MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letrii 10565
Description: Trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
letrii (𝐴𝐵𝐵𝐴)

Proof of Theorem letrii
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
2 lt.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
31, 2ltnlei 10561 . . 3 (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵)
41, 2ltlei 10562 . . 3 (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴)
53, 4sylbir 227 . 2 𝐴𝐵𝐵𝐴)
65orri 848 1 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 833  wcel 2050   class class class wbr 4929  cr 10334   < clt 10474  cle 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-pre-lttri 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480
This theorem is referenced by:  divalglem1  15605
  Copyright terms: Public domain W3C validator