑠𝑀)
lbslsp.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
lbslsp.1 (𝜑𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
lbslsp (𝜑 → (𝑋𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem lbslsp
StepHypRef Expression
1 lbslsp.1 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))
2 lbslsp.v . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 eqid 2728 . . . . 5 (LBasis‘𝑀) = (LBasis‘𝑀)
4 eqid 2728 . . . . 5 (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
52, 3, 4lbssp 20963 . . . 4 (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
76eleq2d 2815 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ 𝑋𝐵))
8 lbslsp.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
9 lbslsp.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10 lbslsp.z . . 3 0 = (0g𝑆)
11 lbslsp.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑀)
12 lbslsp.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
132, 3lbsss 20961 . . . 4 (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → 𝑉𝐵)
141, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑉𝐵)
154, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 14ellspds 33080 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
167, 15bitr3d 281 1 (𝜑 → (𝑋𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾m 𝑉)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣) · 𝑣))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3067  wss 3947   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  m cmap 8844   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421  LModclmod 20742  LSpanclspn 20854  LBasisclbs 20958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-nzr 20451  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lmhm 20906  df-lbs 20959  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-uvc 21716
This theorem is referenced by:  extdg1id  33351
  Copyright terms: Public domain W3C validator