Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbsdiflsp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsdiflsp0 31707
Description: The linear spans of two disjunct independent sets only have a trivial intersection. This can be seen as the opposite direction of lindsun 31706. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsdiflsp0.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsdiflsp0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsdiflsp0.1 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsdiflsp0 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })

Proof of Theorem lbsdiflsp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
2 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣 → (𝑎𝑢) = (𝑎𝑣))
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣𝑢 = 𝑣)
42, 3oveq12d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
54cbvmptv 5187 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
65oveq2i 7286 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
71, 6eqtr4di 2796 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
8 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10 simp-8l 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
11 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵𝐽)
1211ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐵𝐽)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉𝐵)
1413ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑉𝐵)
15 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉))
16 fvexd 6789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
1711, 13ssexd 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ V)
1816, 17elmapd 8629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
1918biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
2010, 12, 14, 15, 19syl1111anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
21 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)))
22 lveclmod 20368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25 lbsdiflsp0.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
2624, 25lbsss 20339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐵𝐽𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2726ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2827ssdifssd 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
29 lbsdiflsp0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (0g𝑊)
30 lbsdiflsp0.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3129, 24, 300ellsp 31565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3223, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3332elfvexd 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ∈ V)
3416, 33elmapd 8629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) ↔ 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
3610, 12, 14, 21, 35syl1111anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
37 disjdif 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
3920, 36, 38fun2d 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
40 undif 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉𝐵 ↔ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4114, 40sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4241feq2d 6586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
4339, 42mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
4443ffund 6604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → Fun (𝑎𝑏))
4544fsuppunbi 9149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
468, 9, 45mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
48 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝑊) = (+g𝑊)
49 lmodcmn 20171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
5022, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ CMnd)
5150ad9antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ CMnd)
5211ad7antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵𝐽)
5323ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
54 elmapfn 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
5554ad6antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 Fn 𝑉)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
57 elmapfn 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5857ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
62 fvun1 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6356, 59, 60, 61, 62syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6463adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6520ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
6765, 66ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6864, 67eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6955adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
7058adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
7137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
72 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
73 fvun2 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7469, 70, 71, 72, 73syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7574adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7636ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
77 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
7876, 77ffvelrnd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑏𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7975, 78eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
80 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
8140biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑉𝐵 → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8281ad8antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8382eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
86 elun 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) ↔ (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8785, 86sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8868, 79, 87mpjaodan 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8927ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
9089, 80sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
91 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
92 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
93 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9424, 91, 92, 93lmodvscl 20140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
9553, 88, 90, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
96 simp-9l 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LVec)
9796, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LMod)
98 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
99 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10043adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
101100feqmptd 6837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)))
102101, 47eqbrtrrd 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10352, 97, 98, 24, 88, 90, 29, 99, 92, 102mptscmfsupp0 20188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) finSupp 0 )
10437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
10524, 29, 48, 51, 52, 95, 103, 104, 83gsumsplit2 19530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
10663oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
107106mpteq2dva 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
108107oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
10974oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
110109mpteq2dva 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
111110oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
112108, 111oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
113 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
114 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝑣 → (𝑏𝑢) = (𝑏𝑣))
115114, 3oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
116115cbvmptv 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
117116oveq2i 7286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
118113, 117eqtr4di 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
1197, 118oveq12d 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
120 lmodgrp 20130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
12196, 22, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Grp)
12213, 27sstrd 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
12324, 30lspssv 20245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12423, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
125124ad7antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
126 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
127126elin2d 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
128127ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
129125, 128sseldd 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
130 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invg𝑊) = (invg𝑊)
13124, 48, 29, 130grprinv 18629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
132121, 129, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
133112, 119, 1323eqtr2d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = 0 )
134105, 133eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )
135 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))))
136 fveq1 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐𝑢) = ((𝑎𝑏)‘𝑢))
137136oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
138137mpteq2dv 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
139138oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
140139eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ↔ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ))
141135, 140anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) ↔ ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )))
142 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
143141, 142imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ↔ (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
14425lbslinds 21040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
145144, 11sselid 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
14624, 93, 91, 92, 29, 99islinds5 31563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
147146biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
14823, 27, 145, 147syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
149148ad7antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
150 fvexd 6789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
151150, 52elmapd 8629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
152100, 151mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵))
153143, 149, 152rspcdva 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
15447, 134, 153mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
155154reseq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉))
156 fnunres1 30945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
15755, 58, 104, 156syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
158 xpssres 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉𝐵 → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
159158ad8antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
160155, 157, 1593eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
161160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
162161fveq1d 6776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢))
163 fvex 6787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
164163fvconst2 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑉 → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16561, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
166162, 165eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
167166oveq1d 7290 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢))
168122ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
169168, 61sseldd 3922 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
17024, 91, 92, 99, 29lmod0vs 20156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
17197, 169, 170syl2an2r 682 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
172167, 171eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
173172mpteq2dva 5174 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉0 ))
174173oveq2d 7291 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )))
175 cmnmnd 19402 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
17651, 175syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Mnd)
177128elfvexd 6808 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑉 ∈ V)
17829gsumz 18474 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
179176, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
1807, 174, 1793eqtrd 2782 . . . . . . 7 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
181180anasss 467 . . . . . 6 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ (𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
182 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18324, 182, 30lspcl 20238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18423, 28, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
185184adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186182lsssubg 20219 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18723, 185, 186syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
188126elin1d 4132 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
189130subginvcl 18764 . . . . . . . . 9 (((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
190187, 188, 189syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
19130, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 28ellspds 31564 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
192191biimpa 477 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
193190, 192syldan 591 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
194193ad3antrrr 727 . . . . . 6 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
195181, 194r19.29a 3218 . . . . 5 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
196195anasss 467 . . . 4 ((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
19730, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 122ellspds 31564 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
198197biimpa 477 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑉)) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
199127, 198syldan 591 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
200196, 199r19.29a 3218 . . 3 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 = 0 )
20129, 24, 300ellsp 31565 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20223, 122, 201syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20332, 202elind 4128 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
204200, 203eqsnd 30877 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
2052043impa 1109 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3432  cdif 3884  cun 3885  cin 3886  wss 3887  c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157   × cxp 5587  cres 5591   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150   Σg cgsu 17151  Mndcmnd 18385  Grpcgrp 18577  invgcminusg 18578  SubGrpcsubg 18749  CMndccmn 19386  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LBasisclbs 20336  LVecclvec 20364  LIndSclinds 21012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lbs 20337  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-nzr 20529  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-uvc 20990  df-lindf 21013  df-linds 21014
This theorem is referenced by:  dimkerim  31708
  Copyright terms: Public domain W3C validator