Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbsdiflsp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsdiflsp0 33677
Description: The linear spans of two disjunct independent sets only have a trivial intersection. This can be seen as the opposite direction of lindsun 33676. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsdiflsp0.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsdiflsp0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsdiflsp0.1 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsdiflsp0 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })

Proof of Theorem lbsdiflsp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 784 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
2 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣 → (𝑎𝑢) = (𝑎𝑣))
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣𝑢 = 𝑣)
42, 3oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
54cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
65oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
71, 6eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
8 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10 simp-8l 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
11 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵𝐽)
1211ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐵𝐽)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉𝐵)
1413ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑉𝐵)
15 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉))
16 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
1711, 13ssexd 5324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ V)
1816, 17elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
1918biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
2010, 12, 14, 15, 19syl1111anc 841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
21 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)))
22 lveclmod 21105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25 lbsdiflsp0.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
2624, 25lbsss 21076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐵𝐽𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2726ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2827ssdifssd 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
29 lbsdiflsp0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (0g𝑊)
30 lbsdiflsp0.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3129, 24, 300ellsp 33397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3223, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3332elfvexd 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ∈ V)
3416, 33elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) ↔ 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
3610, 12, 14, 21, 35syl1111anc 841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
37 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
3920, 36, 38fun2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
40 undif 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉𝐵 ↔ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4114, 40sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4241feq2d 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
4339, 42mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
4443ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → Fun (𝑎𝑏))
4544fsuppunbi 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
468, 9, 45mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝑊) = (+g𝑊)
49 lmodcmn 20908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
5022, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ CMnd)
5150ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ CMnd)
5211ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵𝐽)
5323ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
54 elmapfn 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
5554ad6antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 Fn 𝑉)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
57 elmapfn 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5857ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
62 fvun1 7000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6356, 59, 60, 61, 62syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6463adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6520ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
6765, 66ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6864, 67eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6955adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
7058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
7137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
73 fvun2 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7469, 70, 71, 72, 73syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7574adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7636ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
7876, 77ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑏𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7975, 78eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
8140biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑉𝐵 → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8281ad8antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8382eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
86 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) ↔ (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8785, 86sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8868, 79, 87mpjaodan 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8927ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
9089, 80sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
91 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
92 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
93 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9424, 91, 92, 93lmodvscl 20876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
9553, 88, 90, 94syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
96 simp-9l 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LVec)
9796, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LMod)
98 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
99 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10043adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
101100feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)))
102101, 47eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10352, 97, 98, 24, 88, 90, 29, 99, 92, 102mptscmfsupp0 20925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) finSupp 0 )
10437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
10524, 29, 48, 51, 52, 95, 103, 104, 83gsumsplit2 19947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
10663oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
107106mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
108107oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
10974oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
110109mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
111110oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
112108, 111oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
113 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
114 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝑣 → (𝑏𝑢) = (𝑏𝑣))
115114, 3oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
116115cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
117116oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
118113, 117eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
1197, 118oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
120 lmodgrp 20865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
12196, 22, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Grp)
12213, 27sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
12324, 30lspssv 20981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12423, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
125124ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
126 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
127126elin2d 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
128127ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
129125, 128sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
130 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invg𝑊) = (invg𝑊)
13124, 48, 29, 130grprinv 19008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
132121, 129, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
133112, 119, 1323eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = 0 )
134105, 133eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )
135 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))))
136 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐𝑢) = ((𝑎𝑏)‘𝑢))
137136oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
138137mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
139138oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
140139eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ↔ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ))
141135, 140anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) ↔ ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )))
142 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
143141, 142imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ↔ (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
14425lbslinds 21853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
145144, 11sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
14624, 93, 91, 92, 29, 99islinds5 33395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
147146biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
14823, 27, 145, 147syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
149148ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
150 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
151150, 52elmapd 8880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
152100, 151mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵))
153143, 149, 152rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
15447, 134, 153mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
155154reseq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉))
156 fnunres1 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
15755, 58, 104, 156syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
158 xpssres 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉𝐵 → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
159158ad8antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
160155, 157, 1593eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
162161fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢))
163 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
164163fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑉 → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16561, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
166162, 165eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
167166oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢))
168122ad8antr 740 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
169168, 61sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
17024, 91, 92, 99, 29lmod0vs 20893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
17197, 169, 170syl2an2r 685 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
172167, 171eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
173172mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉0 ))
174173oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )))
175 cmnmnd 19815 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
17651, 175syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Mnd)
177128elfvexd 6945 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑉 ∈ V)
17829gsumz 18849 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
179176, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
1807, 174, 1793eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
181180anasss 466 . . . . . 6 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ (𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
182 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18324, 182, 30lspcl 20974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18423, 28, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
185184adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186182lsssubg 20955 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18723, 185, 186syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
188126elin1d 4204 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
189130subginvcl 19153 . . . . . . . . 9 (((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
190187, 188, 189syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
19130, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 28ellspds 33396 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
192191biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
193190, 192syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
194193ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
195181, 194r19.29a 3162 . . . . 5 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
196195anasss 466 . . . 4 ((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
19730, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 122ellspds 33396 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
198197biimpa 476 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑉)) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
199127, 198syldan 591 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
200196, 199r19.29a 3162 . . 3 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 = 0 )
20129, 24, 300ellsp 33397 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20223, 122, 201syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20332, 202elind 4200 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
204200, 203eqsnd 4830 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
2052043impa 1110 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  CMndccmn 19798  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073  LVecclvec 21101  LIndSclinds 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827
This theorem is referenced by:  dimkerim  33678
  Copyright terms: Public domain W3C validator