Theorem lbspss 21034

Description: No proper subset of a basis spans the space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsind2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsind2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsind2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbsind2.o	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lbsind2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lbspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lbspss	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Proof of Theorem lbspss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnel 4423	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
2	1	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐽)
4		lbspss.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lbsind2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
6	4, 5	lbsss 21029	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
8		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	sseldd 3934	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
10		simpl1l 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑊 ∈ LMod)
11	7	ssdifssd 4099	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
12		simpl3 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊊ 𝐵)
13	12	pssssd 4052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵))
15		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
16		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑥 ∈ 𝐶))
17	16	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 = 𝑥 → ¬ 𝑦 ∈ 𝐶))
19	18	necon2ad 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ≠ 𝑥))
20	14, 19	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
21		eldifsn 4742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥}) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
22	20, 21	imbitrrdi 252	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})))
23	22	ssrdv 3939	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥}))
24		lbsind2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
25	4, 24	lspss 20935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∖ {𝑥})) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
26	10, 11, 23, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
27		simpl1r 1226	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 1 ≠ 0 )
28		lbsind2.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
29		lbsind2.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
30		lbsind2.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
31	5, 24, 28, 29, 30	lbsind2 21033	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
32	10, 27, 3, 8, 31	syl211anc 1378	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
33	26, 32	ssneldd 3936	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶))
34		nelne1 3029	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
35	9, 33, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → 𝑉 ≠ (𝑁‘𝐶))
36	35	necomd 2987	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)
37	2, 36	exlimddv 1936	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ≠ 0 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝐶) ≠ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901   ⊊ wpss 3902  {csn 4580  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  LModclmod 20811  LSpanclspn 20922  LBasisclbs 21026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lbs 21027

This theorem is referenced by:  islbs3  21110