Theorem divalglem1 16430

Description: Lemma for divalg 16439. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem1	⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Proof of Theorem divalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
2	1	zrei 12576	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
3		0re 11185	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	letrii 11310	. . 3 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)
5		divalglem0.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
6		divalglem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ≠ 0
7		nnabscl 15355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
9		nnge1 12243	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ∈ ℕ → 1 ≤ (abs‘𝐷))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (abs‘𝐷)
11		le0neg1 11697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁)
13	2	renegcli 11494	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑁 ∈ ℝ
14	5	zrei 12576	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
15	14	recni 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	15	abscli 15425	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
17		lemulge11 12056	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷))) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
18	13, 16, 17	mpanl12 712	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
19	12, 18	sylanb 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
20	10, 19	mpan2 701	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
21	2	recni 11198	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22	21, 15	absmuli 15434	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
23	2	absnidi 15408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘𝑁) = -𝑁)
24	23	oveq1d 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
25	22, 24	eqtrid 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
26	20, 25	breqtrrd 5130	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
27		le0neg2 11698	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0))
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0)
29	2, 14	remulcli 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℝ
30	29	recni 11198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℂ
31	30	absge0i 15426	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
32	30	abscli 15425	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℝ
33	13, 3, 32	letri 11314	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
34	31, 33	mpan2 701	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
35	28, 34	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝑁 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
36	26, 35	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
37	4, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
38		df-neg 11419	. . . 4 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
39	38	breq1i 5109	. . 3 ⊢ (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ (0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
40	3, 2, 32	lesubadd2i 11749	. . 3 ⊢ ((0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
41	39, 40	bitri 277	. 2 ⊢ (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
42	37, 41	mpbi 232	1 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11219   − cmin 11416  -cneg 11417  ℕcn 12212  ℤcz 12570  abscabs 15263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265

This theorem is referenced by:  divalglem2  16431