MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbspss 20558
Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsind2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsind2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lbsind2.o 1 = (1rβ€˜πΉ)
lbsind2.z 0 = (0gβ€˜πΉ)
lbspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lbspss (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)

Proof of Theorem lbspss
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4431 . . 3 (𝐢 ⊊ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
213ad2ant3 1136 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
3 simpl2 1193 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
4 lbspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lbsind2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
64, 5lbsss 20553 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑉)
8 simprl 770 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
97, 8sseldd 3946 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
10 simpl1l 1225 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
117ssdifssd 4103 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉)
12 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 ⊊ 𝐡)
1312pssssd 4058 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
1413sseld 3944 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡))
15 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)
16 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 ↔ π‘₯ ∈ 𝐢))
1716notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ 𝐢 ↔ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢))
1815, 17syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 = π‘₯ β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝐢))
1918necon2ad 2955 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 β‰  π‘₯))
2014, 19jcad 514 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯)))
21 eldifsn 4748 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯))
2220, 21syl6ibr 252 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐢 β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– {π‘₯})))
2322ssrdv 3951 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝐢 βŠ† (𝐡 βˆ– {π‘₯}))
24 lbsind2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
254, 24lspss 20460 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝐢 βŠ† (𝐡 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘β€˜πΆ) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
2610, 11, 23, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘β€˜πΆ) βŠ† (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
27 simpl1r 1226 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 1 β‰  0 )
28 lbsind2.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
29 lbsind2.o . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜πΉ)
30 lbsind2.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜πΉ)
315, 24, 28, 29, 30lbsind2 20557 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
3210, 27, 3, 8, 31syl211anc 1377 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– {π‘₯})))
3326, 32ssneldd 3948 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜πΆ))
34 nelne1 3038 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜πΆ)) β†’ 𝑉 β‰  (π‘β€˜πΆ))
359, 33, 34syl2anc 585 . . 3 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑉 β‰  (π‘β€˜πΆ))
3635necomd 2996 . 2 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
372, 36exlimddv 1939 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 1 β‰  0 ) ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝐢 ⊊ 𝐡) β†’ (π‘β€˜πΆ) β‰  𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911   ⊊ wpss 3912  {csn 4587  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141  0gc0g 17326  1rcur 19918  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447  LBasisclbs 20550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lbs 20551
This theorem is referenced by:  islbs3  20632
  Copyright terms: Public domain W3C validator