MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reslmhm2 19754
Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
reslmhm2.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
reslmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Proof of Theorem reslmhm2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2 eqid 2818 . 2 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
3 eqid 2818 . 2 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2818 . 2 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5 eqid 2818 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2818 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
7 lmhmlmod1 19734 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝑆 ∈ LMod)
873ad2ant1 1125 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
9 simp2 1129 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑇 ∈ LMod)
10 reslmhm2.u . . . . 5 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
1110, 5resssca 16638 . . . 4 (𝑋𝐿 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
12113ad2ant3 1127 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
13 eqid 2818 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
144, 13lmhmsca 19731 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
15143ad2ant1 1125 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
1612, 15eqtrd 2853 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
17 lmghm 19732 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
18173ad2ant1 1125 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
19 reslmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
2019lsssubg 19658 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
21203adant1 1122 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
2210resghm2 18313 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2318, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
254, 6, 1, 2, 24lmhmlin 19736 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
26253expb 1112 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
27263ad2antl1 1177 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
28 simpl3 1185 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑋𝐿)
2910, 3ressvsca 16639 . . . . 5 (𝑋𝐿 → ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑈))
3029oveqd 7162 . . . 4 (𝑋𝐿 → (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
3128, 30syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
3227, 31eqtr4d 2856 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 23, 32islmhmd 19740 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  SubGrpcsubg 18211   GrpHom cghm 18293  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632   LMHom clmhm 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723
This theorem is referenced by:  reslmhm2b  19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator