Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6d 40305
Description: Lemmma for hdmap1l6 40313. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap1l6.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6c.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmap1l6.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap1l6.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1l6cl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
hdmap1l6d.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
hdmap1l6d.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
hdmap1l6d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6d.w (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6d.wn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6d (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6d
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap1l6.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap1l6.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40084 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 hdmap1l6.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 hdmap1l6.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 hdmap1l6c.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
8 hdmap1l6.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
9 hdmap1l6.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
10 hdmap1l6.l . . . . . 6 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
11 hdmap1l6.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 hdmap1l6.i . . . . . 6 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 hdmap1l6.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
14 hdmap1l6.mn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
151, 5, 3dvhlvec 39601 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
16 hdmap1l6d.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1716eldifad 3927 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
18 hdmap1l6cl.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1918eldifad 3927 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
20 hdmap1l6d.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2120eldifad 3927 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
22 hdmap1l6d.wn . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
236, 8, 15, 17, 19, 21, 22lspindpi 20609 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
2423simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2524necomd 3000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
261, 5, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11, 12, 3, 13, 14, 25, 18, 17hdmap1cl 40296 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷)
27 hdmap1l6.a . . . . . 6 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
28 hdmap1l6.q . . . . . 6 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
299, 27, 28lmod0vrid 20369 . . . . 5 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
304, 26, 29syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
3130adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
32 oteq3 4846 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩ = βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩)
3332fveq2d 6851 . . . . 5 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩))
341, 5, 6, 7, 2, 9, 28, 12, 3, 13, 19hdmap1val0 40291 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3533, 34sylan9eqr 2799 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = 𝑄)
3635oveq2d 7378 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ 𝑄))
37 oveq2 7370 . . . . . 6 ((π‘Œ + 𝑍) = 0 β†’ (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)) = (𝑀 + 0 ))
381, 5, 3dvhlmod 39602 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
39 hdmap1l6.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
406, 39, 7lmod0vrid 20369 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 + 0 ) = 𝑀)
4138, 17, 40syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 0 ) = 𝑀)
4237, 41sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍)) = 𝑀)
4342oteq3d 4849 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩ = βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©)
4443fveq2d 6851 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
4531, 36, 443eqtr4rd 2788 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) = 0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
46 hdmap1l6.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
47 hdmap1l6.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
483adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4913adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
5018adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5114adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
5216adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
53 hdmap1l6d.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
5453eldifad 3927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
556, 39lmodvacl 20352 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
5638, 21, 54, 55syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
5756anim1i 616 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
58 eldifsn 4752 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
5957, 58sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
60 hdmap1l6d.yz . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
61 hdmap1l6d.xn . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
626, 8, 15, 19, 21, 54, 61lspindpi 20609 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
6362simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
646, 39, 7, 8, 15, 18, 20, 53, 16, 60, 63, 22mapdindp1 40212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
656, 39, 7, 8, 15, 18, 20, 53, 16, 60, 63, 22mapdindp2 40213 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (π‘Œ + 𝑍)}))
666, 7, 8, 15, 18, 56, 17, 64, 65lspindp1 20610 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)})))
6766simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)}))
6867adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, (π‘Œ + 𝑍)}))
6923simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
706, 7, 8, 15, 16, 21, 69lspsnne1 20594 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
71 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
726, 8, 71, 38, 21, 54lsmpr 20566 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
7360oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{𝑍})))
74 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
756, 74, 8lspsncl 20454 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7638, 21, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7774lsssubg 20434 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
7838, 76, 77syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
7971lsmidm 19452 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8172, 73, 803eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
8270, 81neleqtrrd 2861 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
836, 39, 8, 38, 21, 54, 17, 82lspindp4 20614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, (π‘Œ + 𝑍)}))
846, 8, 15, 17, 21, 56, 83lspindpi 20609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})))
8584simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
8685adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
87 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
88 eqidd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩))
891, 5, 6, 39, 46, 7, 8, 2, 9, 27, 47, 28, 10, 11, 12, 48, 49, 50, 51, 52, 59, 68, 86, 87, 88hdmap1l6a 40301 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
9045, 89pm2.61dane 3033 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + (π‘Œ + 𝑍))⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593  βŸ¨cotp 4599  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  -gcsg 18757  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  HLchlt 37841  LHypclh 38476  DVecHcdvh 39570  LCDualclcd 40078  mapdcmpd 40116  HDMap1chdma1 40283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lshyp 37468  df-lcv 37510  df-lfl 37549  df-lkr 37577  df-ldual 37615  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tgrp 39235  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-dveca 39495  df-disoa 39521  df-dvech 39571  df-dib 39631  df-dic 39665  df-dih 39721  df-doch 39840  df-djh 39887  df-lcdual 40079  df-mapd 40117  df-hdmap1 40285
This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  40308
  Copyright terms: Public domain W3C validator