Theorem letrii 11265

Description: Trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
letrii	⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem letrii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	ltnlei 11261	. . 3 ⊢ (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2	ltlei 11262	. . 3 ⊢ (𝐵 < 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)
5	3, 4	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	5	orri 863	1 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11031   < clt 11173   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179

This theorem is referenced by:  divalglem1  16357