Theorem divalglem1 16358

Description: Lemma for divalg 16367. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem1	⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Proof of Theorem divalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
2	1	zrei 12525	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
3		0re 11141	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	letrii 11266	. . 3 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁)
5		divalglem0.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
6		divalglem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ≠ 0
7		nnabscl 15283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	mp2an 699	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ
9		nnge1 12200	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐷) ∈ ℕ → 1 ≤ (abs‘𝐷))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (abs‘𝐷)
11		le0neg1 11653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁))
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑁)
13	2	renegcli 11450	. . . . . . . 8 ⊢ -𝑁 ∈ ℝ
14	5	zrei 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
15	14	recni 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
16	15	abscli 15353	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
17		lemulge11 12013	. . . . . . . 8 ⊢ (((-𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷))) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
18	13, 16, 17	mpanl12 709	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ -𝑁 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
19	12, 18	sylanb 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 1 ≤ (abs‘𝐷)) → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
20	10, 19	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
21	2	recni 11154	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
22	21, 15	absmuli 15362	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
23	2	absnidi 15336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘𝑁) = -𝑁)
24	23	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
25	22, 24	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (-𝑁 · (abs‘𝐷)))
26	20, 25	breqtrrd 5103	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
27		le0neg2 11654	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0))
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ 0)
29	2, 14	remulcli 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℝ
30	29	recni 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℂ
31	30	absge0i 15354	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
32	30	abscli 15353	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℝ
33	13, 3, 32	letri 11270	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
34	31, 33	mpan2 698	. . . . 5 ⊢ (-𝑁 ≤ 0 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
35	28, 34	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 𝑁 → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
36	26, 35	jaoi 864	. . 3 ⊢ ((𝑁 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝑁) → -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
37	4, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ -𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷))
38		df-neg 11375	. . . 4 ⊢ -𝑁 = (0 − 𝑁)
39	38	breq1i 5082	. . 3 ⊢ (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ (0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
40	3, 2, 32	lesubadd2i 11705	. . 3 ⊢ ((0 − 𝑁) ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
41	39, 40	bitri 277	. 2 ⊢ (-𝑁 ≤ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
42	37, 41	mpbi 232	1 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   ≤ cle 11175   − cmin 11372  -cneg 11373  ℕcn 12169  ℤcz 12519  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  divalglem2  16359