MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem1 16427
Description: Lemma for divalg 16436. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
Assertion
Ref Expression
divalglem1 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Proof of Theorem divalglem1
StepHypRef Expression
1 divalglem0.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
21zrei 12616 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3 0re 11260 . . . 4 0 ∈ ℝ
42, 3letrii 11383 . . 3 (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)
5 divalglem0.2 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℤ
6 divalglem1.3 . . . . . . . 8 𝐷 ≠ 0
7 nnabscl 15360 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
85, 6, 7mp2an 692 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
9 nnge1 12291 . . . . . . 7 ((abs‘𝐷) ∈ ℕ → 1 ≤ (abs‘𝐷))
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ (abs‘𝐷)
11 le0neg1 11768 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
122, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁)
132renegcli 11567 . . . . . . . 8 -𝑁 ∈ ℝ
145zrei 12616 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ ℝ
1514recni 11272 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℂ
1615abscli 15430 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
17 lemulge11 12127 . . . . . . . 8 (((-𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷))) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
1813, 16, 17mpanl12 702 . . . . . . 7 ((0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
1912, 18sylanb 581 . . . . . 6 ((𝑁 ≤ 0 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2010, 19mpan2 691 . . . . 5 (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
212recni 11272 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℂ
2221, 15absmuli 15439 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
232absnidi 15413 . . . . . . 7 (𝑁 ≤ 0 → (abs‘𝑁) = -𝑁)
2423oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑁 ≤ 0 → ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2522, 24eqtrid 2786 . . . . 5 (𝑁 ≤ 0 → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
2620, 25breqtrrd 5175 . . . 4 (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
27 le0neg2 11769 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0))
282, 27ax-mp 5 . . . . 5 (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0)
292, 14remulcli 11274 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℝ
3029recni 11272 . . . . . . 7 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℂ
3130absge0i 15431 . . . . . 6 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
3230abscli 15430 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℝ
3313, 3, 32letri 11387 . . . . . 6 ((-𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3431, 33mpan2 691 . . . . 5 (-𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3528, 34sylbi 217 . . . 4 (0 ≤ 𝑁 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3626, 35jaoi 857 . . 3 ((𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
374, 36ax-mp 5 . 2 -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
38 df-neg 11492 . . . 4 -𝑁 = (0 − 𝑁)
3938breq1i 5154 . . 3 (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ (0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
403, 2, 32lesubadd2i 11820 . . 3 ((0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4139, 40bitri 275 . 2 (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4237, 41mpbi 230 1 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 847  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490  cn 12263  cz 12610  abscabs 15269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271
This theorem is referenced by:  divalglem2  16428
  Copyright terms: Public domain W3C validator