Theorem lbspss 20344

Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lbspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbspss	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4404	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
2	1	3ad2ant3 1134	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐽)
4		lbspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsss 20339	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
8		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		simpl1l 1223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
11	7	ssdifssd 4077	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12		simpl3 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊊ 𝐵)
13	12	pssssd 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
16		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
18	15, 17	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐶))
19	18	necon2ad 2958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ≠ 𝑥))
20	14, 19	jcad 513	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
21		eldifsn 4720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
22	20, 21	syl6ibr 251	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
23	22	ssrdv 3927	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24		lbsind2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
25	4, 24	lspss 20246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
26	10, 11, 23, 25	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27		simpl1r 1224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 1 ≠ 0 )
28		lbsind2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29		lbsind2.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
30		lbsind2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
31	5, 24, 28, 29, 30	lbsind2 20343	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
32	10, 27, 3, 8, 31	syl211anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
33	26, 32	ssneldd 3924	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶))
34		nelne1 3041	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
35	9, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
36	35	necomd 2999	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)
37	2, 36	exlimddv 1938	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  LBasisclbs 20336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lbs 20337

This theorem is referenced by:  islbs3  20417