Theorem divalglem1 16431

Description: Lemma for divalg 16440. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem1	⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Proof of Theorem divalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
2	1	zrei 12619	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
3		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	letrii 11386	. . 3 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)
5		divalglem0.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
6		divalglem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ≠ 0
7		nnabscl 15364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
9		nnge1 12294	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ∈ ℕ → 1 ≤ (abs‘𝐷))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (abs‘𝐷)
11		le0neg1 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁)
13	2	renegcli 11570	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑁 ∈ ℝ
14	5	zrei 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
15	14	recni 11275	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	15	abscli 15434	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
17		lemulge11 12130	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷))) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
18	13, 16, 17	mpanl12 702	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
19	12, 18	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
20	10, 19	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
21	2	recni 11275	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22	21, 15	absmuli 15443	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
23	2	absnidi 15417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘𝑁) = -𝑁)
24	23	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
25	22, 24	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
26	20, 25	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
27		le0neg2 11772	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0))
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0)
29	2, 14	remulcli 11277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℝ
30	29	recni 11275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℂ
31	30	absge0i 15435	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
32	30	abscli 15434	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℝ
33	13, 3, 32	letri 11390	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
34	31, 33	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
35	28, 34	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝑁 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
36	26, 35	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
37	4, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
38		df-neg 11495	. . . 4 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
39	38	breq1i 5150	. . 3 ⊢ (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ (0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
40	3, 2, 32	lesubadd2i 11823	. . 3 ⊢ ((0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
41	39, 40	bitri 275	. 2 ⊢ (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
42	37, 41	mpbi 230	1 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℤcz 12613  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  divalglem2  16432