MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reslmhm2b 20810
Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
reslmhm2.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
reslmhm2b ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)))
Proof of Theorem reslmhm2b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2731 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
3 eqid 2731 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2731 . . 3 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
5 eqid 2731 . . 3 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
7 lmhmlmod1 20789 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
87adantl 481 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
9 simpl1 1190 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 simpl2 1191 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
11 reslmhm2.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
12 reslmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
1311, 12lsslmod 20716 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
149, 10, 13syl2anc 583 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
15 eqid 2731 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
1611, 15resssca 17293 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
17163ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
184, 15lmhmsca 20786 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
1917, 18sylan9req 2792 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘†))
20 lmghm 20787 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2112lsssubg 20713 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
2211resghm2b 19149 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
2321, 22stoic3 1777 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
2423biimpa 476 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
2520, 24sylan2 592 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
26 eqid 2731 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
274, 6, 1, 2, 26lmhmlin 20791 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
28273expb 1119 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2928adantll 711 . . . 4 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
30 simpll2 1212 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
3111, 26ressvsca 17294 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
3231oveqd 7429 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3429, 33eqtrd 2771 . . 3 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 19, 25, 34islmhmd 20795 . 2 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ))
36 simpr 484 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ))
37 simpl1 1190 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
38 simpl2 1191 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
3911, 12reslmhm2 20809 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1370 . 2 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4135, 40impbida 798 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  SubGrpcsubg 19037   GrpHom cghm 19128  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687   LMHom clmhm 20775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lmhm 20778
This theorem is referenced by:  pj1lmhm2  20857  frlmsplit2  21548  dimkerim  33001  algextdeglem2  33064
  Copyright terms: Public domain W3C validator