MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv 20602
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 30594 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
2 simp2 1137 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
3 pssss 4055 . . . 4 (𝑇𝑈𝑇𝑈)
42, 3syl 17 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
5 pssnel 4430 . . . . 5 (𝑇𝑈 → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
62, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
7 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
8 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥𝑈)
97, 8sseldd 3945 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lveclmod 20567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1413lsssssubg 20419 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑆)
1715, 16sseldd 3945 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2119, 13, 20lspsncl 20438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2212, 18, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2315, 22sseldd 3945 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
2624, 25lsmelval 19431 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2717, 23, 26syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
28273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2928adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
309, 29mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
31 simp1rr 1239 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥𝑇)
32 simp2l 1199 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑇)
33 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
3433eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊))))
3534biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
36123ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
40 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑇)
4119, 13lssel 20398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑉)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4419, 24, 43lmod0vrid 20353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4537, 42, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4645eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4746biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
4847ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
4935, 48syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
5049exp4a 432 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51503imp 1111 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑇𝑦𝑇))
5352biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑇𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝑇)
5432, 51, 53syl6an 682 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥𝑇))
5554necon3bd 2957 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥𝑇𝑧 ≠ (0g𝑊)))
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
57103ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59583ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60 lmodabl 20369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63 simp1l1 1266 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝜑)
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑆)
6564, 32, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑉)
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑋𝑉)
6866, 67, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69 simp2r 1200 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
7019, 13lssel 20398 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
7168, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑉)
72 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7319, 24, 72ablpncan2 19594 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
7462, 65, 71, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑆)
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑈𝑆)
77 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
78 simp1rl 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥𝑈)
7977, 78eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80 simp1l2 1267 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑈)
813sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑈𝑦𝑇) → 𝑦𝑈)
8280, 32, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑈)
8372, 13lssvsubcl 20404 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8574, 84eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑈)
86593ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87633ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝜑)
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑋𝑉)
89 simp12r 1287 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 20576 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝑆)
94 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 20457 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
9691, 95eqsstrrd 3983 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
9756, 85, 96mpd3an23 1463 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98973exp 1119 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
9998rexlimdvv 3204 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10030, 99mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
1016, 100exlimddv 1938 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
10215, 75sseldd 3945 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10325lsmlub 19446 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
10417, 23, 102, 103syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1051043ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1064, 101, 105mpbi2and 710 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
1071, 106eqssd 3961 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  wss 3910  wpss 3911  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  -gcsg 18750  SubGrpcsubg 18922  LSSumclsm 19416  Abelcabl 19563  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564
This theorem is referenced by:  lshpnelb  37446  lshpcmp  37450  lsmsatcv  37472  lsmcv2  37491  dochshpncl  39847
  Copyright terms: Public domain W3C validator