Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssdimle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssdimle 31687
Description: The dimension of a linear subspace is less than or equal to the dimension of the parent vector space. This is corollary 5.4 of [Lang] p. 141. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lssdimle.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssdimle ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))

Proof of Theorem lssdimle
Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssdimle.x . . . . 5 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 eqid 2740 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lsslvec 20367 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ LVec)
4 eqid 2740 . . . . 5 (LBasis‘𝑋) = (LBasis‘𝑋)
54lbsex 20425 . . . 4 (𝑋 ∈ LVec → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
63, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (LBasis‘𝑋) ≠ ∅)
7 n0 4286 . . 3 ((LBasis‘𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
86, 7sylib 217 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
9 hashss 14122 . . . . 5 ((𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
109adantll 711 . . . 4 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑤))
114dimval 31682 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
123, 11sylan 580 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
1312ad2antrr 723 . . . 4 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (dim‘𝑋) = (♯‘𝑥))
14 eqid 2740 . . . . . 6 (LBasis‘𝑊) = (LBasis‘𝑊)
1514dimval 31682 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
1615ad5ant14 755 . . . 4 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (dim‘𝑊) = (♯‘𝑤))
1710, 13, 163brtr4d 5111 . . 3 (((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) ∧ 𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)) ∧ 𝑥𝑤) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
18 simpll 764 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LVec)
19 lveclmod 20366 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2019ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simplr 766 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋))
23 eqid 2740 . . . . . . . 8 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2423, 4lbsss 20337 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑋))
26 eqid 2740 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2726, 2lssss 20196 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
281, 26ressbas2 16947 . . . . . . 7 (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2921, 27, 283syl 18 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
3025, 29sseqtrrd 3967 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥𝑈)
314lbslinds 21038 . . . . . 6 (LBasis‘𝑋) ⊆ (LIndS‘𝑋)
3231, 22sselid 3924 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋))
332, 1lsslinds 21036 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋) ↔ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)))
3433biimpa 477 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
3520, 21, 30, 32, 34syl31anc 1372 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊))
3614islinds4 21040 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥𝑤))
3736biimpa 477 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑥 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥𝑤)
3818, 35, 37syl2anc 584 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → ∃𝑤 ∈ (LBasis‘𝑊)𝑥𝑤)
3917, 38r19.29a 3220 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (LBasis‘𝑋)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
408, 39exlimddv 1942 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (dim‘𝑋) ≤ (dim‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2110  wne 2945  wrex 3067  wss 3892  c0 4262   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7271  cle 11011  chash 14042  Basecbs 16910  s cress 16939  LModclmod 20121  LSubSpclss 20191  LBasisclbs 20334  LVecclvec 20362  LIndSclinds 21010  dimcldim 31680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-reg 9329  ax-inf2 9377  ax-ac2 10220  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-rpss 7570  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-oi 9247  df-r1 9523  df-rank 9524  df-dju 9660  df-card 9698  df-acn 9701  df-ac 9873  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ocomp 16981  df-0g 17150  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-mri 17295  df-acs 17296  df-proset 18011  df-drs 18012  df-poset 18029  df-ipo 18244  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lbs 20335  df-lvec 20363  df-nzr 20527  df-lindf 21011  df-linds 21012  df-dim 31681
This theorem is referenced by:  drngdimgt0  31697
  Copyright terms: Public domain W3C validator