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Theorem lbsdiflsp0 32699
Description: The linear spans of two disjunct independent sets only have a trivial intersection. This can be seen as the opposite direction of lindsun 32698. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsdiflsp0.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsdiflsp0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lbsdiflsp0.1 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lbsdiflsp0 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
Proof of Theorem lbsdiflsp0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑒 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))
2 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑣 β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘£))
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑣 β†’ 𝑒 = 𝑣)
42, 3oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑣 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
54cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
65oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))
71, 6eqtr4di 2790 . . . . . . . 8 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
8 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
9 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
10 simp-8l 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
1211ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
1413ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
15 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉))
16 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V)
1711, 13ssexd 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ V)
1816, 17elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉) ↔ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
1918biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) β†’ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2010, 12, 14, 15, 19syl1111anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉)))
22 lveclmod 20709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
25 lbsdiflsp0.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
2624, 25lbsss 20680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐡 ∈ 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2827ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
29 lbsdiflsp0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (0gβ€˜π‘Š)
30 lbsdiflsp0.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3129, 24, 300ellsp 32470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
3223, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
3332elfvexd 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑉) ∈ V)
3416, 33elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉)) ↔ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
3534biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3610, 12, 14, 21, 35syl1111anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
37 disjdif 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
3920, 36, 38fun2d 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):(𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉))⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
40 undif 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
4114, 40sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
4241feq2d 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏):(𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉))⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4339, 42mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4443ffund 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ Fun (π‘Ž βˆͺ 𝑏))
4544fsuppunbi 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))))
468, 9, 45mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
48 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
49 lmodcmn 20512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ CMnd)
5022, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ CMnd)
5150ad9antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ CMnd)
5211ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐽)
5323ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ LMod)
54 elmapfn 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
5554ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
57 elmapfn 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
5857ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
62 fvun1 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž Fn 𝑉 ∧ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ… ∧ 𝑒 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘’))
6356, 59, 60, 61, 62syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘’))
6463adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘Žβ€˜π‘’))
6520ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
6765, 66ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6864, 67eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6955adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ π‘Ž Fn 𝑉)
7058adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉))
7137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
72 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉))
73 fvun2 6980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž Fn 𝑉 ∧ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉) ∧ ((𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ… ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘’))
7469, 70, 71, 72, 73syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘’))
7574adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘’))
7636ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑏:(𝐡 βˆ– 𝑉)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
77 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉))
7876, 77ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ (π‘β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
7975, 78eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
80 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
8140biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
8281ad8antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = 𝐡)
8382eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝐡 = (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
86 elun 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ (𝑉 βˆͺ (𝐡 βˆ– 𝑉)) ↔ (𝑒 ∈ 𝑉 ∨ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8785, 86sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ∨ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)))
8868, 79, 87mpjaodan 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8927ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
9089, 80sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
91 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
92 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
93 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
9424, 91, 92, 93lmodvscl 20481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9553, 88, 90, 94syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
96 simp-9l 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
9796, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
98 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
99 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
10043adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
101100feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)))
102101, 47eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
10352, 97, 98, 24, 88, 90, 29, 99, 92, 102mptscmfsupp0 20529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) finSupp 0 )
10437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…)
10524, 29, 48, 51, 52, 95, 103, 104, 83gsumsplit2 19791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))))
10663oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
107106mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
108107oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
10974oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉)) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
110109mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
111110oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
112108, 111oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))) = ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))))
113 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))
114 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑒 = 𝑣 β†’ (π‘β€˜π‘’) = (π‘β€˜π‘£))
115114, 3oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = 𝑣 β†’ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
116115cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))
117116oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))
118113, 117eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
1197, 118oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))))
120 lmodgrp 20470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
12196, 22, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ Grp)
