Theorem lmghm 20935

Description: A homomorphism of left modules is a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Proof of Theorem lmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 20933	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simprld 771	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Scalarcsca 17164   GrpHom cghm 19091  LModclmod 20763   LMHom clmhm 20923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-lmhm 20926

This theorem is referenced by:  lmhmf  20938  islmhm2  20942  lmhmco  20947  lmhmplusg  20948  lmhmvsca  20949  lmhmf1o  20950  lmhmima  20951  lmhmpreima  20952  reslmhm  20956  reslmhm2  20957  reslmhm2b  20958  lmhmeql  20959  lmimgim  20969  ip0l  21543  ipdir  21546  islindf5  21746  isnmhm2  24638  nmoleub2lem  25012  nmoleub2lem2  25014  nmhmcn  25018  lmhmghmd  32991  lmhmqusker  33354  dimkerim  33594  kercvrlsm  43056  pwssplit4  43062  mendring  43161