MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmcv 20988
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 31338 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsmcv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsmcv.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsmcv.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmcv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsmcv.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmcv.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsmcv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmcv ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2 simp2 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
3 pssss 4095 . . . 4 (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
42, 3syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 βŠ† π‘ˆ)
5 pssnel 4470 . . . . 5 (𝑇 ⊊ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇))
62, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇))
7 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8 simprl 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
97, 8sseldd 3983 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
11 lveclmod 20950 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1413lsssssubg 20801 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
1715, 16sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
2119, 13, 20lspsncl 20820 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
2212, 18, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
2315, 22sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
24 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
2624, 25lsmelval 19565 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
2717, 23, 26syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
28273ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
2928adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)))
309, 29mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧))
31 simp1rr 1238 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)
32 simp2l 1198 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑇)
33 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)))
3433eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ↔ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š))))
3534biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∧ 𝑧 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)))
36123ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3736ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
38163ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
40 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑇)
4119, 13lssel 20780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
4239, 40, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
43 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
4419, 24, 43lmod0vrid 20735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = 𝑦)
4537, 42, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = 𝑦)
4645eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ = 𝑦))
4746biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = 𝑦))
4847ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
4935, 48syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∧ 𝑧 = (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
5049exp4a 431 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ = 𝑦))))
51503imp 1110 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ = 𝑦))
52 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ 𝑇))
5352biimparc 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
5432, 51, 53syl6an 681 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (𝑧 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇))
5554necon3bd 2953 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
57103ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
59583ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
60 lmodabl 20751 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ Abel)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘Š ∈ Abel)
63 simp1l1 1265 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ πœ‘)
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
6564, 32, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6866, 67, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆)
69 simp2r 1199 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
7019, 13lssel 20780 . . . . . . . . . . 11 (((π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
7168, 69, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
72 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
7319, 24, 72ablpncan2 19731 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑧)
7462, 65, 71, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑧)
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
77 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧))
78 simp1rl 1237 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
7977, 78eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ π‘ˆ)
80 simp1l2 1266 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑇 ⊊ π‘ˆ)
813sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
8280, 32, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
8372, 13lssvsubcl 20787 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)(-gβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘ˆ)
8574, 84eqeltrrd 2833 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
86593ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
87633ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ πœ‘)
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
89 simp12r 1286 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
90 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 20962 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{𝑋}))
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
94 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 20839 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) βŠ† π‘ˆ)
9691, 95eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘Š) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
9756, 85, 96mpd3an23 1462 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
98973exp 1118 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)))
9998rexlimdvv 3209 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘§ ∈ (π‘β€˜{𝑋})π‘₯ = (𝑦(+gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ))
10030, 99mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝑇)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
1016, 100exlimddv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
10215, 75sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10325lsmlub 19580 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ))
10417, 23, 102, 103syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ))
1051043ad2ant1 1132 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘ˆ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ))
1064, 101, 105mpbi2and 709 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† π‘ˆ)
1071, 106eqssd 3999 1 ((πœ‘ ∧ 𝑇 ⊊ π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ π‘ˆ = (𝑇 βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  -gcsg 18863  SubGrpcsubg 19043  LSSumclsm 19550  Abelcabl 19697  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947
This theorem is referenced by:  lshpnelb  38318  lshpcmp  38322  lsmsatcv  38344  lsmcv2  38363  dochshpncl  40719
  Copyright terms: Public domain W3C validator