MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbspss 19370
Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o 1 = (1r𝐹)
lbsind2.z 0 = (0g𝐹)
lbspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbspss (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4201 . . 3 (𝐶𝐵 → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶))
213ad2ant3 1165 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶))
3 simpl2 1244 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐵𝐽)
4 lbspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lbsind2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
64, 5lbsss 19365 . . . . . 6 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐵𝑉)
8 simprl 787 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑥𝐵)
97, 8sseldd 3764 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑥𝑉)
10 simpl1l 1293 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
117ssdifssd 3912 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12 simpl3 1246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶𝐵)
1312pssssd 3867 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶𝐵)
1413sseld 3762 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦𝐵))
15 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥𝐶)
16 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐶𝑥𝐶))
1716notbid 309 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦𝐶 ↔ ¬ 𝑥𝐶))
1815, 17syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦𝐶))
1918necon2ad 2952 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦𝑥))
2014, 19jcad 508 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶 → (𝑦𝐵𝑦𝑥)))
21 eldifsn 4474 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝑥))
2220, 21syl6ibr 243 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
2322ssrdv 3769 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24 lbsind2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
254, 24lspss 19272 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
2610, 11, 23, 25syl3anc 1490 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑁𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27 simpl1r 1295 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 10 )
28 lbsind2.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29 lbsind2.o . . . . . . 7 1 = (1r𝐹)
30 lbsind2.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐹)
315, 24, 28, 29, 30lbsind2 19369 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
3210, 27, 3, 8, 31syl211anc 1495 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
3326, 32ssneldd 3766 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝐶))
34 nelne1 3033 . . . 4 ((𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁𝐶))
359, 33, 34syl2anc 579 . . 3 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁𝐶))
3635necomd 2992 . 2 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)
372, 36exlimddv 2030 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  cdif 3731  wss 3734  wpss 3735  {csn 4336  cfv 6070  Basecbs 16146  Scalarcsca 16233  0gc0g 16382  1rcur 18784  LModclmod 19148  LSpanclspn 19259  LBasisclbs 19362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-nn 11280  df-2 11340  df-ndx 16149  df-slot 16150  df-base 16152  df-sets 16153  df-plusg 16243  df-0g 16384  df-mgm 17524  df-sgrp 17566  df-mnd 17577  df-grp 17708  df-mgp 18773  df-ur 18785  df-ring 18832  df-lmod 19150  df-lss 19218  df-lsp 19260  df-lbs 19363
This theorem is referenced by:  islbs3  19445
  Copyright terms: Public domain W3C validator