Theorem reslmhm2b 21335

Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reslmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
reslmhm2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
reslmhm2b	⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈)))

Proof of Theorem reslmhm2b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
7		lmhmlmod1 21314	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ LMod)
9		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ LMod)
10		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → 𝑋 ∈ 𝐿)
11		reslmhm2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
12		reslmhm2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
13	11, 12	lsslmod 21241	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ LMod)
14	9, 10, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → 𝑈 ∈ LMod)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
16	11, 15	resssca 17520	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
17	16	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
18	4, 15	lmhmsca 21311	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
19	17, 18	sylan9req 2816	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
20		lmghm 21312	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
21	12	lsssubg 21238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
22	11	resghm2b 19454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
23	21, 22	stoic3 1808	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
24	23	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
25	20, 24	sylan2 605	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
26		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
27	4, 6, 1, 2, 26	lmhmlin 21316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
28	27	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
29	28	adantll 727	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
30		simpll2 1232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑋 ∈ 𝐿)
31	11, 26	ressvsca 17521	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
32	31	oveqd 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
33	30, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
34	29, 33	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 19, 25, 34	islmhmd 21320	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
36		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈))
37		simpl1 1210	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈)) → 𝑇 ∈ LMod)
38		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐿)
39	11, 12	reslmhm2 21334	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
41	35, 40	impbida 813	1 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ran crn 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  SubGrpcsubg 19336   GrpHom cghm 19433  LModclmod 21141  LSubSpclss 21212   LMHom clmhm 21300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lmhm 21303

This theorem is used by:  pj1lmhm2  21382  frlmsplit2  22085  dimkerim  34306  algextdeglem2  34397