Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lbsdiflsp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsdiflsp0 31110
 Description: The linear spans of two disjunct independent sets only have a trivial intersection. This can be seen as the opposite direction of lindsun 31109. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsdiflsp0.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsdiflsp0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsdiflsp0.1 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsdiflsp0 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })

Proof of Theorem lbsdiflsp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
2 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣 → (𝑎𝑢) = (𝑎𝑣))
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣𝑢 = 𝑣)
42, 3oveq12d 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
54cbvmptv 5136 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
65oveq2i 7150 . . . . . . . . 9 (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
71, 6eqtr4di 2854 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
8 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
9 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10 simp-8l 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
11 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵𝐽)
1211ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐵𝐽)
13 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉𝐵)
1413ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑉𝐵)
15 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉))
16 fvexd 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
1711, 13ssexd 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ V)
1816, 17elmapd 8407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
1918biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
2010, 12, 14, 15, 19syl1111anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
21 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)))
22 lveclmod 19874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
24 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
25 lbsdiflsp0.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
2624, 25lbsss 19845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐵𝐽𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
2827ssdifssd 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
29 lbsdiflsp0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (0g𝑊)
30 lbsdiflsp0.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3129, 24, 300ellsp 30988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3223, 28, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
3332elfvexd 6683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝐵𝑉) ∈ V)
3416, 33elmapd 8407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) ↔ 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
3534biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
3610, 12, 14, 21, 35syl1111anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
37 disjdif 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
3920, 36, 38fun2d 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
40 undif 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉𝐵 ↔ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4114, 40sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
4241feq2d 6477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏):(𝑉 ∪ (𝐵𝑉))⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
4339, 42mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
4443ffund 6495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → Fun (𝑎𝑏))
4544fsuppunbi 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
468, 9, 45mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
48 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+g𝑊) = (+g𝑊)
49 lmodcmn 19678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
5022, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ CMnd)
5150ad9antr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ CMnd)
5211ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵𝐽)
5323ad8antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
54 elmapfn 8416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
5554ad6antlr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 Fn 𝑉)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 Fn 𝑉)
57 elmapfn 8416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5857ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
5958adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
61 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
62 fvun1 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6356, 59, 60, 61, 62syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6463adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑎𝑢))
6520ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
66 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
6765, 66ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6864, 67eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6955adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑎 Fn 𝑉)
7058adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏 Fn (𝐵𝑉))
7137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
72 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
73 fvun2 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅ ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7469, 70, 71, 72, 73syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7574adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) = (𝑏𝑢))
7636ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑏:(𝐵𝑉)⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
77 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → 𝑢 ∈ (𝐵𝑉))
7876, 77ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (𝑏𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7975, 78eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
80 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
8140biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑉𝐵 → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8281ad8antlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) = 𝐵)
8382eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8483adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 = (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)))
86 elun 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝑉 ∪ (𝐵𝑉)) ↔ (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8785, 86sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢𝑉𝑢 ∈ (𝐵𝑉)))
8868, 79, 87mpjaodan 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8927ad8antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
9089, 80sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
91 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
92 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
93 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9424, 91, 92, 93lmodvscl 19647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎𝑏)‘𝑢) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
9553, 88, 90, 94syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝐵) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (Base‘𝑊))
96 simp-9l 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LVec)
9796, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ LMod)
98 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
99 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10043adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
101100feqmptd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)))
102101, 47eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑎𝑏)‘𝑢)) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10352, 97, 98, 24, 88, 90, 29, 99, 92, 102mptscmfsupp0 19695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) finSupp 0 )
10437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅)
10524, 29, 48, 51, 52, 95, 103, 104, 83gsumsplit2 19045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
10663oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
107106mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
108107oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
10974oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐵𝑉)) → (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
110109mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
111110oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
112108, 111oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
113 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))
114 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝑣 → (𝑏𝑢) = (𝑏𝑣))
115114, 3oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝑣 → ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
116115cbvmptv 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))
117116oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))
118113, 117eqtr4di 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
1197, 118oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))))
120 lmodgrp 19637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
12196, 22, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Grp)
12213, 27sstrd 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
12324, 30lspssv 19751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
