Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssdimle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssdimle 31027
 Description: The dimension of a linear subspace is less than or equal to the dimension of the parent vector space. This is corollary 5.4 of [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lssdimle.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssdimle ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Proof of Theorem lssdimle
Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssdimle.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 eqid 2824 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lsslvec 19865 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ LVec)
4 eqid 2824 . . . . 5 (LBasis‘𝑋) = (LBasis‘𝑋)
54lbsex 19923 . . . 4 (𝑋 ∈ LVec → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
63, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
7 n0 4291 . . 3 ((LBasis‘𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
86, 7sylib 221 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
9 hashss 13764 . . . . 5 ((𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
109adantll 713 . . . 4 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
114dimval 31022 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
123, 11sylan 583 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
1312ad2antrr 725 . . . 4 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
14 eqid 2824 . . . . . 6 (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
1514dimval 31022 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
1615ad5ant14 757 . . . 4 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
1710, 13, 163brtr4d 5079 . . 3 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
18 simpll 766 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
19 lveclmod 19864 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2019ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simplr 768 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
23 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2423, 4lbsss 19835 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
26 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2726, 2lssss 19694 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
281, 26ressbas2 16544 . . . . . . 7 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2921, 27, 283syl 18 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
3025, 29sseqtrrd 3992 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥𝑈)
314lbslinds 20963 . . . . . 6 (LBasis‘𝑋) ⊆ (LIndS‘𝑋)
3231, 22sseldi 3949 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋))
332, 1lsslinds 20961 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)))
3433biimpa 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
3520, 21, 30, 32, 34syl31anc 1370 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
3614islinds4 20965 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥𝑤))
3736biimpa 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥𝑤)
3818, 35, 37syl2anc 587 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥𝑤)
3917, 38r19.29a 3281 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
408, 39exlimddv 1937 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∃wrex 3133   ⊆ wss 3918  ∅c0 4274   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ≤ cle 10661  ♯chash 13684  Basecbs 16472   ↾s cress 16473  LModclmod 19620  LSubSpclss 19689  LBasisclbs 19832  LVecclvec 19860  LIndSclinds 20935  dimcldim 31020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-reg 9040  ax-inf2 9088  ax-ac2 9870  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-rpss 7432  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-r1 9177  df-rank 9178  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-hash 13685  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ocomp 16575  df-0g 16704  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-mri 16848  df-acs 16849  df-proset 17527  df-drs 17528  df-poset 17545  df-ipo 17751  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-drng 19490  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lbs 19833  df-lvec 19861  df-nzr 20017  df-lindf 20936  df-linds 20937  df-dim 31021 This theorem is referenced by:  drngdimgt0  31037
 Copyright terms: Public domain W3C validator