MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem1 16281
Description: Lemma for divalg 16290. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem0.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem1.3 ๐ท โ‰  0
Assertion
Ref Expression
divalglem1 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divalglem1
StepHypRef Expression
1 divalglem0.1 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„ค
21zrei 12510 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„
3 0re 11162 . . . 4 0 โˆˆ โ„
42, 3letrii 11285 . . 3 (๐‘ โ‰ค 0 โˆจ 0 โ‰ค ๐‘)
5 divalglem0.2 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„ค
6 divalglem1.3 . . . . . . . 8 ๐ท โ‰  0
7 nnabscl 15216 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . 7 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
9 nnge1 12186 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท))
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท)
11 le0neg1 11668 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘))
122, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (๐‘ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘)
132renegcli 11467 . . . . . . . 8 -๐‘ โˆˆ โ„
145zrei 12510 . . . . . . . . . 10 ๐ท โˆˆ โ„
1514recni 11174 . . . . . . . . 9 ๐ท โˆˆ โ„‚
1615abscli 15286 . . . . . . . 8 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„
17 lemulge11 12022 . . . . . . . 8 (((-๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค -๐‘ โˆง 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท))) โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
1813, 16, 17mpanl12 701 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค -๐‘ โˆง 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท)) โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
1912, 18sylanb 582 . . . . . 6 ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท)) โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
2010, 19mpan2 690 . . . . 5 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
212recni 11174 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„‚
2221, 15absmuli 15295 . . . . . 6 (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) = ((absโ€˜๐‘) ยท (absโ€˜๐ท))
232absnidi 15269 . . . . . . 7 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ (absโ€˜๐‘) = -๐‘)
2423oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท (absโ€˜๐ท)) = (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
2522, 24eqtrid 2785 . . . . 5 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) = (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
2620, 25breqtrrd 5134 . . . 4 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
27 le0neg2 11669 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” -๐‘ โ‰ค 0))
282, 27ax-mp 5 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐‘ โ†” -๐‘ โ‰ค 0)
292, 14remulcli 11176 . . . . . . . 8 (๐‘ ยท ๐ท) โˆˆ โ„
3029recni 11174 . . . . . . 7 (๐‘ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚
3130absge0i 15287 . . . . . 6 0 โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))
3230abscli 15286 . . . . . . 7 (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โˆˆ โ„
3313, 3, 32letri 11289 . . . . . 6 ((-๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))) โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
3431, 33mpan2 690 . . . . 5 (-๐‘ โ‰ค 0 โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
3528, 34sylbi 216 . . . 4 (0 โ‰ค ๐‘ โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
3626, 35jaoi 856 . . 3 ((๐‘ โ‰ค 0 โˆจ 0 โ‰ค ๐‘) โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
374, 36ax-mp 5 . 2 -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))
38 df-neg 11393 . . . 4 -๐‘ = (0 โˆ’ ๐‘)
3938breq1i 5113 . . 3 (-๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โ†” (0 โˆ’ ๐‘) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
403, 2, 32lesubadd2i 11720 . . 3 ((0 โˆ’ ๐‘) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))))
4139, 40bitri 275 . 2 (-๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))))
4237, 41mpbi 229 1 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  abscabs 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  divalglem2  16282
  Copyright terms: Public domain W3C validator