Theorem ltlei 10790

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		ltle 10757	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5030  ℝcr 10564   < clt 10703   ≤ cle 10704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-resscn 10622  ax-pre-lttri 10639

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5428  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709

This theorem is referenced by:  ltleii  10791  letrii  10793  dvdslelem  15700  hgt750lem  32140  dnizphlfeqhlf  34195  knoppcnlem4  34215  lcmineqlem  39609