Theorem lvecdim0 33640

Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element, biconditional version. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim0	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Proof of Theorem lvecdim0

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecdim0.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
2	1	lvecdim0i 33639	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
4		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
5	4	lbsex 21104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
6		n0 4302	. . . . . . 7 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
9	1	fvexi 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
10	9	snid 4614	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ { 0 }
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 = { 0 })
12	10, 11	eleqtrrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 0 ∈ 𝑏)
13		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
14	4	lbslinds 21772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LBasis‘𝑉) ⊆ (LIndS‘𝑉)
15		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
16	14, 15	sselid 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉))
17	1	0nellinds 33342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉)) → ¬ 0 ∈ 𝑏)
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → ¬ 0 ∈ 𝑏)
19	12, 18	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ¬ 𝑏 = { 0 })
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
21		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22	21, 4	lbsss 21013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
24		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (Base‘𝑉) = { 0 })
25	23, 24	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ { 0 })
26		sssn 4777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ { 0 } ↔ (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
27	25, 26	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
28	27	orcomd 871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = ∅))
29	28	ord 864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (¬ 𝑏 = { 0 } → 𝑏 = ∅))
30	19, 29	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
31	30, 20	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
32	8, 31	exlimddv 1936	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
33	4	dimval 33634	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ ∅ ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
34	3, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
35		hash0 14276	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = 0)
37	2, 36	impbida 800	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575  ‘cfv 6486  0cc0 11013  ♯chash 14239  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  LBasisclbs 21010  LVecclvec 21038  LIndSclinds 21744  dimcldim 33632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9485  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-rpss 7662  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-oi 9403  df-r1 9664  df-rank 9665  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ocomp 17184  df-0g 17347  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-mri 17492  df-acs 17493  df-proset 18202  df-drs 18203  df-poset 18221  df-ipo 18436  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lbs 21011  df-lvec 21039  df-lindf 21745  df-linds 21746  df-dim 33633

This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33667