MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmcv 20742
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 30883 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsmcv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsmcv.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsmcv.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmcv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsmcv.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmcv.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsmcv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmcv ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2 simp2 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
3 pssss 4094 . . . 4 (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
42, 3syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
5 pssnel 4469 . . . . 5 (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇))
62, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇))
7 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8 simprl 770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
97, 8sseldd 3982 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 lveclmod 20705 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1413lsssssubg 20557 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1715, 16sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
2119, 13, 20lspsncl 20576 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
2212, 18, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
2315, 22sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
24 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
2624, 25lsmelval 19510 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
2717, 23, 26syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
28273ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
2928adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
309, 29mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧))
31 simp1rr 1240 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)
32 simp2l 1200 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑇)
33 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)))
3433eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ↔ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š))))
3534biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∧ 𝑧 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)))
36123ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
38163ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑇)
4119, 13lssel 20536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
4239, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
4419, 24, 43lmod0vrid 20491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = 𝑦)
4537, 42, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = 𝑦)
4645eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4746biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = 𝑦))
4847ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
4935, 48syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∧ 𝑧 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
5049exp4a 433 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
51503imp 1112 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ = 𝑦))
52 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ 𝑇))
5352biimparc 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
5432, 51, 53syl6an 683 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇))
5554necon3bd 2955 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
57103ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5857adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
59583ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
60 lmodabl 20507 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ Abel)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘Š ∈ Abel)
63 simp1l1 1267 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ πœ‘)
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
6564, 32, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6866, 67, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
69 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
7019, 13lssel 20536 . . . . . . . . . . 11 (((π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
7168, 69, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
7319, 24, 72ablpncan2 19675 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑧)
7462, 65, 71, 73syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑧)
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
77 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧))
78 simp1rl 1239 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
7977, 78eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ π‘ˆ)
80 simp1l2 1268 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
813sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
8280, 32, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
8372, 13lssvsubcl 20542 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
8574, 84eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
86593ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
87633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ πœ‘)
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
89 simp12r 1288 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
90 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 20716 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{𝑋}))
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
94 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 20595 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) βŠ† π‘ˆ)
9691, 95eqsstrrd 4020 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
9756, 85, 96mpd3an23 1464 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
98973exp 1120 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
9998rexlimdvv 3211 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
10030, 99mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
1016, 100exlimddv 1939 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
10215, 75sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10325lsmlub 19525 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ))
10417, 23, 102, 103syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ))
1051043ad2ant1 1134 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ))
1064, 101, 105mpbi2and 711 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ)
1071, 106eqssd 3998 1 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3947   ⊊ wpss 3948  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  -gcsg 18817  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19495  Abelcabl 19642  LModclmod 20459  LSubSpclss 20530  LSpanclspn 20570  LVecclvec 20701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702
This theorem is referenced by:  lshpnelb  37792  lshpcmp  37796  lsmsatcv  37818  lsmcv2  37837  dochshpncl  40193
  Copyright terms: Public domain W3C validator