Theorem lbspss 20259

Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lbspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbspss	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4401	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
2	1	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐽)
4		lbspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsss 20254	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
8		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		simpl1l 1222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
11	7	ssdifssd 4073	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12		simpl3 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊊ 𝐵)
13	12	pssssd 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
16		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	16	notbid 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
18	15, 17	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐶))
19	18	necon2ad 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ≠ 𝑥))
20	14, 19	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
21		eldifsn 4717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
22	20, 21	syl6ibr 251	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
23	22	ssrdv 3923	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24		lbsind2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
25	4, 24	lspss 20161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
26	10, 11, 23, 25	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27		simpl1r 1223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 1 ≠ 0 )
28		lbsind2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29		lbsind2.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
30		lbsind2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
31	5, 24, 28, 29, 30	lbsind2 20258	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
32	10, 27, 3, 8, 31	syl211anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
33	26, 32	ssneldd 3920	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶))
34		nelne1 3040	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
35	9, 33, 34	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
36	35	necomd 2998	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)
37	2, 36	exlimddv 1939	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4558  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lbs 20252

This theorem is referenced by:  islbs3  20332