MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmghm 19356
Description: A homomorphism of left modules is a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmghm (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Proof of Theorem lmghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2803 . . 3 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2 eqid 2803 . . 3 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
31, 2lmhmlem 19354 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4 simprl 788 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6105  (class class class)co 6882  Scalarcsca 16274   GrpHom cghm 17974  LModclmod 19185   LMHom clmhm 19344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ral 3098  df-rex 3099  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-br 4848  df-opab 4910  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fv 6113  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-lmhm 19347
This theorem is referenced by:  lmhmf  19359  islmhm2  19363  lmhmco  19368  lmhmplusg  19369  lmhmvsca  19370  lmhmf1o  19371  lmhmima  19372  lmhmpreima  19373  reslmhm  19377  reslmhm2  19378  reslmhm2b  19379  lmhmeql  19380  lmimgim  19390  ip0l  20309  ipdir  20312  islindf5  20507  isnmhm2  22888  nmoleub2lem  23245  nmoleub2lem2  23247  nmhmcn  23251  kercvrlsm  38442  pwssplit4  38448  mendring  38551
  Copyright terms: Public domain W3C validator