MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbspss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lbspss 20692
Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsind2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsind2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lbsind2.o 1 = (1rβ€˜πΉ)
lbsind2.z 0 = (0gβ€˜πΉ)
lbspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lbspss (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
Proof of Theorem lbspss
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4470 . . 3 (𝐢 ⊊ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
213ad2ant3 1135 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
3 simpl2 1192 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
4 lbspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lbsind2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
64, 5lbsss 20687 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
8 simprl 769 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
97, 8sseldd 3983 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
10 simpl1l 1224 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
117ssdifssd 4142 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
12 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 ⊊ 𝐡)
1312pssssd 4097 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
1413sseld 3981 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
15 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)
16 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ ∈ 𝐢))
1716notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐢 ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
1815, 17syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 = π‘₯ β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐢))
1918necon2ad 2955 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 β‰  π‘₯))
2014, 19jcad 513 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯)))
21 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯))
2220, 21syl6ibr 251 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})))
2322ssrdv 3988 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 βŠ† (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
24 lbsind2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
254, 24lspss 20594 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝐢 βŠ† (𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘β€˜πΆ) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
2610, 11, 23, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘β€˜πΆ) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
27 simpl1r 1225 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 1 β‰  0 )
28 lbsind2.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
29 lbsind2.o . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜πΉ)
30 lbsind2.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜πΉ)
315, 24, 28, 29, 30lbsind2 20691 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
3210, 27, 3, 8, 31syl211anc 1376 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
3326, 32ssneldd 3985 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜πΆ))
34 nelne1 3039 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜πΆ)) β†’ 𝑉 β‰  (π‘β€˜πΆ))
359, 33, 34syl2anc 584 . . 3 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑉 β‰  (π‘β€˜πΆ))
3635necomd 2996 . 2 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
372, 36exlimddv 1938 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  1rcur 20003  LModclmod 20470  LSpanclspn 20581  LBasisclbs 20684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lbs 20685
This theorem is referenced by:  islbs3  20767
  Copyright terms: Public domain W3C validator