MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem reslmhm2 20952
Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
reslmhm2.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
reslmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Proof of Theorem reslmhm2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . 2 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2 eqid 2728 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
3 eqid 2728 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
4 eqid 2728 . 2 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
5 eqid 2728 . 2 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
6 eqid 2728 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
7 lmhmlmod1 20932 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
873ad2ant1 1130 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
9 simp2 1134 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
10 reslmhm2.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
1110, 5resssca 17333 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
144, 13lmhmsca 20929 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘†))
15143ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘†))
1612, 15eqtrd 2768 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘†))
17 lmghm 20930 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
18173ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))
19 reslmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘‡)
2019lsssubg 20855 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
21203adant1 1127 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡))
2210resghm2 19201 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2318, 21, 22syl2anc 582 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2728 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
254, 6, 1, 2, 24lmhmlin 20934 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
26253expb 1117 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
27263ad2antl1 1182 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
28 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐿)
2910, 3ressvsca 17334 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
3029oveqd 7443 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐿 β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3128, 30syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(πΉβ€˜π‘¦)))
3227, 31eqtr4d 2771 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 23, 32islmhmd 20938 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  SubGrpcsubg 19089   GrpHom cghm 19181  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829   LMHom clmhm 20918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lmhm 20921
This theorem is referenced by:  reslmhm2b  20953
  Copyright terms: Public domain W3C validator