Theorem lmghm 21315

Description: A homomorphism of left modules is a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Proof of Theorem lmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21313	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simprld 784	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Scalarcsca 17440   GrpHom cghm 19436  LModclmod 21144   LMHom clmhm 21303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-lmhm 21306

This theorem is used by:  lmhmf  21318  islmhm2  21322  lmhmco  21327  lmhmplusg  21328  lmhmvsca  21329  lmhmf1o  21330  lmhmima  21331  lmhmpreima  21332  reslmhm  21336  reslmhm2  21337  reslmhm2b  21338  lmhmeql  21339  lmimgim  21349  ip0l  21951  ipdir  21954  islindf5  22154  isnmhm2  25080  nmoleub2lem  25444  nmoleub2lem2  25446  nmhmcn  25450  lmhmghmd  33647  lmhmqusker  34018  dimkerim  34309  kercvrlsm  44222  pwssplit4  44228  mendring  44327