Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecdim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdim0 33300
Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element, biconditional version. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim0.1 0 = (0gβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
lvecdim0 (𝑉 ∈ LVec β†’ ((dimβ€˜π‘‰) = 0 ↔ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }))

Proof of Theorem lvecdim0
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lvecdim0.1 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘‰)
21lvecdim0i 33299 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dimβ€˜π‘‰) = 0) β†’ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 })
3 simpl 482 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
4 eqid 2728 . . . . . . . 8 (LBasisβ€˜π‘‰) = (LBasisβ€˜π‘‰)
54lbsex 21052 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LVec β†’ (LBasisβ€˜π‘‰) β‰  βˆ…)
6 n0 4347 . . . . . . 7 ((LBasisβ€˜π‘‰) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
75, 6sylib 217 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
83, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) β†’ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
91fvexi 6911 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
109snid 4665 . . . . . . . . 9 0 ∈ { 0 }
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) ∧ 𝑏 = { 0 }) β†’ 𝑏 = { 0 })
1210, 11eleqtrrid 2836 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) ∧ 𝑏 = { 0 }) β†’ 0 ∈ 𝑏)
13 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) ∧ 𝑏 = { 0 }) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
144lbslinds 21766 . . . . . . . . . 10 (LBasisβ€˜π‘‰) βŠ† (LIndSβ€˜π‘‰)
15 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) ∧ 𝑏 = { 0 }) β†’ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
1614, 15sselid 3978 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) ∧ 𝑏 = { 0 }) β†’ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘‰))
1710nellinds 33082 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LIndSβ€˜π‘‰)) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝑏)
1813, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) ∧ 𝑏 = { 0 }) β†’ Β¬ 0 ∈ 𝑏)
1912, 18pm2.65da 816 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ Β¬ 𝑏 = { 0 })
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
21 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
2221, 4lbsss 20961 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰) β†’ 𝑏 βŠ† (Baseβ€˜π‘‰))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 βŠ† (Baseβ€˜π‘‰))
24 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 })
2523, 24sseqtrd 4020 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 βŠ† { 0 })
26 sssn 4830 . . . . . . . . . 10 (𝑏 βŠ† { 0 } ↔ (𝑏 = βˆ… ∨ 𝑏 = { 0 }))
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (𝑏 = βˆ… ∨ 𝑏 = { 0 }))
2827orcomd 870 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = βˆ…))
2928ord 863 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (Β¬ 𝑏 = { 0 } β†’ 𝑏 = βˆ…))
3019, 29mpd 15 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ 𝑏 = βˆ…)
3130, 20eqeltrrd 2830 . . . . 5 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ βˆ… ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
328, 31exlimddv 1931 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) β†’ βˆ… ∈ (LBasisβ€˜π‘‰))
334dimval 33294 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ βˆ… ∈ (LBasisβ€˜π‘‰)) β†’ (dimβ€˜π‘‰) = (β™―β€˜βˆ…))
343, 32, 33syl2anc 583 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) β†’ (dimβ€˜π‘‰) = (β™―β€˜βˆ…))
35 hash0 14358 . . 3 (β™―β€˜βˆ…) = 0
3634, 35eqtrdi 2784 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }) β†’ (dimβ€˜π‘‰) = 0)
372, 36impbida 800 1 (𝑉 ∈ LVec β†’ ((dimβ€˜π‘‰) = 0 ↔ (Baseβ€˜π‘‰) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629  β€˜cfv 6548  0cc0 11138  β™―chash 14321  Basecbs 17179  0gc0g 17420  LBasisclbs 20958  LVecclvec 20986  LIndSclinds 21738  dimcldim 33292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9615  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rpss 7728  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-oi 9533  df-r1 9787  df-rank 9788  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-ac 10139  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ocomp 17253  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-mri 17567  df-acs 17568  df-proset 18286  df-drs 18287  df-poset 18304  df-ipo 18519  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lbs 20959  df-lvec 20987  df-lindf 21739  df-linds 21740  df-dim 33293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator