MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbspss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lbspss 20693
Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsind2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsind2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lbsind2.o 1 = (1rβ€˜πΉ)
lbsind2.z 0 = (0gβ€˜πΉ)
lbspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lbspss (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
Proof of Theorem lbspss
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4471 . . 3 (𝐢 ⊊ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
213ad2ant3 1136 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
3 simpl2 1193 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
4 lbspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lbsind2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
64, 5lbsss 20688 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
8 simprl 770 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
97, 8sseldd 3984 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
10 simpl1l 1225 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
117ssdifssd 4143 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
12 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 ⊊ 𝐡)
1312pssssd 4098 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
1413sseld 3982 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
15 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)
16 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ ∈ 𝐢))
1716notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐢 ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
1815, 17syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 = π‘₯ β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐢))
1918necon2ad 2956 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 β‰  π‘₯))
2014, 19jcad 514 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯)))
21 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯))
2220, 21syl6ibr 252 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})))
2322ssrdv 3989 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 βŠ† (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
24 lbsind2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
254, 24lspss 20595 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝐢 βŠ† (𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘β€˜πΆ) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
2610, 11, 23, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘β€˜πΆ) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
27 simpl1r 1226 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 1 β‰  0 )
28 lbsind2.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
29 lbsind2.o . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜πΉ)
30 lbsind2.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜πΉ)
315, 24, 28, 29, 30lbsind2 20692 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
3210, 27, 3, 8, 31syl211anc 1377 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
3326, 32ssneldd 3986 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜πΆ))
34 nelne1 3040 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜πΆ)) β†’ 𝑉 β‰  (π‘β€˜πΆ))
359, 33, 34syl2anc 585 . . 3 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑉 β‰  (π‘β€˜πΆ))
3635necomd 2997 . 2 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
372, 36exlimddv 1939 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  {csn 4629  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  1rcur 20004  LModclmod 20471  LSpanclspn 20582  LBasisclbs 20685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lbs 20686
This theorem is referenced by:  islbs3  20768
  Copyright terms: Public domain W3C validator