MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reslmhm2b 20530
Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
reslmhm2.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
reslmhm2b ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)))

Proof of Theorem reslmhm2b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
3 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
5 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
7 lmhmlmod1 20509 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
87adantl 483 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
9 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 simpl2 1193 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
11 reslmhm2.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
12 reslmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
1311, 12lsslmod 20436 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
149, 10, 13syl2anc 585 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
1611, 15resssca 17229 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
17163ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
184, 15lmhmsca 20506 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
1917, 18sylan9req 2794 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘†))
20 lmghm 20507 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2112lsssubg 20433 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
2211resghm2b 19031 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
2321, 22stoic3 1779 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
2423biimpa 478 . . . 4 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
2520, 24sylan2 594 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
26 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
274, 6, 1, 2, 26lmhmlin 20511 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
28273expb 1121 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2928adantll 713 . . . 4 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
30 simpll2 1214 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
3111, 26ressvsca 17230 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
3231oveqd 7375 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3429, 33eqtrd 2773 . . 3 ((((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 19, 25, 34islmhmd 20515 . 2 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ))
36 simpr 486 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ))
37 simpl1 1192 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
38 simpl2 1193 . . 3 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
3911, 12reslmhm2 20529 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1372 . 2 (((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4135, 40impbida 800 1 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿 ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  SubGrpcsubg 18927   GrpHom cghm 19010  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407   LMHom clmhm 20495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498
This theorem is referenced by:  pj1lmhm2  20577  frlmsplit2  21195  dimkerim  32379
  Copyright terms: Public domain W3C validator