Theorem lbspss 21081

Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lbspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbspss	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4471	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
2	1	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐽)
4		lbspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsss 21076	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
8		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		simpl1l 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
11	7	ssdifssd 4147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12		simpl3 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊊ 𝐵)
13	12	pssssd 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
16		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐶))
19	18	necon2ad 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ≠ 𝑥))
20	14, 19	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
21		eldifsn 4786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
22	20, 21	imbitrrdi 252	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
23	22	ssrdv 3989	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24		lbsind2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
25	4, 24	lspss 20982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
26	10, 11, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27		simpl1r 1226	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 1 ≠ 0 )
28		lbsind2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29		lbsind2.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
30		lbsind2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
31	5, 24, 28, 29, 30	lbsind2 21080	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
32	10, 27, 3, 8, 31	syl211anc 1378	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
33	26, 32	ssneldd 3986	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶))
34		nelne1 3039	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
35	9, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
36	35	necomd 2996	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)
37	2, 36	exlimddv 1935	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lbs 21074

This theorem is referenced by:  islbs3  21157