Theorem lsmcv 21066

Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 31614 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmcv.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lsmcv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmcv	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
2		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ⊊ 𝑈)
3		pssss 4051	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → 𝑇 ⊆ 𝑈)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
5		pssnel 4424	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊊ 𝑈 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇))
7		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
8		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9	7, 8	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
10		lsmcv.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
11		lveclmod 21028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		lsmcv.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
14	13	lsssssubg 20879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16		lsmcv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
17	15, 16	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lsmcv.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
19		lsmcv.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		lsmcv.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
21	19, 13, 20	lspsncl 20898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
22	12, 18, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
23	15, 22	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
25		lsmcv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
26	24, 25	lsmelval 19546	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
27	17, 23, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
30	9, 29	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧))
31		simp1rr 1240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)
32		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
33		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
34	33	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (0g‘𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊))))
35	34	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g‘𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
36	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
40		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦 ∈ 𝑇)
41	19, 13	lssel 20858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
42	39, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
43		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
44	19, 24, 43	lmod0vrid 20814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 𝑦)
45	37, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = 𝑦)
46	45	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
47	46	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
49	35, 48	syl7 74	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g‘𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
50	49	exp4a 431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51	50	3imp 1110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ 𝑇))
53	52	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑇)
54	32, 51, 53	syl6an 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g‘𝑊) → 𝑥 ∈ 𝑇))
55	54	necon3bd 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊)))
56	31, 55	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
57	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59	58	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60		lmodabl 20830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
61	11, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63		simp1l1 1267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝜑)
64	63, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
65	64, 32, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
66	59, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
67	63, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
68	66, 67, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69		simp2r 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
70	19, 13	lssel 20858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑉)
71	68, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
72		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
73	19, 24, 72	ablpncan2 19712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) = 𝑧)
74	62, 65, 71, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) = 𝑧)
75		lsmcv.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
76	63, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
77		simp3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧))
78		simp1rl 1239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
79	77, 78	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80		simp1l2 1268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑇 ⊊ 𝑈)
81	3	sselda 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑈)
82	80, 32, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
83	72, 13	lssvsubcl 20865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
84	66, 76, 79, 82, 83	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧)(-g‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
85	74, 84	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
86	59	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87	63	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝜑)
88	87, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
89		simp12r 1288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ≠ (0g‘𝑊))
91	19, 43, 20, 86, 88, 89, 90	lspsneleq 21040	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
92	86, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
93	87, 75	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
94		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
95	13, 20, 92, 93, 94	ellspsn5 20917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
96	91, 95	eqsstrrd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
97	56, 85, 96	mpd3an23 1465	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98	97	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
99	98	rexlimdvv 3185	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
100	30, 99	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
101	6, 100	exlimddv 1935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
102	15, 75	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
103	25	lsmlub 19561	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
104	17, 23, 102, 103	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
105	104	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
106	4, 101, 105	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
107	1, 106	eqssd 3955	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ⊊ 𝑈 ∧ 𝑈 ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  -_gcsg 18832  SubGrpcsubg 19017  LSSumclsm 19531  Abelcabl 19678  LModclmod 20781  LSubSpclss 20852  LSpanclspn 20892  LVecclvec 21024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-lsm 19533  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-lvec 21025

This theorem is referenced by:  lshpnelb  38965  lshpcmp  38969  lsmsatcv  38991  lsmcv2  39010  dochshpncl  41366