MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem1 16337
Description: Lemma for divalg 16346. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem0.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem1.3 ๐ท โ‰  0
Assertion
Ref Expression
divalglem1 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divalglem1
StepHypRef Expression
1 divalglem0.1 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„ค
21zrei 12564 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„
3 0re 11216 . . . 4 0 โˆˆ โ„
42, 3letrii 11339 . . 3 (๐‘ โ‰ค 0 โˆจ 0 โ‰ค ๐‘)
5 divalglem0.2 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„ค
6 divalglem1.3 . . . . . . . 8 ๐ท โ‰  0
7 nnabscl 15272 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . 7 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
9 nnge1 12240 . . . . . . 7 ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท))
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท)
11 le0neg1 11722 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘))
122, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (๐‘ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘)
132renegcli 11521 . . . . . . . 8 -๐‘ โˆˆ โ„
145zrei 12564 . . . . . . . . . 10 ๐ท โˆˆ โ„
1514recni 11228 . . . . . . . . 9 ๐ท โˆˆ โ„‚
1615abscli 15342 . . . . . . . 8 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„
17 lemulge11 12076 . . . . . . . 8 (((-๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค -๐‘ โˆง 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท))) โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
1813, 16, 17mpanl12 701 . . . . . . 7 ((0 โ‰ค -๐‘ โˆง 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท)) โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
1912, 18sylanb 582 . . . . . 6 ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 1 โ‰ค (absโ€˜๐ท)) โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
2010, 19mpan2 690 . . . . 5 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ -๐‘ โ‰ค (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
212recni 11228 . . . . . . 7 ๐‘ โˆˆ โ„‚
2221, 15absmuli 15351 . . . . . 6 (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) = ((absโ€˜๐‘) ยท (absโ€˜๐ท))
232absnidi 15325 . . . . . . 7 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ (absโ€˜๐‘) = -๐‘)
2423oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((absโ€˜๐‘) ยท (absโ€˜๐ท)) = (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
2522, 24eqtrid 2785 . . . . 5 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) = (-๐‘ ยท (absโ€˜๐ท)))
2620, 25breqtrrd 5177 . . . 4 (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
27 le0neg2 11723 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” -๐‘ โ‰ค 0))
282, 27ax-mp 5 . . . . 5 (0 โ‰ค ๐‘ โ†” -๐‘ โ‰ค 0)
292, 14remulcli 11230 . . . . . . . 8 (๐‘ ยท ๐ท) โˆˆ โ„
3029recni 11228 . . . . . . 7 (๐‘ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚
3130absge0i 15343 . . . . . 6 0 โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))
3230abscli 15342 . . . . . . 7 (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โˆˆ โ„
3313, 3, 32letri 11343 . . . . . 6 ((-๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))) โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
3431, 33mpan2 690 . . . . 5 (-๐‘ โ‰ค 0 โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
3528, 34sylbi 216 . . . 4 (0 โ‰ค ๐‘ โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
3626, 35jaoi 856 . . 3 ((๐‘ โ‰ค 0 โˆจ 0 โ‰ค ๐‘) โ†’ -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
374, 36ax-mp 5 . 2 -๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))
38 df-neg 11447 . . . 4 -๐‘ = (0 โˆ’ ๐‘)
3938breq1i 5156 . . 3 (-๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โ†” (0 โˆ’ ๐‘) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
403, 2, 32lesubadd2i 11774 . . 3 ((0 โˆ’ ๐‘) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))))
4139, 40bitri 275 . 2 (-๐‘ โ‰ค (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท))))
4237, 41mpbi 229 1 0 โ‰ค (๐‘ + (absโ€˜(๐‘ ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  divalglem2  16338
  Copyright terms: Public domain W3C validator