MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbspss 19853
Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsind2.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o 1 = (1r𝐹)
lbsind2.z 0 = (0g𝐹)
lbspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbspss (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssnel 4419 . . 3 (𝐶𝐵 → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶))
213ad2ant3 1131 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶))
3 simpl2 1188 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐵𝐽)
4 lbspss.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lbsind2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
64, 5lbsss 19848 . . . . . 6 (𝐵𝐽𝐵𝑉)
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐵𝑉)
8 simprl 769 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑥𝐵)
97, 8sseldd 3967 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑥𝑉)
10 simpl1l 1220 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
117ssdifssd 4118 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12 simpl3 1189 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶𝐵)
1312pssssd 4073 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶𝐵)
1413sseld 3965 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦𝐵))
15 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥𝐶)
16 eleq1w 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐶𝑥𝐶))
1716notbid 320 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦𝐶 ↔ ¬ 𝑥𝐶))
1815, 17syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦𝐶))
1918necon2ad 3031 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦𝑥))
2014, 19jcad 515 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶 → (𝑦𝐵𝑦𝑥)))
21 eldifsn 4718 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝑥))
2220, 21syl6ibr 254 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑦𝐶𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
2322ssrdv 3972 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24 lbsind2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
254, 24lspss 19755 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
2610, 11, 23, 25syl3anc 1367 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑁𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27 simpl1r 1221 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 10 )
28 lbsind2.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29 lbsind2.o . . . . . . 7 1 = (1r𝐹)
30 lbsind2.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐹)
315, 24, 28, 29, 30lbsind2 19852 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝑥𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
3210, 27, 3, 8, 31syl211anc 1372 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
3326, 32ssneldd 3969 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝐶))
34 nelne1 3113 . . . 4 ((𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁𝐶))
359, 33, 34syl2anc 586 . . 3 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁𝐶))
3635necomd 3071 . 2 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) ∧ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)
372, 36exlimddv 1932 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 10 ) ∧ 𝐵𝐽𝐶𝐵) → (𝑁𝐶) ≠ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wex 1776  wcel 2110  wne 3016  cdif 3932  wss 3935  wpss 3936  {csn 4566  cfv 6354  Basecbs 16482  Scalarcsca 16567  0gc0g 16712  1rcur 19250  LModclmod 19633  LSpanclspn 19742  LBasisclbs 19845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-plusg 16577  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lbs 19846
This theorem is referenced by:  islbs3  19926
  Copyright terms: Public domain W3C validator