Theorem lssdimle 33334

Description: The dimension of a linear subspace is less than or equal to the dimension of the parent vector space. This is corollary 5.4 of [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssdimle.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssdimle	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Proof of Theorem lssdimle

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssdimle.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslvec 20996	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ LVec)
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑋) = (LBasis‘𝑋)
5	4	lbsex 21055	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ LVec → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
7		n0 4340	. . 3 ⊢ ((LBasis‘𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
8	6, 7	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
9		hashss 14398	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
10	9	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
11	4	dimval 33327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
12	3, 11	sylan 578	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
13	12	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
14		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
15	14	dimval 33327	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
16	15	ad5ant14 756	. . . 4 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
17	10, 13, 16	3brtr4d 5173	. . 3 ⊢ (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑤) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
18		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
19		lveclmod 20993	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
23		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
24	23, 4	lbsss 20964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
26		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
27	26, 2	lssss 20822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
28	1, 26	ressbas2 17215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
29	21, 27, 28	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
30	25, 29	sseqtrrd 4013	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ 𝑈)
31	4	lbslinds 21769	. . . . . 6 ⊢ (LBasis‘𝑋) ⊆ (LIndS‘𝑋)
32	31, 22	sselid 3970	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋))
33	2, 1	lsslinds 21767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)))
34	33	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
35	20, 21, 30, 32, 34	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
36	14	islinds4 21771	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤))
37	36	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤)
38	18, 35, 37	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥 ⊆ 𝑤)
39	17, 38	r19.29a 3152	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
40	8, 39	exlimddv 1930	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939  ∅c0 4316   class class class wbr 5141  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414   ≤ cle 11277  ♯chash 14319  Basecbs 17177   ↾_s cress 17206  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LBasisclbs 20961  LVecclvec 20989  LIndSclinds 21741  dimcldim 33325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-reg 9613  ax-inf2 9662  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rpss 7724  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-oi 9531  df-r1 9785  df-rank 9786  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ocomp 17251  df-0g 17420  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-mri 17565  df-acs 17566  df-proset 18284  df-drs 18285  df-poset 18302  df-ipo 18517  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-nzr 20454  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lbs 20962  df-lvec 20990  df-lindf 21742  df-linds 21743  df-dim 33326

This theorem is referenced by:  drngdimgt0  33345