Theorem lssdimle 33799

Description: The dimension of a linear subspace is less than or equal to the dimension of the parent vector space. This is corollary 5.4 of [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssdimle.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssdimle	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Proof of Theorem lssdimle

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssdimle.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslvec 21106	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ LVec)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑋) = (LBasis‘𝑋)
5	4	lbsex 21165	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ LVec → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
7		n0 4288	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
8	6, 7	sylib 219	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
9		hashss 14369	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
10	9	adantll 720	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
11	4	dimval 33792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
12	3, 11	sylan 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
13	12	ad2antrr 732	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
15	14	dimval 33792	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
16	15	ad5ant14 763	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
17	10, 13, 16	3brtr4d 5111	. . 3 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
18		simpll 772	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
19		lveclmod 21103	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
23		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
24	23, 4	lbsss 21074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
26		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
27	26, 2	lssss 20933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
28	1, 26	ressbas2 17206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	21, 27, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	25, 29	sseqtrrd 3959	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
31	4	lbslinds 21815	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑋) ⊆ (LIndS‘𝑋)
32	31, 22	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋))
33	2, 1	lsslinds 21813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)))
34	33	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
35	20, 21, 30, 32, 34	syl31anc 1381	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
36	14	islinds4 21817	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤))
37	36	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤)
38	18, 35, 37	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤)
39	17, 38	r19.29a 3148	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
40	8, 39	exlimddv 1942	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ≤ cle 11178  ♯chash 14290  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  LModclmod 20857  LSubSpclss 20928  LBasisclbs 21071  LVecclvec 21099  LIndSclinds 21787  dimcldim 33790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-rpss 7673  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9422  df-r1 9686  df-rank 9687  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ocomp 17239  df-0g 17402  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-mri 17548  df-acs 17549  df-proset 18258  df-drs 18259  df-poset 18277  df-ipo 18492  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20492  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lbs 21072  df-lvec 21100  df-lindf 21788  df-linds 21789  df-dim 33791

This theorem is referenced by:  drngdimgt0  33809