Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbsdiflsp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsdiflsp0 33653
Description: The linear spans of two disjunct independent sets only have a trivial intersection. This can be seen as the opposite direction of lindsun 33652. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsdiflsp0.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsdiflsp0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsdiflsp0.1 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsdiflsp0 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })

Proof of Theorem lbsdiflsp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 784 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
2 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣 → (𝑎𝑢) = (𝑎𝑣))
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣𝑢 = 𝑣)
42, 3oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
54cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
65oveq2i 7441 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
71, 6eqtr4di 2792 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
8 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10 simp-8l 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
11 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵𝐽)
1211ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐵𝐽)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉𝐵)
1413ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑉𝐵)
15 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉))
16 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
1711, 13ssexd 5329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ V)
1816, 17elmapd 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
1918biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
2010, 12, 14, 15, 19syl1111anc 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
21 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)))
22 lveclmod 21122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25 lbsdiflsp0.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
2624, 25lbsss 21093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐵𝐽𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2726ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2827ssdifssd 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
29 lbsdiflsp0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (0g𝑊)
30 lbsdiflsp0.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3129, 24, 300ellsp 33376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3223, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3332elfvexd 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ∈ V)
3416, 33elmapd 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) ↔ 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
3610, 12, 14, 21, 35syl1111anc 840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
37 disjdif 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
3920, 36, 38fun2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
40 undif 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉𝐵 ↔ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4114, 40sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4241feq2d 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
4339, 42mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
4443ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → Fun (𝑎𝑏))
4544fsuppunbi 9426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
468, 9, 45mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
48 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝑊) = (+g𝑊)
49 lmodcmn 20924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
5022, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ CMnd)
5150ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ CMnd)
5211ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵𝐽)
5323ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
54 elmapfn 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
5554ad6antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 Fn 𝑉)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
57 elmapfn 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5857ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
62 fvun1 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6356, 59, 60, 61, 62syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6463adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6520ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
6765, 66ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6864, 67eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6955adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
7058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
7137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
73 fvun2 7000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7469, 70, 71, 72, 73syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7574adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7636ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
7876, 77ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑏𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7975, 78eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
8140biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑉𝐵 → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8281ad8antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8382eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
86 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) ↔ (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8785, 86sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8868, 79, 87mpjaodan 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8927ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
9089, 80sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
91 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
92 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
93 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9424, 91, 92, 93lmodvscl 20892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
9553, 88, 90, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
96 simp-9l 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LVec)
9796, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LMod)
98 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
99 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10043adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
101100feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)))
102101, 47eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10352, 97, 98, 24, 88, 90, 29, 99, 92, 102mptscmfsupp0 20941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) finSupp 0 )
10437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
10524, 29, 48, 51, 52, 95, 103, 104, 83gsumsplit2 19961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
10663oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
107106mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
108107oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
10974oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
110109mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
111110oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
112108, 111oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
113 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
114 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝑣 → (𝑏𝑢) = (𝑏𝑣))
115114, 3oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
116115cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
117116oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
118113, 117eqtr4di 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
1197, 118oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
120 lmodgrp 20881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
12196, 22, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Grp)
12213, 27sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
12324, 30lspssv 20998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12423, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
125124ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
126 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
127126elin2d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
128127ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
129125, 128sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
130 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invg𝑊) = (invg𝑊)
13124, 48, 29, 130grprinv 19020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
132121, 129, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
133112, 119, 1323eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = 0 )
134105, 133eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )
135 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))))
136 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐𝑢) = ((𝑎𝑏)‘𝑢))
137136oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
138137mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
139138oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
140139eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ↔ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ))
141135, 140anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) ↔ ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )))
142 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
143141, 142imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ↔ (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
14425lbslinds 21870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
145144, 11sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
14624, 93, 91, 92, 29, 99islinds5 33374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
147146biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
14823, 27, 145, 147syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
149148ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
150 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
151150, 52elmapd 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
152100, 151mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵))
153143, 149, 152rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
15447, 134, 153mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
155154reseq1d 5998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉))
156 fnunres1 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
15755, 58, 104, 156syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
158 xpssres 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉𝐵 → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
159158ad8antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
160155, 157, 1593eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
162161fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢))
163 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
164163fvconst2 7223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑉 → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16561, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
166162, 165eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
167166oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢))
168122ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
169168, 61sseldd 3995 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
17024, 91, 92, 99, 29lmod0vs 20909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
17197, 169, 170syl2an2r 685 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
172167, 171eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
173172mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉0 ))
174173oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )))
175 cmnmnd 19829 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
17651, 175syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Mnd)
177128elfvexd 6945 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑉 ∈ V)
17829gsumz 18861 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
179176, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
1807, 174, 1793eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
181180anasss 466 . . . . . 6 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ (𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
182 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18324, 182, 30lspcl 20991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18423, 28, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
185184adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186182lsssubg 20972 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18723, 185, 186syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
188126elin1d 4213 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
189130subginvcl 19165 . . . . . . . . 9 (((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
190187, 188, 189syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
19130, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 28ellspds 33375 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
192191biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
193190, 192syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
194193ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
195181, 194r19.29a 3159 . . . . 5 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
196195anasss 466 . . . 4 ((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
19730, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 122ellspds 33375 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
198197biimpa 476 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑉)) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
199127, 198syldan 591 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
200196, 199r19.29a 3159 . . 3 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 = 0 )
20129, 24, 300ellsp 33376 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20223, 122, 201syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20332, 202elind 4209 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
204200, 203eqsnd 4834 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
2052043impa 1109 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  cres 5690   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  SubGrpcsubg 19150  CMndccmn 19812  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986  LBasisclbs 21090  LVecclvec 21118  LIndSclinds 21842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-nzr 20529  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lmhm 21038  df-lbs 21091  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-uvc 21820  df-lindf 21843  df-linds 21844
This theorem is referenced by:  dimkerim  33654
  Copyright terms: Public domain W3C validator