Theorem lmhmqusker 32809

Description: A surjective module homomorphism 𝐹 from 𝐺 to 𝐻 induces an isomorphism 𝐽 from 𝑄 to 𝐻, where 𝑄 is the factor group of 𝐺 by 𝐹's kernel 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
lmhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
lmhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
lmhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
lmhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
lmhmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
lmhmqusker	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 LMIso 𝐻))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝐻,𝑞   𝐽,𝑞   𝐾,𝑞   𝑄,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem lmhmqusker

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘𝐻)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
7		lmhmqusker.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		lmhmqusker.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
10		lmhmlmod1 20789	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐺 ∈ LMod)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ LMod)
12		lmhmqusker.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
13		lmhmqusker.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝐺) = (LSubSp‘𝐺)
15	12, 13, 14	lmhmkerlss 20807	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝐺))
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝐺))
17	7, 8, 11, 16	quslmod 32744	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LMod)
18		lmhmlmod2 20788	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐻 ∈ LMod)
19	9, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
20		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
21	20, 5	lmhmsca 20786	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐺))
22	9, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐺))
23	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
24	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
25		ovexd 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
26	23, 24, 25, 11, 20	quss 17497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝑄))
27	22, 26	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝑄))
28		lmghm 20787	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
29	9, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
30		lmhmqusker.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
31		lmhmqusker.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
32	13, 29, 12, 7, 30, 31	ghmqusker 32807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻))
33		gimghm 19179	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpHom 𝐻))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 GrpHom 𝐻))
35	13	ghmker 19157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
37	12, 36	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
38		nsgsubg 19075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
39		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
40	8, 39	eqger 19095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
41	37, 38, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
42	41	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
43		simpllr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑄))
44	23, 24, 25, 11	qusbas 17496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
45	44	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
46	43, 45	eleqtrrd 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
47		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝑟)
48		qsel 8794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑟 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) → 𝑟 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
49	42, 46, 47, 48	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
50	49	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
51		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
52		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐺) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
53	11	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐺 ∈ LMod)
54	16	ad4antr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐾 ∈ (LSubSp‘𝐺))
55		simp-4r 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
56	26	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
57	56	ad4antr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
58	55, 57	eleqtrrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
59	41	qsss 8776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
60	44, 59	eqsstrrd 4021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑄) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
61	60	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝑟 ∈ 𝒫 (Base‘𝐺))
62	61	elpwid 4611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝑟 ⊆ (Base‘𝐺))
63	62	ad5ant13 754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑟 ⊆ (Base‘𝐺))
64	63, 47	sseldd 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
65	8, 39, 51, 52, 53, 54, 58, 7, 2, 64	qusvsval 32738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = [(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾))
66	50, 65	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟) = [(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾))
67	66	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝐽‘[(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾)))
68	29	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
69	8, 20, 52, 51	lmodvscl 20633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
70	53, 58, 64, 69	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
71	13, 68, 12, 7, 30, 70	ghmquskerlem1 32803	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘[(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)))
72	9	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → 𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻))
73	20, 51, 8, 52, 3	lmhmlin 20791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 LMHom 𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
74	72, 58, 64, 73	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝐺)𝑥)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
75	67, 71, 74	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
76		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥))
77	76	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐹‘𝑥)))
78	75, 77	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟) ∧ (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)))
79	29	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
80		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑄))
81	13, 79, 12, 7, 30, 80	ghmquskerlem2 32805	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → ∃𝑥 ∈ 𝑟 (𝐽‘𝑟) = (𝐹‘𝑥))
82	78, 81	r19.29a 3161	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄)) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)))
83	82	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑄))) → (𝐽‘(𝑘( ·𝑠 ‘𝑄)𝑟)) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝐽‘𝑟)))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 19, 27, 34, 83	islmhmd 20795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 LMHom 𝐻))
85		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
86	1, 85	gimf1o 19178	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 GrpIso 𝐻) → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
87	32, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻))
88	1, 85	islmim 20818	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑄 LMIso 𝐻) ↔ (𝐽 ∈ (𝑄 LMHom 𝐻) ∧ 𝐽:(Base‘𝑄)–1-1-onto→(Base‘𝐻)))
89	84, 87, 88	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑄 LMIso 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  ∪ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677   “ cima 5679  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8704  [cec 8705   / cqs 8706  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  0_gc0g 17390   /_s cqus 17456  SubGrpcsubg 19037  NrmSGrpcnsg 19038   ~_QG cqg 19039   GrpHom cghm 19128   GrpIso cgim 19172  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687   LMHom clmhm 20775   LMIso clmim 20776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-0g 17392  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lmhm 20778  df-lmim 20779

This theorem is referenced by:  lmicqusker  32810  algextdeglem4  33066