Theorem lmghm 21216

Description: A homomorphism of left modules is a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Proof of Theorem lmghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 21214	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simprld 784	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Scalarcsca 17346   GrpHom cghm 19341  LModclmod 21045   LMHom clmhm 21204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-lmhm 21207

This theorem is used by:  lmhmf  21219  islmhm2  21223  lmhmco  21228  lmhmplusg  21229  lmhmvsca  21230  lmhmf1o  21231  lmhmima  21232  lmhmpreima  21233  reslmhm  21237  reslmhm2  21238  reslmhm2b  21239  lmhmeql  21240  lmimgim  21250  ip0l  21850  ipdir  21853  islindf5  22053  isnmhm2  24979  nmoleub2lem  25343  nmoleub2lem2  25345  nmhmcn  25349  lmhmghmd  33477  lmhmqusker  33847  dimkerim  34138  kercvrlsm  43925  pwssplit4  43931  mendring  44030