12423, 122, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
125124ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑁𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
126 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
127126elin2d 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
128127ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (𝑁𝑉))
129125, 128sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
130 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invg𝑊) = (invg𝑊)
13124, 48, 29, 130grprinv 18148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
132121, 129, 131syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑥(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑥)) = 0 )
133112, 119, 1323eqtr2d 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))(+g𝑊)(𝑊 Σg (𝑢 ∈ (𝐵𝑉) ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))) = 0 )
134105, 133eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )
135 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))))
136 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐𝑢) = ((𝑎𝑏)‘𝑢))
137136oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))
138137mpteq2dv 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)))
139138oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))))
140139eqeq1d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ↔ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ))
141135, 140anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → ((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) ↔ ((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 )))
142 eqeq1 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↔ (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
143141, 142imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑎𝑏) → (((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) ↔ (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
14425lbslinds 20525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
145144, 11sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
14624, 93, 91, 92, 29, 99islinds5 30986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))))
147146biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
14823, 27, 145, 147syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
149148ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∀𝑐 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵)((𝑐 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ ((𝑐𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → 𝑐 = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
150 fvexd 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V)
151150, 52elmapd 8407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵) ↔ (𝑎𝑏):𝐵⟶(Base‘(Scalar‘𝑊))))
152100, 151mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝐵))
153143, 149, 152rspcdva 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (((𝑎𝑏) finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑊 Σg (𝑢𝐵 ↦ (((𝑎𝑏)‘𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = 0 ) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
15447, 134, 153mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑎𝑏) = (𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
155154reseq1d 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉))
156 fnunres1 30372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 Fn 𝑉𝑏 Fn (𝐵𝑉) ∧ (𝑉 ∩ (𝐵𝑉)) = ∅) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
15755, 58, 104, 156syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝑎𝑏) ↾ 𝑉) = 𝑎)
158 xpssres 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉𝐵 → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
159158ad8antlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ((𝐵 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
160155, 157, 1593eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
161160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑎 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
162161fveq1d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢))
163 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
164163fvconst2 6947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑉 → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16561, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})‘𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
166162, 165eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑎𝑢) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
167166oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢))
168122ad8antr 739 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
169168, 61sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢 ∈ (Base‘𝑊))
17024, 91, 92, 99, 29lmod0vs 19663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
17197, 169, 170syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
172167, 171eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢) = 0 )
173172mpteq2dva 5128 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢)) = (𝑢𝑉0 ))
174173oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉 ↦ ((𝑎𝑢)( ·𝑠𝑊)𝑢))) = (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )))
175 cmnmnd 18917 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ CMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
17651, 175syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑊 ∈ Mnd)
177128elfvexd 6683 . . . . . . . . 9 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑉 ∈ V)
17829gsumz 17995 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
179176, 177, 178syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → (𝑊 Σg (𝑢𝑉0 )) = 0 )
1807, 174, 1793eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
181180anasss 470 . . . . . 6 (((((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))) ∧ (𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
182 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18324, 182, 30lspcl 19744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵𝑉) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18423, 28, 183syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
185184adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
186182lsssubg 19725 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18723, 185, 186syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → (𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊))
188126elin1d 4128 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
189130subginvcl 18283 . . . . . . . . 9 (((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
190187, 188, 189syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)))
19130, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 28ellspds 30987 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉)) ↔ ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
192191biimpa 480 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
193190, 192syldan 594 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
194193ad3antrrr 729 . . . . . 6 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → ∃𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m (𝐵𝑉))(𝑏 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((invg𝑊)‘𝑥) = (𝑊 Σg (𝑣 ∈ (𝐵𝑉) ↦ ((𝑏𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
195181, 194r19.29a 3251 . . . . 5 (((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))) → 𝑥 = 0 )
196195anasss 470 . . . 4 ((((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) ∧ 𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))) → 𝑥 = 0 )
19730, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 122ellspds 30987 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣))))))
198197biimpa 480 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁𝑉)) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
199127, 198syldan 594 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → ∃𝑎 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 = (𝑊 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝑎𝑣)( ·𝑠𝑊)𝑣)))))
200196, 199r19.29a 3251 . . 3 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉))) → 𝑥 = 0 )
20129, 24, 300ellsp 30988 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20223, 122, 201syl2anc 587 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ (𝑁𝑉))
20332, 202elind 4124 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → 0 ∈ ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)))
204200, 203eqsnd 30304 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽) ∧ 𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
2052043impa 1107 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵𝐽𝑉𝐵) → ((𝑁‘(𝐵𝑉)) ∩ (𝑁𝑉)) = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  {csn 4528   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521   ↾ cres 5525   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  Mndcmnd 17906  Grpcgrp 18098  invgcminusg 18099  SubGrpcsubg 18268  CMndccmn 18901  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LSpanclspn 19739  LBasisclbs 19842  LVecclvec 19870  LIndSclinds 20497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lmhm 19790  df-lbs 19843  df-lvec 19871  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-nzr 20027  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-uvc 20475  df-lindf 20498  df-linds 20499 This theorem is referenced by:  dimkerim  31111
 Copyright terms: Public domain W3C validator