MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reslmhm2 21070
Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
reslmhm2.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
reslmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Proof of Theorem reslmhm2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2 eqid 2735 . 2 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
3 eqid 2735 . 2 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2735 . 2 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5 eqid 2735 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2735 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
7 lmhmlmod1 21050 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝑆 ∈ LMod)
873ad2ant1 1132 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
9 simp2 1136 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑇 ∈ LMod)
10 reslmhm2.u . . . . 5 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
1110, 5resssca 17389 . . . 4 (𝑋𝐿 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
12113ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
13 eqid 2735 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
144, 13lmhmsca 21047 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
15143ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
1612, 15eqtrd 2775 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
17 lmghm 21048 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
18173ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
19 reslmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
2019lsssubg 20973 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
21203adant1 1129 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
2210resghm2 19264 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2318, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2735 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
254, 6, 1, 2, 24lmhmlin 21052 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
26253expb 1119 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
27263ad2antl1 1184 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
28 simpl3 1192 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑋𝐿)
2910, 3ressvsca 17390 . . . . 5 (𝑋𝐿 → ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑈))
3029oveqd 7448 . . . 4 (𝑋𝐿 → (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
3128, 30syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
3227, 31eqtr4d 2778 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 23, 32islmhmd 21056 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  SubGrpcsubg 19151   GrpHom cghm 19243  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947   LMHom clmhm 21036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039
This theorem is referenced by:  reslmhm2b  21071
  Copyright terms: Public domain W3C validator