Theorem lvecdim0 33646

Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element, biconditional version. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim0	⊢ (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Proof of Theorem lvecdim0

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecdim0.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑉)
2	1	lvecdim0i 33645	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
4		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
5	4	lbsex 21126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
6		n0 4328	. . . . . . 7 ⊢ ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
9	1	fvexi 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
10	9	snid 4638	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ { 0 }
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 = { 0 })
12	10, 11	eleqtrrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 0 ∈ 𝑏)
13		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
14	4	lbslinds 21793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LBasis‘𝑉) ⊆ (LIndS‘𝑉)
15		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
16	14, 15	sselid 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉))
17	1	0nellinds 33385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉)) → ¬ 0 ∈ 𝑏)
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → ¬ 0 ∈ 𝑏)
19	12, 18	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ¬ 𝑏 = { 0 })
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
21		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
22	21, 4	lbsss 21035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
24		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (Base‘𝑉) = { 0 })
25	23, 24	sseqtrd 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ { 0 })
26		sssn 4802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ { 0 } ↔ (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
27	25, 26	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
28	27	orcomd 871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = ∅))
29	28	ord 864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (¬ 𝑏 = { 0 } → 𝑏 = ∅))
30	19, 29	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
31	30, 20	eqeltrrd 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
32	8, 31	exlimddv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
33	4	dimval 33640	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ ∅ ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
34	3, 32, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
35		hash0 14385	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2786	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = 0)
37	2, 36	impbida 800	1 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ‘cfv 6531  0cc0 11129  ♯chash 14348  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  LBasisclbs 21032  LVecclvec 21060  LIndSclinds 21765  dimcldim 33638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-reg 9606  ax-inf2 9655  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rpss 7717  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9524  df-r1 9778  df-rank 9779  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ocomp 17292  df-0g 17455  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-mri 17600  df-acs 17601  df-proset 18306  df-drs 18307  df-poset 18325  df-ipo 18538  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lbs 21033  df-lvec 21061  df-lindf 21766  df-linds 21767  df-dim 33639

This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33673