Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecdim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdim0 33657
Description: A vector space of dimension zero is reduced to its identity element, biconditional version. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim0.1 0 = (0g𝑉)
Assertion
Ref Expression
lvecdim0 (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))

Proof of Theorem lvecdim0
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lvecdim0.1 . . 3 0 = (0g𝑉)
21lvecdim0i 33656 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (dim‘𝑉) = 0) → (Base‘𝑉) = { 0 })
3 simpl 482 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
54lbsex 21167 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ LVec → (LBasis‘𝑉) ≠ ∅)
6 n0 4353 . . . . . . 7 ((LBasis‘𝑉) ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
75, 6sylib 218 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
83, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
91fvexi 6920 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
109snid 4662 . . . . . . . . 9 0 ∈ { 0 }
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 = { 0 })
1210, 11eleqtrrid 2848 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 0𝑏)
13 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑉 ∈ LVec)
144lbslinds 21853 . . . . . . . . . 10 (LBasis‘𝑉) ⊆ (LIndS‘𝑉)
15 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
1614, 15sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉))
1710nellinds 33398 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑏 ∈ (LIndS‘𝑉)) → ¬ 0𝑏)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) ∧ 𝑏 = { 0 }) → ¬ 0𝑏)
1912, 18pm2.65da 817 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ¬ 𝑏 = { 0 })
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
2221, 4lbsss 21076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ (Base‘𝑉))
24 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (Base‘𝑉) = { 0 })
2523, 24sseqtrd 4020 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 ⊆ { 0 })
26 sssn 4826 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ⊆ { 0 } ↔ (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
2725, 26sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = ∅ ∨ 𝑏 = { 0 }))
2827orcomd 872 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = ∅))
2928ord 865 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → (¬ 𝑏 = { 0 } → 𝑏 = ∅))
3019, 29mpd 15 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → 𝑏 = ∅)
3130, 20eqeltrrd 2842 . . . . 5 (((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) ∧ 𝑏 ∈ (LBasis‘𝑉)) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
328, 31exlimddv 1935 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → ∅ ∈ (LBasis‘𝑉))
334dimval 33651 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ ∅ ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
343, 32, 33syl2anc 584 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = (♯‘∅))
35 hash0 14406 . . 3 (♯‘∅) = 0
3634, 35eqtrdi 2793 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (Base‘𝑉) = { 0 }) → (dim‘𝑉) = 0)
372, 36impbida 801 1 (𝑉 ∈ LVec → ((dim‘𝑉) = 0 ↔ (Base‘𝑉) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cfv 6561  0cc0 11155  chash 14369  Basecbs 17247  0gc0g 17484  LBasisclbs 21073  LVecclvec 21101  LIndSclinds 21825  dimcldim 33649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-dim 33650
This theorem is referenced by:  lvecendof1f1o  33684
  Copyright terms: Public domain W3C validator