MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem1 16103
Description: Lemma for divalg 16112. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divalglem1 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Proof of Theorem divalglem1
StepHypRef Expression
1 divalglem0.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
21zrei 12325 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3 0re 10977 . . . 4 0 ∈ ℝ
42, 3letrii 11100 . . 3 (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)
5 divalglem0.2 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℤ
6 divalglem1.3 . . . . . . . 8 𝐷 ≠ 0
7 nnabscl 15037 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
85, 6, 7mp2an 689 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
9 nnge1 12001 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ∈ ℕ → 1 ≤ (abs‘𝐷))
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ (abs‘𝐷)
11 le0neg1 11483 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
122, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁)
132renegcli 11282 . . . . . . . 8 -𝑁 ∈ ℝ
145zrei 12325 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ ℝ
1514recni 10989 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℂ
1615abscli 15107 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
17 lemulge11 11837 . . . . . . . 8 (((-𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷))) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
1813, 16, 17mpanl12 699 . . . . . . 7 ((0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
1912, 18sylanb 581 . . . . . 6 ((𝑁 ≤ 0 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2010, 19mpan2 688 . . . . 5 (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
212recni 10989 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℂ
2221, 15absmuli 15116 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
232absnidi 15090 . . . . . . 7 (𝑁 ≤ 0 → (abs‘𝑁) = -𝑁)
2423oveq1d 7290 . . . . . 6 (𝑁 ≤ 0 → ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2522, 24eqtrid 2790 . . . . 5 (𝑁 ≤ 0 → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2620, 25breqtrrd 5102 . . . 4 (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
27 le0neg2 11484 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0))
282, 27ax-mp 5 . . . . 5 (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0)
292, 14remulcli 10991 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℝ
3029recni 10989 . . . . . . 7 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℂ
3130absge0i 15108 . . . . . 6 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
3230abscli 15107 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℝ
3313, 3, 32letri 11104 . . . . . 6 ((-𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3431, 33mpan2 688 . . . . 5 (-𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3528, 34sylbi 216 . . . 4 (0 ≤ 𝑁 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3626, 35jaoi 854 . . 3 ((𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
374, 36ax-mp 5 . 2 -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
38 df-neg 11208 . . . 4 -𝑁 = (0 − 𝑁)
3938breq1i 5081 . . 3 (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ (0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
403, 2, 32lesubadd2i 11535 . . 3 ((0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4139, 40bitri 274 . 2 (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4237, 41mpbi 229 1 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wo 844  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206  cn 11973  cz 12319  abscabs 14945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947
This theorem is referenced by:  divalglem2  16104
  Copyright terms: Public domain W3C validator