Theorem lmhmqusker 33437

Description: A surjective module homomorphism 𝐹 from 𝐺 to 𝐻 induces an isomorphism 𝐽 from 𝑄 to 𝐻, where 𝑄 is the factor group of 𝐺 by 𝐹's kernel 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
lmhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
lmhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
lmhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
lmhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
lmhmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
lmhmqusker	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 LMIso 𝐻))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem lmhmqusker

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘𝐻)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
7		lmhmqusker.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		lmhmqusker.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
10		lmhmlmod1 20996	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐺 ∈ LMod)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ LMod)
12		lmhmqusker.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
13		lmhmqusker.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐺) = (LSubSp‘𝐺)
15	12, 13, 14	lmhmkerlss 21014	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝐺))
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝐺))
17	7, 8, 11, 16	quslmod 33378	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LMod)
18		lmhmlmod2 20995	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐻 ∈ LMod)
19	9, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
20		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
21	20, 5	lmhmsca 20993	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐺))
22	9, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐺))
23	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
24	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
25		ovexd 7445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
26	23, 24, 25, 11, 20	quss 17565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑄))
27	22, 26	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝑄))
28		lmghm 20994	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
29	9, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
30		lmhmqusker.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
31		lmhmqusker.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
32	13, 29, 12, 7, 30, 31	ghmqusker 19275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
33		gimghm 19252	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpHom 𝐻))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpHom 𝐻))
35	13	ghmker 19230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
37	12, 36	eqeltrid 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
38		nsgsubg 19146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
39		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
40	8, 39	eqger 19166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
41	37, 38, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
42	41	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
43		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑄))
44	23, 24, 25, 11	qusbas 17564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
45	44	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
46	43, 45	eleqtrrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
47		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑟)
48		qsel 8815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) → 𝑟 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
49	42, 46, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
50	49	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
51		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
52		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
53	11	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐺 ∈ LMod)
54	16	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝐺))
55		simp-4r 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
56	26	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
57	56	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
58	55, 57	eleqtrrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
59	41	qsss 8797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
60	44, 59	eqsstrrd 3999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
61	60	sselda 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝑟 ∈ 𝒫 (Base‘𝐺))
62	61	elpwid 4589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝑟 ⊆ (Base‘𝐺))
63	62	ad5ant13 756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 ⊆ (Base‘𝐺))
64	63, 47	sseldd 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
65	8, 39, 51, 52, 53, 54, 58, 7, 2, 64	qusvsval 33372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = [(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾))
66	50, 65	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟) = [(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾))
67	66	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝐽‘[(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾)))
68	29	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
69	8, 20, 52, 51	lmodvscl 20840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
70	53, 58, 64, 69	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
71	13, 68, 12, 7, 30, 70	ghmquskerlem1 19271	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘[(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)))
72	9	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
73	20, 51, 8, 52, 3	lmhmlin 20998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
74	72, 58, 64, 73	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
75	67, 71, 74	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
76		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥))
77	76	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
78	75, 77	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)))
79	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
80		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑄))
81	13, 79, 12, 7, 30, 80	ghmquskerlem2 19273	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → ∃𝑥 ∈ 𝑟 (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥))
82	78, 81	r19.29a 3149	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)))
83	82	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 19, 27, 34, 83	islmhmd 21002	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 LMHom 𝐻))
85		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
86	1, 85	gimf1o 19251	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
87	32, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
88	1, 85	islmim 21025	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 LMIso 𝐻) ↔ (𝐽 ∈ (𝑄 LMHom 𝐻) ∧ 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻)))
89	84, 87, 88	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 LMIso 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  ∪ cuni 4888   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   “ cima 5662  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   Er wer 8721  [cec 8722   / cqs 8723  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458   /_s cqus 17524  SubGrpcsubg 19108  NrmSGrpcnsg 19109   ~_QG cqg 19110   GrpHom cghm 19200   GrpIso cgim 19245  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893   LMHom clmhm 20982   LMIso clmim 20983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-0g 17460  df-imas 17527  df-qus 17528  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lmhm 20985  df-lmim 20986

This theorem is referenced by:  lmicqusker  33438  algextdeglem4  33759