Theorem reslmhm2 20960

Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reslmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
reslmhm2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
reslmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Proof of Theorem reslmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5		eqid 2729	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
7		lmhmlmod1 20940	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝑆 ∈ LMod)
8	7	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
9		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ LMod)
10		reslmhm2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
11	10, 5	resssca 17306	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
12	11	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
14	4, 13	lmhmsca 20937	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
15	14	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
16	12, 15	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
17		lmghm 20938	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
18	17	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
19		reslmhm2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
20	19	lsssubg 20863	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
21	20	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
22	10	resghm2 19165	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
23	18, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
25	4, 6, 1, 2, 24	lmhmlin 20942	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
26	25	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
27	26	3ad2antl1 1186	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
28		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑋 ∈ 𝐿)
29	10, 3	ressvsca 17307	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
30	29	oveqd 7404	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
31	28, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
32	27, 31	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 23, 32	islmhmd 20946	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  SubGrpcsubg 19052   GrpHom cghm 19144  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837   LMHom clmhm 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lmhm 20929

This theorem is referenced by:  reslmhm2b  20961