Theorem lvecdim0 33975

Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element, biconditional version. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim0	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Proof of Theorem lvecdim0

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecdim0.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
2	1	lvecdim0i 33974	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })
3		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
5	4	lbsex 21270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
6		n0 4308	. . . . . . 7 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
7	5, 6	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
8	3, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
9	1	fvexi 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
10	9	snid 4629	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ { 0 }
11		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 = { 0 })
12	10, 11	eleqtrrid 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 0 ∈ 𝑏)
13		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
14	4	lbslinds 21964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LBasis‘𝑉) ⊆ (LIndS‘𝑉)
15		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
16	14, 15	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉))
17	1	0nellinds 33663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉)) → ¬ 0 ∈ 𝑏)
18	13, 16, 17	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → ¬ 0 ∈ 𝑏)
19	12, 18	pm2.65da 828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ¬ 𝑏 = { 0 })
20		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
21		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22	21, 4	lbsss 21179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
23	20, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
24		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (Base‘𝑉) = { 0 })
25	23, 24	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ { 0 })
26		sssn 4793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ { 0 } ↔ (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
27	25, 26	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
28	27	orcomd 884	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = ∅))
29	28	ord 877	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (¬ 𝑏 = { 0 } → 𝑏 = ∅))
30	19, 29	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
31	30, 20	eqeltrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
32	8, 31	exlimddv 1965	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
33	4	dimval 33969	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ ∅ ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
34	3, 32, 33	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
35		hash0 14405	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = 0)
37	2, 36	impbida 812	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590  ‘cfv 6538  0cc0 11101  ♯chash 14368  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  LBasisclbs 21176  LVecclvec 21204  LIndSclinds 21936  dimcldim 33967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-reg 9555  ax-inf2 9611  ax-ac2 10448  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7722  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-oi 9473  df-r1 9737  df-rank 9738  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-mri 17641  df-acs 17642  df-proset 18351  df-drs 18352  df-poset 18370  df-ipo 18585  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lbs 21177  df-lvec 21205  df-lindf 21937  df-linds 21938  df-dim 33968

This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  34001