MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv 20705
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 30832 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
2 simp2 1137 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
3 pssss 4092 . . . 4 (𝑇𝑈𝑇𝑈)
42, 3syl 17 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
5 pssnel 4467 . . . . 5 (𝑇𝑈 → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
62, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
7 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
8 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥𝑈)
97, 8sseldd 3980 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lveclmod 20668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1413lsssssubg 20520 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑆)
1715, 16sseldd 3980 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2119, 13, 20lspsncl 20539 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2212, 18, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2315, 22sseldd 3980 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
2624, 25lsmelval 19483 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2717, 23, 26syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
28273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2928adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
309, 29mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
31 simp1rr 1239 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥𝑇)
32 simp2l 1199 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑇)
33 oveq2 7402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
3433eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊))))
3534biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
36123ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
40 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑇)
4119, 13lssel 20499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑉)
43 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4419, 24, 43lmod0vrid 20454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4537, 42, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4645eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4746biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
4847ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
4935, 48syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
5049exp4a 432 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51503imp 1111 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑇𝑦𝑇))
5352biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑇𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝑇)
5432, 51, 53syl6an 682 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥𝑇))
5554necon3bd 2954 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥𝑇𝑧 ≠ (0g𝑊)))
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
57103ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59583ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60 lmodabl 20470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63 simp1l1 1266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝜑)
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑆)
6564, 32, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑉)
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑋𝑉)
6866, 67, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69 simp2r 1200 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
7019, 13lssel 20499 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
7168, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑉)
72 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7319, 24, 72ablpncan2 19646 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
7462, 65, 71, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑆)
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑈𝑆)
77 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
78 simp1rl 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥𝑈)
7977, 78eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80 simp1l2 1267 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑈)
813sselda 3979 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑈𝑦𝑇) → 𝑦𝑈)
8280, 32, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑈)
8372, 13lssvsubcl 20505 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8574, 84eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑈)
86593ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87633ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝜑)
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑋𝑉)
89 simp12r 1287 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 20679 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝑆)
94 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 20558 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
9691, 95eqsstrrd 4018 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
9756, 85, 96mpd3an23 1463 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98973exp 1119 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
9998rexlimdvv 3210 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10030, 99mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
1016, 100exlimddv 1938 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
10215, 75sseldd 3980 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10325lsmlub 19498 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
10417, 23, 102, 103syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1051043ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1064, 101, 105mpbi2and 710 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
1071, 106eqssd 3996 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  wss 3945  wpss 3946  {csn 4623  cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  +gcplusg 17181  0gc0g 17369  -gcsg 18798  SubGrpcsubg 18974  LSSumclsm 19468  Abelcabl 19615  LModclmod 20422  LSubSpclss 20493  LSpanclspn 20533  LVecclvec 20664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17371  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-subg 18977  df-lsm 19470  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-oppr 20104  df-dvdsr 20125  df-unit 20126  df-invr 20156  df-drng 20269  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-lvec 20665
This theorem is referenced by:  lshpnelb  37723  lshpcmp  37727  lsmsatcv  37749  lsmcv2  37768  dochshpncl  40124
  Copyright terms: Public domain W3C validator