Theorem lbspss 21350

Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lbspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbspss	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4424	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
2	1	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐽)
4		lbspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsss 21345	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
7	3, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
8		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		simpl1l 1243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
11	7	ssdifssd 4094	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12		simpl3 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊊ 𝐵)
13	12	pssssd 4048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
16		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	16	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
18	15, 17	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐶))
19	18	necon2ad 2971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ≠ 𝑥))
20	14, 19	jcad 522	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
21		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
22	20, 21	imbitrrdi 255	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
23	22	ssrdv 3937	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24		lbsind2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
25	4, 24	lspss 21252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
26	10, 11, 23, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27		simpl1r 1244	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 1 ≠ 0 )
28		lbsind2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29		lbsind2.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
30		lbsind2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
31	5, 24, 28, 29, 30	lbsind2 21349	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
32	10, 27, 3, 8, 31	syl211anc 1403	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
33	26, 32	ssneldd 3934	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶))
34		nelne1 3053	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
35	9, 33, 34	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
36	35	necomd 3011	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)
37	2, 36	exlimddv 1968	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4584  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424  0_gc0g 17603  1_rcur 20400  LModclmod 21128  LSpanclspn 21239  LBasisclbs 21342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lbs 21343

This theorem is used by:  islbs3  21426