12213, 27sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12324, 30lspssv 20586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12423, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
125124ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘β€˜π‘‰) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
126 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
127126elin2d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰))
128127ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰))
129125, 128sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
130 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
13124, 48, 29, 130grprinv 18871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = 0 )
132121, 129, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = 0 )
133112, 119, 1323eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))(+gβ€˜π‘Š)(π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))) = 0 )
134105, 133eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 )
135 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
136 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (π‘β€˜π‘’) = ((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’))
137136oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
138137mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)))
139138oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))))
140139eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ ((π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ↔ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ))
141135, 140anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ ((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) ↔ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 )))
142 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
143141, 142imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†’ (((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})) ↔ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))))
14425lbslinds 21379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐽 βŠ† (LIndSβ€˜π‘Š)
145144, 11sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
14624, 93, 91, 92, 29, 99islinds5 32468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))))
147146biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐡 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
14823, 27, 145, 147syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
149148ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡)((𝑐 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ ((π‘β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ 𝑐 = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
150 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V)
151150, 52elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏):𝐡⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
152100, 151mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝐡))
153143, 149, 152rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝐡 ↦ (((π‘Ž βˆͺ 𝑏)β€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = 0 ) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
15447, 134, 153mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) = (𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
155154reseq1d 5978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†Ύ 𝑉) = ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†Ύ 𝑉))
156 fnunres1 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž Fn 𝑉 ∧ 𝑏 Fn (𝐡 βˆ– 𝑉) ∧ (𝑉 ∩ (𝐡 βˆ– 𝑉)) = βˆ…) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†Ύ 𝑉) = π‘Ž)
15755, 58, 104, 156syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) β†Ύ 𝑉) = π‘Ž)
158 xpssres 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
159158ad8antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ ((𝐡 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
160155, 157, 1593eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
161160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
162161fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) = ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})β€˜π‘’))
163 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V
164163fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})β€˜π‘’) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
16561, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})β€˜π‘’) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
166162, 165eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Žβ€˜π‘’) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
167166oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))
168122ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
169168, 61sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
17024, 91, 92, 99, 29lmod0vs 20497 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = 0 )
17197, 169, 170syl2an2r 683 . . . . . . . . . . 11 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = 0 )
172167, 171eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒) = 0 )
173172mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒)) = (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
174173oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘’)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑒))) = (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 )))
175 cmnmnd 19659 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ CMnd β†’ π‘Š ∈ Mnd)
17651, 175syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
177128elfvexd 6927 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ 𝑉 ∈ V)
17829gsumz 18713 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 )) = 0 )
179176, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑒 ∈ 𝑉 ↦ 0 )) = 0 )
1807, 174, 1793eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ 𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = 0 )
181180anasss 467 . . . . . 6 (((((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) ∧ 𝑏 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))) ∧ (𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))) β†’ π‘₯ = 0 )
182 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
18324, 182, 30lspcl 20579 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐡 βˆ– 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
18423, 28, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
185184adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
186182lsssubg 20560 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18723, 185, 186syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
188126elin1d 4197 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
189130subginvcl 19009 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
190187, 188, 189syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)))
19130, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 28ellspds 32469 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))))
192191biimpa 477 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
193190, 192syldan 591 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
194193ad3antrrr 728 . . . . . 6 (((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m (𝐡 βˆ– 𝑉))(𝑏 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ (𝐡 βˆ– 𝑉) ↦ ((π‘β€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
195181, 194r19.29a 3162 . . . . 5 (((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))) β†’ π‘₯ = 0 )
196195anasss 467 . . . 4 ((((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)) ∧ (π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))) β†’ π‘₯ = 0 )
19730, 24, 93, 91, 99, 92, 23, 122ellspds 32469 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣))))))
198197biimpa 477 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
199127, 198syldan 591 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↑m 𝑉)(π‘Ž finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘₯ = (π‘Š Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑣)))))
200196, 199r19.29a 3162 . . 3 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰))) β†’ π‘₯ = 0 )
20129, 24, 300ellsp 32470 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
20223, 122, 201syl2anc 584 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 0 ∈ (π‘β€˜π‘‰))
20332, 202elind 4193 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 0 ∈ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)))
204200, 203eqsnd 31753 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽) ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
2052043impa 1110 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐡 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(𝐡 βˆ– 𝑉)) ∩ (π‘β€˜π‘‰)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994  CMndccmn 19642  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LBasisclbs 20677  LVecclvec 20705  LIndSclinds 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lbs 20678  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329  df-lindf 21352  df-linds 21353
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