Theorem reslmhm2 21143

Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reslmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
reslmhm2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
reslmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Proof of Theorem reslmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5		eqid 2765	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
7		lmhmlmod1 21123	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝑆 ∈ LMod)
8	7	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
9		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ LMod)
10		reslmhm2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
11	10, 5	resssca 17386	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
12	11	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
13		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
14	4, 13	lmhmsca 21120	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
15	14	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
16	12, 15	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
17		lmghm 21121	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
18	17	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
19		reslmhm2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
20	19	lsssubg 21047	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
21	20	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
22	10	resghm2 19294	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
23	18, 21, 22	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
25	4, 6, 1, 2, 24	lmhmlin 21125	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
26	25	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
27	26	3ad2antl1 1202	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
28		simpl3 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑋 ∈ 𝐿)
29	10, 3	ressvsca 17387	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
30	29	oveqd 7417	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
31	28, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
32	27, 31	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 23, 32	islmhmd 21129	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  SubGrpcsubg 19177   GrpHom cghm 19274  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021   LMHom clmhm 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lmhm 21112

This theorem is referenced by:  reslmhm2b  21144