Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecdim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdim0 31035
 Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element, biconditional version. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim0.1 0 = (0g𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecdim0 (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Proof of Theorem lvecdim0
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lvecdim0.1 . . 3 0 = (0g𝑉)
21lvecdim0i 31034 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })
3 simpl 486 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
4 eqid 2824 . . . . . . . 8 (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
54lbsex 19932 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
6 n0 4293 . . . . . . 7 ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
75, 6sylib 221 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
83, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
91fvexi 6673 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
109snid 4586 . . . . . . . . 9 0 ∈ { 0 }
11 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 = { 0 })
1210, 11eleqtrrid 2923 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 0𝑏)
13 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
144lbslinds 20972 . . . . . . . . . 10 (LBasis‘𝑉) ⊆ (LIndS‘𝑉)
15 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
1614, 15sseldi 3951 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉))
1710nellinds 30962 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉)) → ¬ 0𝑏)
1813, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → ¬ 0𝑏)
1912, 18pm2.65da 816 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ¬ 𝑏 = { 0 })
20 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
21 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
2221, 4lbsss 19844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
24 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (Base‘𝑉) = { 0 })
2523, 24sseqtrd 3993 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ { 0 })
26 sssn 4744 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ⊆ { 0 } ↔ (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
2725, 26sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
2827orcomd 868 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = ∅))
2928ord 861 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (¬ 𝑏 = { 0 } → 𝑏 = ∅))
3019, 29mpd 15 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
3130, 20eqeltrrd 2917 . . . . 5 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
328, 31exlimddv 1937 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
334dimval 31031 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ ∅ ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
343, 32, 33syl2anc 587 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
35 hash0 13731 . . 3 (♯‘∅) = 0
3634, 35syl6eq 2875 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = 0)
372, 36impbida 800 1 (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  {csn 4550  ‘cfv 6344  0cc0 10531  ♯chash 13693  Basecbs 16481  0gc0g 16711  LBasisclbs 19841  LVecclvec 19869  LIndSclinds 20944  dimcldim 31029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-reg 9049  ax-inf2 9097  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-rpss 7440  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-oi 8967  df-r1 9186  df-rank 9187  df-dju 9323  df-card 9361  df-acn 9364  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-hash 13694  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ocomp 16584  df-0g 16713  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-mri 16857  df-acs 16858  df-proset 17536  df-drs 17537  df-poset 17554  df-ipo 17760  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-subg 18274  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-drng 19499  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lbs 19842  df-lvec 19870  df-lindf 20945  df-linds 20946  df-dim 31030 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator