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Theorem lbsdiflsp0 33229
Description: The linear spans of two disjunct independent sets only have a trivial intersection. This can be seen as the opposite direction of lindsun 33228. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsdiflsp0.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsdiflsp0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsdiflsp0.1 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lbsdiflsp0 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })

Proof of Theorem lbsdiflsp0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))
2 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑣 β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘£))
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑣 β†’ 𝑒 = 𝑣)
42, 3oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑣 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
54cbvmptv 5254 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
65oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))
71, 6eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
8 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
9 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
10 simp-8l 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
1211ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
1413ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
15 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉))
16 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V)
1711, 13ssexd 5317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ V)
1816, 17elmapd 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉) ↔ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
1918biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) β†’ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2010, 12, 14, 15, 19syl1111anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉)))
22 lveclmod 20954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
25 lbsdiflsp0.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
2624, 25lbsss 20925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2726ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2827ssdifssd 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
29 lbsdiflsp0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (0gβ€˜π‘Š)
30 lbsdiflsp0.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3129, 24, 300ellsp 32988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
3223, 28, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
3332elfvexd 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑉) ∈ V)
3416, 33elmapd 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉)) ↔ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3534biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3610, 12, 14, 21, 35syl1111anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
37 disjdif 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
3920, 36, 38fun2d 6749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):(𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉))⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
40 undif 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
4114, 40sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
4241feq2d 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏):(𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉))⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4339, 42mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4443ffund 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ Fun (π‘Ž βˆͺ 𝑏))
4544fsuppunbi 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))))
468, 9, 45mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
48 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
49 lmodcmn 20756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ CMnd)
5022, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ CMnd)
5150ad9antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ CMnd)
5211ad7antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
5323ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
54 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
5554ad6antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
57 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
5857ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
62 fvun1 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž Fn 𝑉 ∧ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ… ∧ 𝑒 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘’))
6356, 59, 60, 61, 62syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘’))
6463adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘’))
6520ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
6765, 66ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6864, 67eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6955adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
7058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
7137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
72 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉))
73 fvun2 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž Fn 𝑉 ∧ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ… ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘’))
7469, 70, 71, 72, 73syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘’))
7574adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘’))
7636ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉))
7876, 77ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
7975, 78eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
8140biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
8281ad8antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
8382eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝐡 = (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
86 elun 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) ↔ (𝑒 ∈ 𝑉 ∨ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8785, 86sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ∨ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8868, 79, 87mpjaodan 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8927ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
9089, 80sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
91 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
92 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
93 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
9424, 91, 92, 93lmodvscl 20724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9553, 88, 90, 94syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
96 simp-9l 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
9796, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
98 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
99 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
10043adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
101100feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)))
102101, 47eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
10352, 97, 98, 24, 88, 90, 29, 99, 92, 102mptscmfsupp0 20773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) finSupp 0 )
10437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
10524, 29, 48, 51, 52, 95, 103, 104, 83gsumsplit2 19849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))))
10663oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
107106mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
108107oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
10974oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
110109mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
111110oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
112108, 111oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))) = ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))))
113 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))
114 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒 = 𝑣 β†’ (π‘β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘£))
115114, 3oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = 𝑣 β†’ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
116115cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
117116oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))
118113, 117eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
1197, 118oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))))
120 lmodgrp 20713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
12196, 22, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ Grp)
12213, 27sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12324, 30lspssv 20830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12423, 122, 123syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
125124ad7antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
126 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
127126elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰))
128127ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰))
129125, 128sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
130 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
13124, 48, 29, 130grprinv 18920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = 0 )
132121, 129, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = 0 )
133112, 119, 1323eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))) = 0 )
134105, 133eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 )
135 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
136 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (π‘β€˜π‘’) = ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’))
137136oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
138137mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
139138oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
140139eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ↔ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ))
141135, 140anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) ↔ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 )))
142 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
143141, 142imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ↔ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))))
14425lbslinds 21728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘Š)
145144, 11sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
14624, 93, 91, 92, 29, 99islinds5 32986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))))
147146biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
14823, 27, 145, 147syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
149148ad7antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
150 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V)
151150, 52elmapd 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
152100, 151mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡))
153143, 149, 152rspcdva 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
15447, 134, 153mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
155154reseq1d 5974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†Ύ 𝑉) = ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†Ύ 𝑉))
156 fnunres1 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž Fn 𝑉 ∧ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉) ∧ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†Ύ 𝑉) = π‘Ž)
15755, 58, 104, 156syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†Ύ 𝑉) = π‘Ž)
158 xpssres 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
159158ad8antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
160155, 157, 1593eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
162161fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) = ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})β€˜π‘’))
163 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V
164163fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})β€˜π‘’) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
16561, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})β€˜π‘’) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
166162, 165eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
167166oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
168122ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
169168, 61sseldd 3978 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
17024, 91, 92, 99, 29lmod0vs 20741 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = 0 )
17197, 169, 170syl2an2r 682 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = 0 )
172167, 171eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = 0 )
173172mpteq2dva 5241 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
174173oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 )))
175 cmnmnd 19717 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ CMnd β†’ π‘Š ∈ Mnd)
17651, 175syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
177128elfvexd 6924 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝑉 ∈ V)
17829gsumz 18761 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 )) = 0 )
179176, 177, 178syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 )) = 0 )
1807, 174, 1793eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = 0 )
181180anasss 466 . . . . . 6 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ (𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))) β†’ π‘₯ = 0 )
182 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
18324, 182, 30lspcl 20823 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
18423, 28, 183syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
185184adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
186182lsssubg 20804 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18723, 185, 186syl2an2r 682 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
188126elin1d 4193 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
189130subginvcl 19062 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
190187, 188, 189syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
19130, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 28ellspds 32987 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))))
192191biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
193190, 192syldan 590 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
194193ad3antrrr 727 . . . . . 6 (((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
195181, 194r19.29a 3156 . . . . 5 (((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = 0 )
196195anasss 466 . . . 4 ((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ (π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))) β†’ π‘₯ = 0 )
19730, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 122ellspds 32987 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))))
198197biimpa 476 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
199127, 198syldan 590 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
200196, 199r19.29a 3156 . . 3 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ = 0 )
20129, 24, 300ellsp 32988 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
20223, 122, 201syl2anc 583 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
20332, 202elind 4189 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 0 ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
204200, 203eqsnd 32275 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
2052043impa 1107 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  SubGrpcsubg 19047  CMndccmn 19700  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LBasisclbs 20922  LVecclvec 20950  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-nzr 20415  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lmhm 20870  df-lbs 20923  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-uvc 21678  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by:  dimkerim  33230
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