Theorem lsmcv 21449

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 32284 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmcv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmcv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmcv	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ⊊ 𝑈)
3		pssss 4028	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
5		pssnel 4427	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇))
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇))
7		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
8		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9	7, 8	sseldd 3914	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
10		lsmcv.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11		lveclmod 21411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		lsmcv.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
14	13	lsssssubg 21263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15	12, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16		lsmcv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lsmcv.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lsmcv.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		lsmcv.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
21	19, 13, 20	lspsncl 21282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
22	12, 18, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
23	15, 22	sseldd 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
25		lsmcv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
26	24, 25	lsmelval 19893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
27	17, 23, 26	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
30	9, 29	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧))
31		simp1rr 1258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)
32		simp2l 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
33		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
34	33	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))))
35	34	biimpac 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g‘𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
36	12	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
39	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
40		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦 ∈ 𝑇)
41	19, 13	lssel 21242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	39, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
43		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
44	19, 24, 43	lmod0vrid 21198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 𝑦)
45	37, 42, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 𝑦)
46	45	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
47	46	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
48	47	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
49	35, 48	syl7 75	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
50	49	exp4a 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51	50	3imp 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ 𝑇))
53	52	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑇)
54	32, 51, 53	syl6an 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 ∈ 𝑇))
55	54	necon3bd 2973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊)))
56	31, 55	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
57	10	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
58	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60		lmodabl 21214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
61	11, 60	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
62	59, 61	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63		simp1l1 1285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝜑)
64	63, 16	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
65	64, 32, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
66	59, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
67	63, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
68	66, 67, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
70	19, 13	lssel 21242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
71	68, 69, 70	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
72		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
73	19, 24, 72	ablpncan2 20059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) = 𝑧)
74	62, 65, 71, 73	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) = 𝑧)
75		lsmcv.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
76	63, 75	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
77		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧))
78		simp1rl 1257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
79	77, 78	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80		simp1l2 1286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑇 ⊊ 𝑈)
81	3	sselda 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑈)
82	80, 32, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
83	72, 13	lssvsubcl 21249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
84	66, 76, 79, 82, 83	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
85	74, 84	eqeltrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
86	59	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87	63	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝜑)
88	87, 18	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
89		simp12r 1306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
91	19, 43, 20, 86, 88, 89, 90	lspsneleq 21423	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
92	86, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
93	87, 75	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
94		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
95	13, 20, 92, 93, 94	ellspsn5 21301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
96	91, 95	eqsstrrd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
97	56, 85, 96	mpd3an23 1493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98	97	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
99	98	rexlimdvv 3222	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
100	30, 99	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
101	6, 100	exlimddv 1970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
102	15, 75	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
103	25	lsmlub 19908	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
104	17, 23, 102, 103	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
105	104	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
106	4, 101, 105	mpbi2and 725	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
107	1, 106	eqssd 3930	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  -_gcsg 19175  SubGrpcsubg 19359  LSSumclsm 19878  Abelcabl 20025  LModclmod 21165  LSubSpclss 21236  LSpanclspn 21276  LVecclvec 21407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lvec 21408

This theorem is used by:  lshpnelb  40233  lshpcmp  40237  lsmsatcv  40259  lsmcv2  40278  dochshpncl  42633