Theorem reslmhm2 20950

Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
reslmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
reslmhm2.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
reslmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Proof of Theorem reslmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2		eqid 2725	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2725	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑇)
4		eqid 2725	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5		eqid 2725	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
7		lmhmlmod1 20930	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝑆 ∈ LMod)
8	7	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
9		simp2 1134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑇 ∈ LMod)
10		reslmhm2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
11	10, 5	resssca 17327	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
12	11	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
13		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
14	4, 13	lmhmsca 20927	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
15	14	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
16	12, 15	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
17		lmghm 20928	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
18	17	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
19		reslmhm2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
20	19	lsssubg 20853	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
21	20	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
22	10	resghm2 19196	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
23	18, 21, 22	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
25	4, 6, 1, 2, 24	lmhmlin 20932	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
26	25	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
27	26	3ad2antl1 1182	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
28		simpl3 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑋 ∈ 𝐿)
29	10, 3	ressvsca 17328	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → ( ·𝑠 ‘𝑇) = ( ·𝑠 ‘𝑈))
30	29	oveqd 7436	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
31	28, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
32	27, 31	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 23, 32	islmhmd 20936	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  SubGrpcsubg 19083   GrpHom cghm 19175  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827   LMHom clmhm 20916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lmhm 20919

This theorem is referenced by:  reslmhm2b  20951