MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbspss 21099
Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o 1 = (1r𝐹)
lbsind2.z 0 = (0g𝐹)
lbspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbspss (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4477 . . 3 (𝐶𝐵 → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶))
213ad2ant3 1134 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶))
3 simpl2 1191 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐵𝐽)
4 lbspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lbsind2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
64, 5lbsss 21094 . . . . . 6 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐵𝑉)
8 simprl 771 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑥𝐵)
97, 8sseldd 3996 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑥𝑉)
10 simpl1l 1223 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
117ssdifssd 4157 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶𝐵)
1312pssssd 4110 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶𝐵)
1413sseld 3994 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦𝐵))
15 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥𝐶)
16 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐶𝑥𝐶))
1716notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦𝐶 ↔ ¬ 𝑥𝐶))
1815, 17syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦𝐶))
1918necon2ad 2953 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦𝑥))
2014, 19jcad 512 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶 → (𝑦𝐵𝑦𝑥)))
21 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝑥))
2220, 21imbitrrdi 252 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
2322ssrdv 4001 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24 lbsind2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
254, 24lspss 21000 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
2610, 11, 23, 25syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑁𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27 simpl1r 1224 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 10 )
28 lbsind2.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29 lbsind2.o . . . . . . 7 1 = (1r𝐹)
30 lbsind2.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐹)
315, 24, 28, 29, 30lbsind2 21098 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
3210, 27, 3, 8, 31syl211anc 1375 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
3326, 32ssneldd 3998 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝐶))
34 nelne1 3037 . . . 4 ((𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁𝐶))
359, 33, 34syl2anc 584 . . 3 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁𝐶))
3635necomd 2994 . 2 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)
372, 36exlimddv 1933 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  wss 3963  wpss 3964  {csn 4631  cfv 6563  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  1rcur 20199  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lbs 21092
This theorem is referenced by:  islbs3  21175
  Copyright terms: Public domain W3C validator