MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reslmhm2b 20670
Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
reslmhm2.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
reslmhm2b ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)))
Proof of Theorem reslmhm2b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2732 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
3 eqid 2732 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
5 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
7 lmhmlmod1 20649 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
87adantl 482 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
9 simpl1 1191 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 simpl2 1192 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
11 reslmhm2.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
12 reslmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
1311, 12lsslmod 20576 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
149, 10, 13syl2anc 584 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
1611, 15resssca 17290 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
17163ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
184, 15lmhmsca 20646 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
1917, 18sylan9req 2793 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘†))
20 lmghm 20647 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2112lsssubg 20573 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
2211resghm2b 19112 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
2321, 22stoic3 1778 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
2423biimpa 477 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
2520, 24sylan2 593 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
26 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
274, 6, 1, 2, 26lmhmlin 20651 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
28273expb 1120 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2928adantll 712 . . . 4 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
30 simpll2 1213 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
3111, 26ressvsca 17291 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
3231oveqd 7428 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3429, 33eqtrd 2772 . . 3 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 19, 25, 34islmhmd 20655 . 2 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ))
36 simpr 485 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ))
37 simpl1 1191 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
38 simpl2 1192 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
3911, 12reslmhm2 20669 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1371 . 2 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4135, 40impbida 799 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  SubGrpcsubg 19002   GrpHom cghm 19091  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547   LMHom clmhm 20635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lmhm 20638
This theorem is referenced by:  pj1lmhm2  20717  frlmsplit2  21334  dimkerim  32771  algextdeglem2  32834
  Copyright terms: Public domain W3C validator