Theorem divalglem1 16564

Description: Lemma for divalg 16573. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem1	⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Proof of Theorem divalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
2	1	zrei 12699	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
3		0re 11310	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	letrii 11435	. . 3 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)
5		divalglem0.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
6		divalglem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ≠ 0
7		nnabscl 15493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
9		nnge1 12366	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ∈ ℕ → 1 ≤ (abs‘𝐷))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (abs‘𝐷)
11		le0neg1 11824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁)
13	2	renegcli 11619	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑁 ∈ ℝ
14	5	zrei 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
15	14	recni 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	15	abscli 15563	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
17		lemulge11 12179	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷))) → -𝑁 ≤ ( -𝑁 · (abs‘𝐷)))
18	13, 16, 17	mpanl12 715	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ ( -𝑁 · (abs‘𝐷)))
19	12, 18	sylanb 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ ( -𝑁 · (abs‘𝐷)))
20	10, 19	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ ( -𝑁 · (abs‘𝐷)))
21	2	recni 11323	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22	21, 15	absmuli 15572	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
23	2	absnidi 15546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘𝑁) = -𝑁)
24	23	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = ( -𝑁 · (abs‘𝐷)))
25	22, 24	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ( -𝑁 · (abs‘𝐷)))
26	20, 25	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
27		le0neg2 11825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0))
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0)
29	2, 14	remulcli 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℝ
30	29	recni 11323	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℂ
31	30	absge0i 15564	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
32	30	abscli 15563	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℝ
33	13, 3, 32	letri 11439	. . . . . 6 ⊢ (( -𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
34	31, 33	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ ( -𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
35	28, 34	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝑁 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
36	26, 35	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
37	4, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
38		df-neg 11544	. . . 4 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
39	38	breq1i 5109	. . 3 ⊢ ( -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ (0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
40	3, 2, 32	lesubadd2i 11876	. . 3 ⊢ ((0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
41	39, 40	bitri 278	. 2 ⊢ ( -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
42	37, 41	mpbi 233	1 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  divalglem2  16565