Theorem letrii 10816

Description: Trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
letrii	⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem letrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	ltnlei 10812	. . 3 ⊢ (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2	ltlei 10813	. . 3 ⊢ (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)
5	3, 4	sylbir 238	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	5	orri 859	1 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 844   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ℝcr 10587   < clt 10726   ≤ cle 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-pre-lttri 10662

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732

This theorem is referenced by:  divalglem1  15808