Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssdimle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssdimle 32345
Description: The dimension of a linear subspace is less than or equal to the dimension of the parent vector space. This is corollary 5.4 of [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lssdimle.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lssdimle ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (dimβ€˜π‘‹) ≀ (dimβ€˜π‘Š))

Proof of Theorem lssdimle
Dummy variables 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssdimle.x . . . . 5 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
2 eqid 2737 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lsslvec 20584 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ LVec)
4 eqid 2737 . . . . 5 (LBasisβ€˜π‘‹) = (LBasisβ€˜π‘‹)
54lbsex 20642 . . . 4 (𝑋 ∈ LVec β†’ (LBasisβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
63, 5syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (LBasisβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
7 n0 4311 . . 3 ((LBasisβ€˜π‘‹) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹))
86, 7sylib 217 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹))
9 hashss 14316 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑀) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ≀ (β™―β€˜π‘€))
109adantll 713 . . . 4 (((((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑀) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ≀ (β™―β€˜π‘€))
114dimval 32340 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LVec ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ (dimβ€˜π‘‹) = (β™―β€˜π‘₯))
123, 11sylan 581 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ (dimβ€˜π‘‹) = (β™―β€˜π‘₯))
1312ad2antrr 725 . . . 4 (((((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑀) β†’ (dimβ€˜π‘‹) = (β™―β€˜π‘₯))
14 eqid 2737 . . . . . 6 (LBasisβ€˜π‘Š) = (LBasisβ€˜π‘Š)
1514dimval 32340 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)) β†’ (dimβ€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘€))
1615ad5ant14 757 . . . 4 (((((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑀) β†’ (dimβ€˜π‘Š) = (β™―β€˜π‘€))
1710, 13, 163brtr4d 5142 . . 3 (((((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑀 ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑀) β†’ (dimβ€˜π‘‹) ≀ (dimβ€˜π‘Š))
18 simpll 766 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
19 lveclmod 20583 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2019ad2antrr 725 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 simplr 768 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
22 simpr 486 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹))
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
2423, 4lbsss 20554 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘‹))
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2726, 2lssss 20413 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
281, 26ressbas2 17127 . . . . . . 7 (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2921, 27, 283syl 18 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
3025, 29sseqtrrd 3990 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
314lbslinds 21255 . . . . . 6 (LBasisβ€˜π‘‹) βŠ† (LIndSβ€˜π‘‹)
3231, 22sselid 3947 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹))
332, 1lsslinds 21253 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹) ↔ π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
3433biimpa 478 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘‹)) β†’ π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
3520, 21, 30, 32, 34syl31anc 1374 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
3614islinds4 21257 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)π‘₯ βŠ† 𝑀))
3736biimpa 478 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘₯ ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)π‘₯ βŠ† 𝑀)
3818, 35, 37syl2anc 585 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (LBasisβ€˜π‘Š)π‘₯ βŠ† 𝑀)
3917, 38r19.29a 3160 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (LBasisβ€˜π‘‹)) β†’ (dimβ€˜π‘‹) ≀ (dimβ€˜π‘Š))
408, 39exlimddv 1939 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (dimβ€˜π‘‹) ≀ (dimβ€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ≀ cle 11197  β™―chash 14237  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LBasisclbs 20551  LVecclvec 20579  LIndSclinds 21227  dimcldim 32338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-reg 9535  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9453  df-r1 9707  df-rank 9708  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ocomp 17161  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-mri 17475  df-acs 17476  df-proset 18191  df-drs 18192  df-poset 18209  df-ipo 18424  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lbs 20552  df-lvec 20580  df-nzr 20744  df-lindf 21228  df-linds 21229  df-dim 32339
This theorem is referenced by:  drngdimgt0  32355
  Copyright terms: Public domain W3C validator