Theorem lmghm 20995

Description: A homomorphism of left modules is a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Proof of Theorem lmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 20993	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simprld 772	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Scalarcsca 17192   GrpHom cghm 19153  LModclmod 20823   LMHom clmhm 20983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-lmhm 20986

This theorem is referenced by:  lmhmf  20998  islmhm2  21002  lmhmco  21007  lmhmplusg  21008  lmhmvsca  21009  lmhmf1o  21010  lmhmima  21011  lmhmpreima  21012  reslmhm  21016  reslmhm2  21017  reslmhm2b  21018  lmhmeql  21019  lmimgim  21029  ip0l  21603  ipdir  21606  islindf5  21806  isnmhm2  24708  nmoleub2lem  25082  nmoleub2lem2  25084  nmhmcn  25088  lmhmghmd  33130  lmhmqusker  33510  dimkerim  33805  kercvrlsm  43440  pwssplit4  43446  mendring  43545